1、2017 届广东中山一中高三上学期统测二数学（文）试题一、选择题1已知集合 ， ，则 =（ |2Ax|130BxRAB）A B 2,C D(1)23【答案】A【解析】试题分析：因为,所以|30|1,|13RBxxCBx或，故选 A.|2R【考点】集合运算2在平行四边形 中， 为一条对角线， ， ，则ABCD(2,4)AB(1,3)C（ ）DA （2,4） B （3,5） C （1，1） D （1，1）【答案】C【解析】试题分析： ,故选 C.2,41,3AC【考点】平面向量的线性运算3设 , 则（ ）3ln,)76(,2151cbaA B cbaC Dabc【答案】B【解析】试题分析： ，所以
2、 ，故11563ln0,2,()7cabcba选 B.【考点】指数函数、对数函数的图象4在 中， “ ”是“ ”的（ ）条件ABCsiinABA充分而不必要 B必要而不充分 C充分必要 D既不充分也不必要【答案】C【解析】试题分析：由于大角对大边，同时大边对大角，及正弦定理可得，所以“ ”是“ ”的充分必要条absiniABsiniAB件，故选 C.【考点】充要条件与正弦定理5已知抛物线 的准线与椭圆 相切，则 的值为（ )0(2pyx 1462yxp）A B 43C D21【答案】A【解析】试题分析：抛物线 的准线方程为 ，由题意可得)0(2pyx 2py，所以 ，故选 A.2p4【考点】抛
3、物线的定义6已知 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是（ ）1a2()xfa1fxA B 20x0C D 【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以 可得 解得1a2()1xfa20x，所以使 成立的一个充分不必要条件是应该是 的20xfx|x一个真子集，故选 B.【考点】指数函数的性质与充要条件7要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向（ cos(2)3yxsin(2)yx）平移（ ）个单位A左， B右， 3C左， D右，66【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以要得到函数sin(2)cosyx的图象，只需要把 的图象向右平cos(2)co36yxsin(2)yx移 个单位即可,故选 D.
4、6【考点】三角函数的图象变换8函数 的图象大致为（ ）sincoyxx【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以排除 A,C,当函数在 轴右侧靠近原点的一个01fy较小区间 时， ，函数单调递增，故0,asincosinsi0xxx选 D.【考点】函数图象与函数性质9若 ，且 ，则 （ ）52)4sin(co)2,4(tanA B 33C D44【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 ，52)4sin(co252cosin即 ，平方可得 由 可得 ，10cosin53si2,)2,4(,2所以 ，所以 ，故选 A.42tan4【考点】三角求值【方法点睛】本题主要考查了三角函数给条件求值的问题，
5、属于中档题.解答这类问题通常从对条件的化简入手，逐步靠近结论.本题中利用二倍角公式和和角公式把条件化简得到 ，问题转化为同角三角函数的基本关系，平方可得10cosin5的值，结合给出的范围判断 的符号，求出其值即得 in2cos2tan210椭圆 的左焦点为 ，若 关于直线 的对2:1(0)xyCabF30xy称点 是椭圆 上的点，则椭圆 的离心率为（ ）ACA B 1232C. D.3231【答案】D【解析】试题分析：设椭圆的右焦点为 ， 与直线 的交点为 .可知：1FA30xyB； 为（ 的）直角三角形；于是FOB160A1有 ，所以 ，故选 D.32ca23e【考点】椭圆的几何性质.11
6、已知 为定义在 上的函数 的导函数，且()fx0,2()fx在 上恒成立，则（ ）cos()sinf,A. B.3243ff264ffC. D.6ff1sin1ff【答案】C【解析】试题分析：设 ， ，所以()sinfxg2sicos0nfxfxg在 上递增，所以 ，整理得()gx0,263sinsinff，故选 C.363ff【考点】利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生的发散思维能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的条件 进行联cos()sinxfx想，构造函数 ，求导既可应用该条件又能得到函数的单调性，把问题转()sinfxg化为根
