1、2017 届贵州遵义市高三（上）期中数学（理）试题一、选择题1已知集合 ，则 （ ）|36,|27AxBxRACBA B 2,62,7C D3【答案】C【解析】试题分析： ，所以 ，选 C.|72UCx或 RACB3,2【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2已知复
2、数 ，若 ，则复数 的共轭复数 （ ）zai4zzzA B C Di22i2i【答案】B【解析】试题分析： ，选 B.zazi【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概()()(),(.)abicdabdciabdR念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、,iR2ab(,)ab共轭为 .3某校高三年级有 1000名学生，随机编号为 0001,0002， ，1000，现按系统抽样方法，从中抽出 200人，若 0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A0
3、927 B0834 C0726 D0116【答案】A【解析】试题分析：系统抽样就是等距抽样，编号满足 ，因为0125,kZ，所以选 A.0927156【考点】系统抽样4下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（ ）A B yx1yxC Dlgyx3yx【答案】B【解析】试题分析： 在定义域上为单调减函数； 在定义域上为单21lgyx调增函数； 在定义域上为单调增函数； 在 和 上皆为单调3yx1yx(,0)(,)减函数，但在定义域上不是单调函数【考点】函数单调性5已知倾斜角为 的直线 过 轴上一点 （非坐标原点 ） ，直线 上有一点lxAOl，且 ，则 等于（ ）0cos13,in5P03P
4、OA100 B160 C100或 160 D130【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以000cos1,in5cos13,inP，因此 ，即 ，选 C.013POx3或 6或【考点】三角函数定义6已知 ，给出下列四个结论：ab ab2其中正确结论的序号是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析： ，因此210|,0,bbabaaa选 C.【考点】不等式性质7某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D241324531253123【答案】A【解析】试题分析：几何体为一个三棱柱，底面为直角三角形（斜边为 4，一角为 ）0，高为 4，因此表面积为 ，选 A.123+
5、4(24)213【考点】三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析8某企业为节能减排，用 9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用 2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 3万元，该设备每年生产的收入均为 21万元，设该设备使用了 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成*nN本） ，则 等于（ ）A6 B7 C8 D7 或 8【答案】B
6、【解析】试题分析：盈利总额为 ，21341219()92nnn由于对称轴为 ，所以当 时，取最大值，选 B.416n7【考点】二次函数最值9如果执行下边的程序框图，输入正整数 和实数 ，输出 ，2N12,na ,AB则（ ）A 和 分别是 中最大的数和最小的数B12,naB 和 分别是 中最小的数和最大的数C 为 的和12,nD 为 的算术平均数A,a【答案】A【解析】试题分析：若 ，则 ;若 ，则 ;所以 和 分别是21a2A1a2BaAB中最大的数和最小的数，选 A.12,na【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，
7、包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.102002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 的值为（ ）sin2A B C D1323425【答案】D【解析】试题分析：设 所对直角边长为 由题意得 ，所,x22(1)53xx以 ，选 D.342sin,cos,in55【考点】三角函数值11已知双曲线 的离心率为
8、，左顶点到一条渐近线的距210,xyab62离为 ，则该双曲线的标准方程为（ ）63A B 2184xy2168xyC D262【答案】A【解析】试题分析： ，渐近线方程6,22ecab，因此左顶点到一条渐近线的距离为20xyyxb，即该双曲线的标准方程为 ，选 A.|62,3ab2184xy【考点】双曲线渐近线12已知定义域为 的偶函数 ，其导函数为 ，对任意 ，均满Rfxfx0,x足： 若 ，则不等式 的解集是（ 2xffx2gf21g）A B ,11,3C D,3,【答案】C【解析】试题分析： 时0,x，而 也为偶函数，2()0gxfffxf2gxf所以 2 121|1|2|1|3103
9、g x，选 C.【考点】利用函数性质解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造()fxf， 构造 ， 构造()xfge()0ffx()()xgef()ff， 构造 等二、填空题13已知 满足 ，则目标函数 的最大值为_,xy30x2zxy【答案】 -3.【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，如图，其中 直线(3,),0AB过点 A时取最大值2zxy-3.BA【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对
10、应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14若 的展开式中各项系数的和 2，则该展开式中的常数项为512axx_【答案】40【解析】试题分析：由题意得 ，因此该展开式中的常数项5121aa为23255(1)()40C【考点】二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1项，由特定项得出 r值，最后求出其参数.15某中学举行升旗
