1、2017 届江西吉安一中高三（上）期中考试数学（文）试题一、选择题1集合 ，则,234,6ABABA B C D, 3,1,2【答案】B【解析】试题分析： ，选 B.1,24,6=A,4【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2复数 在复平面上对应的点位于（ ）1
2、iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C【解析】试题分析： 对应的点位于第三象限，选 C.112iii【考点】复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概()()(),(.)abicdabdciabdR念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、,iR2ab(,)ab共轭为 .3 “ ”是“ ”的 （ ）xyxyA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以x
3、yxy“ ”是“ ”的必要不充分条件xy【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 p 则 q”、 “若 q 则 p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件2等价法：利用 pq 与非 q非 p，q p 与非 p非 q，p q 与非 q非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A 是 B的充要条件4将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，2sin4fxx4gx则 （ ）0gA B C. D2202【答案】A【解
4、析】试题分析：函数 的图象向左平移 个单位，得到2sin4fxx4，所以 ，选 A.2sin()i4gx02sin2g【考点】三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言. 函数 yAsin(x)，xR 是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)，xR 是偶函数k (kZ) ；函数 yAcos(x)， 2xR 是奇函数k (kZ)；函数 yAcos(x )，xR 是偶函数 2k(kZ).5已知向量 ，若 间的夹角为 ，则 （ ）3,6ab,ab34abA B
5、C. D717885【答案】C【解析】试题分析：222234168168|cos4ababab1638()72【考点】向量的模【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab|a|b|cos ；二是坐标公式 abx 1x2y 1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6实数 满足条件 ，则目标函数 的最大值为 （ ）,xy13250xy2zxyA B C. D 15415【答案】D【解析】试题分析：可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中，所以直线 过 A 点时取最大值
6、 5，选 D.1(1,2)(,)5C2zxy【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 个月甲胶囊生产产量（单位：万5盒）的数据如下表所示： （月份）x12345（万盒）y568若 线性相关，线性回归方程为 ，估计该制药厂 月份生产甲胶囊产,x0.7yxa6量为（ ）A 万盒 B 万盒 C. 万盒 D 万盒 8.18.28.98
7、.【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 ，所以 月份生产甲3,6xy0.73.9a6胶囊产量为 ，选 A.0.76.981y【考点】线性回归方程【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求 a，写出回归方程，回归直线方程恒过点( ， ).b x y 8已知等差数列 n的前 项和为 nS ，且 ，则 （ ）1075,a1A B C. D 12124【答案】B【解析】试题分析： ，选 B.1071115,05,6Sadaa【考点】等差数列基本量运算9一个空间几何
8、体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A B C. D18161412【答案】C【解析】试题分析：几何体为长方体去掉一个三棱柱，长方体长宽高为 4,2,2; 三棱柱的高为 2，底为等腰三角形，底边长为 2，底边上高为 1，因此几何体的体积为，选 C.144【考点】三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析10已知抛物线 的焦点为 ，其上有两点 满足
9、24xyF12,AxyB，则 （ ）AFB221xA B C. D4680【答案】D【解析】试题分析： ，所以12122()AFyy，选 D.22115()0yxy【考点】抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点 的坐标P2若 P(x0，y 0)为抛物线 y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x 0 ；若过焦点p2的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为|AB|x 1x 2p，x 1x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公
10、式可由数形结合的方法类似地得到11已知三棱锥 的四个顶点 都在球 的表面上， 平面ABCD,ABCDOAC，且 ，则球 的表面积为 （ ）,BC3,25A B C. D12798【答案】A【解析】试题分析：将三棱锥 补成长方体，其中长宽高为AC，所以其外接球的球心为长方体对角线的中点，即球直径3,2,5CBD为对角线长 ,球 的表面积为 ,选 A.412RO241R【考点】三棱柱外接球【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面
