1、2017 届湖南省百所重点中学高三阶段性诊断考试数学（文）试卷 数学试卷（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 等于（ ）sin70co1s70in1A. B. C. D.122322.设集合 ， ，则 的元素的个数为（ ）2|90Ax|BxNABA3 B4 C5 D63.下列各图中，表示以 为自变量的奇函数的图象是（ ）A B C D4.设向量 是互相垂直的两个单位向量，且 ，则实数 的值为（ ）ab、 |3|abmA B C D 225255.已知一几何体的三视图如图所示，俯
2、视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.612624122416. 4.已知 为数列 的前 项和，若 且 ，则 等于（ ）nSna23a12nS4aA6 B12 C.16 D247.函数 的零点不可能在下列哪个区间上（ ）5324,01()62xf xA B C. D1,4(,7)(8,3)(1,8)8.设区间 的长度为 ，其中 .现已知两个区间 与 的长度相qpqp24lnmln,410m等，则 的最小值为（ ）1xxemA B 或 C. D 或3232e32e32e9.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 .下面程序框图Nn(od)N
3、nm102(od4)的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理.执行该程序框图，则输出的 等于（ ）iA 4 B8 C. 16 D3210.若体积为 4 的长方体的一个面的面积为 1，且这个长方体 8 个顶点都在球 的球面上，则球 表面积O的最小值为（ ）A. B. C. D.121682411.若变量 满足约束条件 ，且 ，则 仅在点 处取得最大,xy20,xy(6,3)yzx1(,)2A值的概率为（ ）A B C. D 1929134912.设函数 ， ，若不论 取何值， 对任21()log()fxax2sin()6(3coxg2x12()fxg意 总是恒成立，则 的取值范围为（ ）173,
4、02A B C. D()4(,)56(,)8040(,)95第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.某高校调查了 400 名大学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为 .根据17.,3017.5,20),.5)2.,)5,7.)2,30此直方图，这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 25 小时的人数是_.14.若 是集合 中任意选取的一个元素，则圆 与圆 内a1,2345,6722:()1Cxy22:Oxya含的概率为_.15.关于三角函数的图象有以下三个命题：正切函数在整个
5、定义域内是增函数；存在某个区间，使得正弦函数和余弦函数在此区间均为减函数；正切函数、正弦函数和余弦函数的图象不存在三个函数图象的共同交点.其中，正确的个数为_.16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为 13 里，14 里，15 里，假设 1 里按 500 米计算，则该沙田的面积为_平方千米.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 10 分）在 中，角
6、， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .ABCCabc3574cosin416aABc， ， ，（1）求 ；b（2）求 的周长.18. （本小题满分 12 分）已知某企业的近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势；（3）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如下表） ，用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的利润.相关公式： ， . 1122()()nniiiii iixyxybaybx19. （本小题满分 12 分）已知函数 与 的定义域均为
7、.4()xf2()|6|gx1,4（1）求这两个函数的值域并作出这两个函数的图象；（2）若函数 的图象与直线 仅有一个交点，求 的取值范围.()xykk20. （本小题满分 12 分）在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ，PABCDABPABCD， ， 为线段 上一点，且 ，点 分别为线段32E:7:2EFG、的中点 .、（1）求证： 平面 ；PEABCD（2）若平面 将四棱锥 分成左右两部分，求这两部分的体积之比 .FG21. （本小题满分 12 分）已知正项数列 的前 项和为 ，且 .nanS2(1)2nna（1）求证：不论 取何值，数列 总是等差数列，并求此数列的公差；1+（2）设数
8、列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小.(1)2nanTn1(8)2n22.（本小题满分 12 分）已知圆 经过点 ，圆 的圆心在圆 的内部，且直线 被圆 所C(0,2)(,)AB， C2xy3450xyC截得的弦长为 .点 为圆 上异于 的任意一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交3PAB、 PAMPB于点 .N（1）求圆 的方程；（2）若直线 与圆 交于 两点，求 ；1yxC12、 12（3）求证： 为定值；|ANBM湖南省百所重点中学高三阶段性诊断考试数学试卷参考答案（文科）一、选择题1-5:CDBCA 6-10:BBACC 11、12：AD二、填空题13. 120 14. 15.2
9、 16.2147三、解答题17.解：（1）由 得 ，siniabABsinaA ， ， .5 分3cos4745（2）由 得 ，2253c218(23)60cc ， .9 分4c6 的周长为 4+5+6=15.10 分ABC18.解：（1）由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高.2 分（2）第 1 年前 7 个月的总利润为 1+2+3+5+6+7+4=28（百万元） ，3 分第 2 年前 7 个月的总利润为 2+5+5+4+5+5+5=31（百万元） ，4 分第 3 年前 7 个月的总利润为 4+4+6+6+7+6+8=41 百万元） ，5 分所以这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋
10、势.7 分（3） ， ， ，2.5x221340y， 1243654 ，9 分40.80.b ，10 分3a ，11 分.8yx当 时， （百万元） ，估计 8 月份的利润为 940 万元.12 分0.9.4结合 的图象，可得当 时， .4 分()hx1,4x()9,5hx ，即 的值域为 .5 分|5,9()g5， 的图象如下图所示：()fx9 分（2）由图可知当 时直线 与的图象 只有一个交点，5,8)9k yk()ygx 的取值范围为 .12 分,)20.（1）证明：在等腰 中， ，APB12cos3PBA则由余弦定理可得， ， ，2 分22()39E42E ， ，3 分24PEB平面
11、平面 ，平面 平面 ，ACDPABCDAB 平面 .4 分（2）解：设平面 与棱 交于点 ，连接 ，因为 ，所以 平面 ，EFGCDNE/GFAD/FABCD从而可得 .6 分/N延长 至点 ，使 ，连接 ， ，则 为直三棱柱，7 分MMMN 到 的距离为 ， ，FAE123P7AE ，7239AEFS ， ，142AFEDMNV 17239GDMNV ，5AEFGAFEN又 ，18233PABCDABCDVS矩 形 .12 分525:=:():77右左21.（1）证明：当 时， ， ， .1 分1n11(2)Sa10a12当 时， ， ，2n2()nnna 1()()0nna ， ，3 分1
12、01数列 是以 2 为首项 1 为公差的等差数列， .4 分n 1na ，5 分1 12()()()()nnaaa不论 取何值，数列 总是等差数列，且此数列的公差为 .6 分（2）解： ，7 分1()2()nnna ，9 分2321121nnnT，111(8)(8)2(7)nnnn 当 时， ， ；10 分1712(7)0n1()nT当 时， ， ；11 分1()n12(8)2n当 时， ， .12 分712(7)0n1()nT22.（1）解：易知点 在线段 的中垂线 上，故可设 ，圆 的半径为 .1CAByx(,)Car分直线 被圆 所截得的弦长为 ，且 ，3450xy2322()r 到直线
13、 的距离， ，(,)Ca|75|341ada ，或 .3 分017又圆 的圆心在圆 的内部， ，圆 的方程为 .4 分2xy0C2xy（2）将 代入 得 ，y2423x设 ，12(,)(,)Axy，则 ， .5 分13x 12212()By.7 分1224()()531xxxx（3）证明：当直线 的斜率不存在时， ，8 分PA|8ANBM当直线 与直线 的斜率都存在时，设 ，B0(,)Pxy直线 的方程为 ，令 得 .9 分02yx02,)直线 的方程为 ，令 得 .10 分PB0()0(,)yNx 000002|()()4 2(2)yxyxxyANBMy，22000000044 8()()yx xyyxyy 故 为定值 8.12 分|ANB