11、仪式，在坡度为 15的看台 点和看台的坡脚 点，分别测得旗EA杆顶部的仰角分别为 30和 60，量的看台坡脚 点到 点在水平线上的射影 点AB的距离为 ，则旗杆的高 的长是_ 10cmCDm【答案】 103【解析】试题分析：由题意得 ,所以4530DEAE，,因此sin45230cos1AEABD0si6sin610(3)(453)C 【考点】解三角形【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即
12、根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16已知平面 截一球面得圆 ，过圆 的圆心的平面 与平面 所成二面角的大M小为 60，平面 截该球面得圆 ，若该球的表面积为 ，圆 的面积为 ，N64M4则圆 的半径为_N【答案】 13【解析】试题分析：设球心 O，半径为 R，则 ;设圆 半径为 ，2644Rr则 ，因此 ，又 ，24r23Mr9063OMN所以 ,因此圆 的半径为3ON1【考点】球的截面【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知
13、识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a 2b 2c 2求解三、解答题17在公差不为零的等差数列 中，已知 ，且 成等比数列na23137a、 、（1）求数列 的通项公式；na（2）设数列 的前 项和为 ，记 ，求数列 的前 项和 nnS29nbSnbnT【答案】 （1） （2）1na1nT【解析】试题分析：（1）求等差数列通项公式，基本方法为待定系数法，即根据条件列两个关于首项与公差的方程： ，注意公差不为211136adad，零，解得 ，
14、代入通项公式得 （2）先根据等差数列求12adnn和公式得 ，因此代入化简数列 通项公式3319122nSnb，所以利用裂项相消法求和，即 ，392nbn 1n121123nnTbn 试题解析：设 的公差为 ，依题意得 ， nad121360ad解得 ， 12d 1nan ，339122n nS，391nbn，故12 11123nn nTbn 12 分n【考点】等差数列通项，裂项相消法求和【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均1ncana不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常
15、见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .()3(2)182016 年巴西奥运会的周边商品有 80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共 98件中分别抽取 9件和 5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克） 下表是从乙厂抽取的 5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x169 178 166 175 180y75 80 77 70 81（1）求乙厂生产的产品数量：（2）当产品中的微量元素 满足： ，且 时，该产品为
16、优等品用xy、 175xy上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：（3）从乙厂抽出的上述 5件产品中，随机抽取 2件，求抽取的 2件产品中优等品数的分布列及数学期望【答案】 （1）35（2）14（3）45E【解析】试题分析：（1）根据分层抽样得乙厂生产的产品总数为（2）由频率估计概率得乙厂样品中优等品的频率为 ，因此乙厂生产598 25的优等品的数量为 （3）先确定随机变量取法 ，再分别求对应概1450,1率： ，列表可得分布列，根据公式可求数学期望2350,iCP14E试题解析：（1）乙厂生产的产品总数为 ； 5983（2）样品中优等品的频率为 ，乙厂生产的优等品的数量为 ； 252514（
17、3） 0,12， 325,iCP的分布列为0 1 2P35均值41205E【考点】分布列与数学期望，分层抽样【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期
18、望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且1ABC1ABC112A（1）求证： ；ABC（2）若直线 与平面 所成角的大小为 ，求锐二面角 的大小161ACB【答案】 （1）详见解析（2） 3【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证，而题中已知面面垂直平面 侧面 ，因此先根据面面垂直性质定理，将其转化1ABC1为线面垂直 平面 ，
19、其中 为 的中点，因而有 ，再根据直DDABADBC三棱柱性质得 底面 ，因而有 ，结合线面垂直判定定理得1 1C侧面 ，因此得证 （2）求二面角平面角，一般利用空间向量BCA进行计算，先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，可得直线 方向向量，列AC方程组求平面 法向量，由线面角与向量夹角互余关系，结合向量数量积得 ，1 B易得平面 的一个法向量，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系，结合向量AC数量积得二面角大小试题解析：（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，因 ，则1ABDA1，由平面 侧面 ，且平面 侧面 ，得1ADB1AC1B1AC11BA平面 ， 又 平面 ，所以 ，因为三棱柱
20、是直三棱柱，则C1D1底面 ，所以 1AB1ABC又 ，从而 侧面 ，又 侧面 ，故 1AB1ABC（2）解法一：连接 ，由（1）可知 平面 ，则 是 在平面 内的CDA1BCDA1BC射影 7 分 即为直线 与平面 所成的角，则 ，在等腰直角A1 6中， ，且点 是 中点，1B12D1AB ，且 ， 12D,6C2AC过点 作 于点 ，连 ，由（1）知 平面 ，则 ，A1EE1B1DAC且 ， 即为二面角 的一个平面角， D1ACB在直角 中： ，又 ，11263E2,ADE ，且二面角 为锐二面角，3sin26A1CB，3ED即二面角 的大小为 1ACB3解法二（向量法）：由（1）知 且
21、底面 ，所以以点 为原点，ABC1ABC以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ， 1BCA、 、 ,xyzxyz如图所示，且设 ，则a，10,2,0,0,2,0ABCa，设平面 的一个法向量1BAC1A，由 得： 令 ，得 ，则1,nxyz11,BnA20xyzy0,1xz， 0设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，得AC16，解得 ， 即 21sin64a 2a2,0AC又设平面 的一个法向量为 ，同理可得 ，设锐二面角n1,n的大小为 ，则 ，且 ，得1ACB2121cos,0,2，锐二面角 的大小为 31ACB3【考点】线面垂直性质与判定定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量