11、上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a 2b 2c 2求解12已知 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围0,xx21xekxk为 （ ）A B C. D,1e0,20,e0【答案】D【解析】试题分析：，222maxmin201(),()() xx xk ekkekxe因为 ，所以 令0,2max,，函数先减后增，所以2 22(1)01xeeyyx，因此实数 的取值范围为 ，选 D.2min1()x时 ， k0,e【考点】利用函数研究不等式恒成立问题【思路点睛】对于求不等式
12、成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.二、填空题13已知 是第二象限角，则 _.1sin,3tan【答案】24【解析】试题分析：因为 是第二象限角，所以1sin,3，因此22cos,ta342tantan4【考点】同角三角函数关系14运行如图所示的程序框图，输出的结果为 _.【答案】7【解析】试题分析：第一次循环： ；第二次循环： ；第三270,
13、i3S243,i5S次循环： ；结束循环，输出0,i7S【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.15已知正项等比数列 na满足 ，且 ，则数列 na的前22loglnna38n项和为 _.nS【答案】 12【解析】试题分析： ，因为2222logllog4nnnnaa，所以 ，因此数列 n的前 项和为38a1,q1()n【考点】等差数列公比16已知 且 ，函数 ，其中 ，则0a531
14、4logxaxfa4x函数 的最大值与最小值之和为_.fx【答案】8【解析】试题分析： ，所以5313514log4logx xaaa xf，即函数 关于点 对称，因此函数 的最大值与最小()8fxff0, f值之和为 8【考点】函数对称中心【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大f“”小关系三、解答题17已知向量
15、 ，函数 .3,sin,1sin3cos,2mxxxR fxmnA（1）求函数 的最小正周期及值域； f（2）已知 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若ABCabc，求 的周长.0,3,2fAabc【答案】 （1） ， （2）T03【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得 ，23sin3sico2fxx再利用倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，最后根据余弦函数性质求周21cos3incoss213fxxx期及值域（2）先根据 及三角形内角范围得 ，再0,fA 3A根据余弦定理得 ，即得222cos33abbc，因此 的周长为 .29,3bcABC试题解析：1）由题 ,2 23
16、1sinsicos3incoss213fxxxxx所以 的最小正周期为 ， ，故 的值fxT,1cos213xRxfx域为 .0,2（2） ,又 ，得 .在cos10,cos2133fAA0,3A中,由余弦定理,得 ,又 ,所BC222 3abbc ,2abc以 ,所以 的周长为 .293bcABC3【考点】余弦定理，二倍角公式及配角公式【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量
17、的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系” ，再利用三角函数的相关知识进行求解.18某校高三文科 名学生参加了 月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的501数学、语文情况，利用随机数表法从中抽取 名学生的成绩进行统计分析，抽出的0名学生的数学、语文成绩如下表.10（1）将学生编号为: , 若从第 行第 列的数开始右读，01,23,.49505请你依次写出最先抽出的 个人的编号(下面是摘自随机用表的第四行至第七行)5256896871724182697346630317329385041104（2）若数学优秀率为 ，求 的值；5,mn（3）在语文成绩为良的学生中，已知 ，求数学成绩“优”比“
18、良”的13,人数少的概率.【答案】 （1） （2） ， （3）385,426,098m17n52【解析】试题分析：（1）从第 行第 列的数开始右读，为5563，564,385,482,462,231,624，309，去掉超过 500 的得（2）由优秀率得 ，即得 ，再根据总385,426,3109890.351m18m数为 100，得 （3）先由总数为 100，得 因为 ，所以7n,n,n利用枚举法得满足条件的 有 种，其中数学成绩“优”比“良”的人数少包含,n15 种，最后根据古典概型概率求法得概率.试题解析：（1）编号依次为: .385,426,309（2）由 ,得 ,因为 ，得890.m
19、18110n.17n（3）由题意 且 ,所以满足条件的 有35,n,n,m,24,12069178,196205共 种,且每组出现都是等可能的.记: “数学成1,4,2绩“优”比“良”的人数少” 为事件 ，则事件 包含的基本事件有M,共 种,3,24,15,206,91785所以 .PM【考点】古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制
20、条件较多且元素数目较多的题目.19如图所示，四棱锥 的底面四边形 为平行四边形，其中SABCDABCD，且 相交于 .ACBD,OS（1） 求证: 平面 ;（2）若 ,点 是 中点求三棱锥 的体积.2,60SMABMC【答案】 （1）详见解析（2）12【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与证明，往往需要结合平几知识，如本题利用菱形性质及等腰三角形性质得线线垂直（2）求三棱锥的体积，关键在于确定高，而高往往利用线面垂直进行寻找：先由 平面 得面面平面 平面 ，因此ACSBDMACSBD只需过点 作 ,则得 平面 .再根据等体积