22、求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20已知椭圆 ，离心率为 ，两焦点分别为 ，过2:10xyCab3212F、的直线交椭圆 于 两点，且 的周长为 8.1FMN、 2F（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点，求弦长 的最,0Pm21xylCAB、 AB大值【答案】 （1） （2）24AB【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即根据条件列两个独立方程：一是离心率 ，二是椭圆定义： 的周长为
23、 ，解方程32ca2MFN48a组得 ， （2）涉及弦长问题，一般利用直线方程与椭圆方程联立方2,a1b程组，结合韦达定理和弦长公式求弦长：设切线 的方程为 ，则l,0ykxm，再根据22222118411kABxy k直线与圆相切得 ，即 ，代入化简得 ，最后利用2km2k23mAB基本不等式求最值试题解析：（1）由题得： ， 32ca， 48a所以 2,3c又 ，所以 ，b1b即椭圆 的方程为 C24xy（2）由题意知， ，设切线 的方程为 ，1ml,0ykxm由 ，得 24ykx222484kxk设 ，12,AxyB、则 4226 0kmkmk，2112284,xx由过点 的直线 与圆
24、相切得 ，即,0Pml21xy21kmd，21k所以2222211 2438411mkmkABxy，43m当且仅当 时， ，所以 的最大值为 232AB【考点】直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.21已知函数 1xfe（1）求曲线 在点 处的切线方程和函数 的极值：y0,f fx（2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的最小12,xa121xfea值【答案】 （1）切线方程
25、为 ，函数 在 时，取得极小值0yfx（2）1e【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得曲线 在 处的切线斜率fx0,f等于 ，再根据 ，利用点斜式可得切线方程为 ，求0f01f210y函数极值，首先求导函数零点： ，列表分析导函数符号变化规律，确定函数极值2x（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题： ，2minaxfxfe再根据函数定义域讨论函数最值取法：若 ， ；1a2minmaxminax1=(2),0,fxfffe若 ， 2inaxinax(),ffff试题解析：（1）因为 ，所以 ，2xfe0f因为 ，所以曲线 在 处的切线方程为 0ff, 210xy由 解得 ，则 及
26、的变化情况如下：2xfefxfx,2 2,f0fx递减极小值 21e递增所以函数 在 时，取得极小值 fx2e（2）由题设知：当 时， ，当 时， ，110xf110xfe若 ，令 ，则 ，1a2,xa12,a由于 ，显然不符221212100fffxffxfe合题设要求 若 ，对 ，1a1212,0xaff由于 ，221212100fffxffxfe显然，当 ，对 ，不等式 恒成立，1a12,xa12ff综上可知， 的最小值为 1 【考点】导数几何意义，利用导数求函数极值，利用导数求参数取值范围【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数
27、的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.22选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 ，以平面直角坐标系 的原点xOy21:CxyxOy为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:2cosin6l（1）将曲线 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 倍后得到曲线1C32、试写出直线 的直角坐标方程和曲线 的参数方程：2l 2C（2）在曲线 上求一点 ，使点 到直线 的距离最
28、大，并求出此最大值2CPl【答案】 （1） ， （ 为参数） （2）点 ，最大60xy3cos2inxy3,1P值为 25【解析】试题分析：（1）根据 将直线极坐标方程化为直角坐cos,ixy标方程 ，根据图像伸缩变换得曲线 的直角坐标方程60xy2C，再根据椭圆参数方程得曲线 的参数方程 （ 为213 23cos2inxy参数） （2）根据点到直线距离公式得点 到直线 的距离为Plcosin65d利用配角公式得 ，再根据正弦函数性质得4si4sin6335d最值及对应自变量的取值试题解析：（1）由题意知，直线 的直角坐标方程为： ， l260xy曲线 的直角坐标方程为： ，2C213xy曲线
29、 的参数方程为： （ 为参数）2cos2iny（2）设点 的坐标 ，则点 到直线 的距离为：P3,Pl， 4sin63cos2in6355d当 时，点 ，此时 sin1,36,12Pmax4625d【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，椭圆参数方程，点到直线距离23选修 4-5：不等式选讲已知 使不等式 成立0xR1xt（1）求满足条件的实数 的取值集合 ；tT（2）若 ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小,mn3logmntAmn值【答案】 （1） （2）6|1Tt【解析】试题分析：（1）不等式有解问题一般转化为对应函数最值问题：，再根据绝对值三角不等式求函数最值：max(2)xt，因此满足条件
30、的实数 的取值集合|(12)|=t（2）由基本不等式得 ，即|Tt333logl2log2mnmn，因此 ，其中不等式中的等于号都是当且仅当3mn6n时取得，因此 的最小值为 6试题解析：（1）令 ，则 ，1,1232,xfxx1fx由于 使不等式 成立，有 0xRt|tTt（2）由（1）知， ，根据基本不等式3log1mnA，333logl2l2n从而 ，当且仅当 时取等号，n再根据基本不等式 当且仅当 时取等号，6m3mn所以 的最小值为 6 n【考点】绝对值三角不等式，基本不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