21、法及体积公式得MNBD1312ABCAV试题解析：（1）证明: 依题意，平行四边形 中， ，故四边形ABCDB为菱形，故 ，因为 ，所以DBC,SS所以 ， 因为 ，故 ，又,ABSSAOAC平面 平面 ，故 平面 .,CO,BDBBD（2）依题意, 是等边三角形, ,所以 ,过B2C21sin603ACS点 作 ,垂足为点 .由（1）知, ,故 平面 .在MNDNMN中, ,故三棱锥 的体积RtB3sin602BABMC. 1312AMCAV【考点】线面垂直判定定理，三棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)
22、证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20已知椭圆 和圆 分别与射线2:10xyCab22:Dxyb交于 两点，且 .0yx,AB2105OB（1）求椭圆 的方程;C（2）若不经过原点 且斜率为 的直线 与椭圆交于 两点，且 ，证明:线kl,MN1OMNS段 中点MN的坐标满足 .0,Pxy204xy【答案】 （1） （2）详见解析21【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般只需两个独立条件即可，一是得 ，二是由 得 即 （2）三角形面积一般OBb05OA241,a4选用底乘高的一半，其中底长为弦长 MN，高为点 O 到直线 距离，设直线 的方程为l
23、l，由直线与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得ykxm，再根据点到直线距离公式得22221241kmMNxAA，代入 得 ，从而2dkOMNS2k22 22110 44()4()()()14xyxy k试题解析：（1）由 ,知圆 半径为 ,由 ,知 ,设BDb05OA285A,则 , 椭圆的方程为 . Axy245221,4,a214xy（2）设 ,设直线 的方程为 ,由 ,得12,MxyNlykxm2ky,所以 ，而24840km2121284,xkA,原点 到直线 的距离为221224kNxAAOMN，21mdk所以 ，所以2141AMNmkSdA，即2214mk，即 ，则 ，220214
24、km12024xkm， 由，消去 得 .1202y 20xy【考点】直线与椭圆位置关系【思路点睛】解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.21已知函数 .2lnf
25、xax（1）若 ，求函数 的在 处的切线方程; f,ef（2） 若 ，证明: 方程 无解.e232lnxx【答案】 （1） （2）详见解析20xye【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得 ，利用导数kfe可得斜率为 ，再根据切点既在切线上又在曲线上得lnfxxe，所以根据点斜式可得切线方程（2）先化简方程：e试题解析：（1） 依题意， ,故 ,2ln1fxx22,fefe故所求切线方程为 ，即 ，然后利用2lnl3eln3x导数分别研究函数 及 ，因为lgxxln2xh，所以 ，又max11ln2geAgx，因此方程无解minl312ehx,即 .2yex20exye（2）依题意， ,即 ,
26、即2ln3lalnl3axx,令lnxax,当 时， ,令 ,得lgxae1ln,exgxexg0gx,令 ,得 ,所以函数 在 单调递增;令 ,1xe010,e得 ,所以函数 在 单调递减,所以gxe,所以 .设max11ln2geA2gx,所以 ,令 ,得 ,所以ln3,02h2lnh0hxe函数 在 单调递增;令 ,得 ,所以函数 在x,e0xe单调递减,所以 ,即 ,所以eminl312hehx,即 ,所以gxh232lfxx方程 无解. lnf【考点】导数几何意义，构造函数利用导数研究方程解【思路点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、
27、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等22坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知Ox直线 上两点 的极坐标分别为 .l,MN3,2（1）设 为线段 上的动点，求线段 取得最小值时，点 的直角坐标;PPP（2）求以为 为直径的圆 的参数方程，并求在（1）条件下直线 与圆 相交COC所得的弦长. 【答案】 （1） （2）3,4【解析】试题分析：（1）先根据 将 的极坐标化为直角sin,cosyx,MN坐标 ，再根据两点式求出线段 所在直线方程
28、 ，由3,03yx图可知当线段 时，线段 获得最小值，此时由直线方程联立方程组可解OPMNOP交点坐标 （2）先求出以 为直径的圆 直角坐标方程3,4 C，再利用三角代换得参数方程是 为2233xy 3cos2(inxy参数） ，最后根据垂径定理求弦长试题解析：（1） 的极坐标化为直角坐标分别为 ,故直线 的斜率,MN3,0l为 ,直线 的方程为 .由题意,当线段 时，线30l3yxOPMN段 获得最小值，此时直线 的斜率为 ，所以直线 的的方程为OPOP，联立 ，解得 ，故所求点 的直角坐标为3yx3yx34xyP. ,4（2）因为 的中点坐标为 ，故以 为直径的圆 直角坐标方程为MN3,2
29、MNC，化为参数方程是 为参数） ，因为圆2233xy 3cos2(inxy心 到直线 的距离为 ，所以直线,2C:3OPyx323d与圆 相交所得的弦长为 .OPC2223lrd【考点】极坐标化为直角坐标，直线与圆位置关系23不等式选讲已知函数 .13fxx（1）解不等式 ; （2） 若存在 ,使 ，求实数 的取值范围.xR24fxaa【答案】 （1） （2）3,0,【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义，将不等式化为三个不等式组，再求它们并集得原不等式解集（2）由绝对值三角不等式得 最大值为 ,再解不等式fx4得实数 的取值范围.4aa试题解析：（1） ,由 得4,11323,xfxx1fx的3,2xf解集为 . ,（2）由（1）知 最大值为 ,由题意,得 , ,即 的取值范fx424a04a围是 .0,4【考点】绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