7、据单调性比较大小的题目，使问题得到解答.12已知 ,直线 与函数 的图象在 处相切，abR2yab()tanfx4x设 ,若在区间 上，不等式 恒成立，则实数2()xge1,2mg有（ ）mA.最大值 B.最大值 e1eC.最小值 D.最小值【答案】B【解析】试题分析：由 可得 ，又 ，所以直线2()=cosfx 24f14f与函数 的图象切点为 ，因此 ；2yaxb()tanf,12,ab，所以当 时， ，xge1,2x20xge单调递增，所以 ， ；2min()12max()e或 ，故选 B.1me【考点】导数的几何意义，利用导数求函数在某区间上的最值.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何
8、意义，利用导数求函数在某区间上的最值，属于中档题.解答本题首先利用导数求出函数 的图象在 处的切线，()tanfx4x求导时把 化成 ，利用商的求导法则进行，求出 的值，再利用导数研究tanxsico,b函数 在区间 上的单调性，求出其最大值和最小值，列出 的2()geb1,2 m不等式组，求出其范围即可.二、填空题13已知向量 的夹角为 ，且 ， ，则 .,ab3()8ab2ab【答案】 4【解析】试题分析： ，所以2().2 1cos,48,4abab【考点】平面向量的数量积运算.14已知 ，则 .3s()65sin(2)6【答案】 13【解析】试题分析：.25 1sin(2)sin2co
9、s2cos66663【考点】三角求值与诱导公式、二倍角公式.15函数 的部分图象如右图所示，则 .ta()42yx()OABurr【答案】 6【解析】试题分析：由图可知 ， ， .A(2,0)B(3,1)()(5,1)6OAB【考点】正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现 分别是函数 轴右侧的第一,tan()42yxy个零点和函数值为 的点，即可求得 的坐标，进而求得向量 的坐1,AB,OABurr标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.16已知函数 )(xf是定义在 R上的奇函数，
10、当 0x时， ()1)xfe，给出下列命题：当 0时， ()1)xfe； 函数 xf有 2个零点； )(的解集为 ),(0,； Rx21,，都有 21xff.其中正确的命题是 .【答案】【解析】试题分析：设 ，则 ，故 ，0x1xfefx，故错误，又因为 )(x是定义在 R上的奇函数，所以1xfe，而 ，所以 有 个零点，故错误，当 时，0fff30x，当 时， 得 ，00xfex1xfe所以 )(的解集为 ),1(,，故正确；当 时，0，所以 在 ，当 时，2xfefx2minffex，所以 在 ，所以 ax1，因此正确；因此正确的命题为.2maxinffe【考点】命题的真假判断.【方法点睛
11、】本题主要考查了函数解析的求法，函数的零点，及函数在区间上的最值等，考查了函数的基本性质，属于中档题.本题解答的关键是根据函数的奇偶性和的解析式求出 的解析式，应用解析式求出不等式的解，并判断零点个数，0x0x难点是命题的判断，本质是通过研究其单调性求出其最值问题.三、解答题17某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内()sin()0,)2fxAx的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x 0 2 32 2x 3 56Asin（x） 0 5 5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式；（2）将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象，
12、()yfx6()yg求 的图象离原点 O 最近的对称中心.g【答案】 （1） ；（2） .5sin6fxx,01【解析】试题分析：（1）先根据 ，求出53,;,362xx，再令 分别等于 求出 的值即可完成表格和解析式；（2）根据,x0,平移变换的规则 ，令 ，求出5sin66gfxx,xkz的最小正值即得距离原点最近的零点.x试题解析：（1） 由上表可得： f （x）5sin .26x（2）由（1）知：f（x）5sin ，因此 g（x）5sin 5sin . 26x26x因为 ysin x 的对称中心为（k，0） ，kZ. 令 k，kZ，解得 x ，kZ.即 yg（x）图象的对称中心为21k
13、，kZ，,21k yg（x）图象离原点 O 最近的对称中心为 . ,012【考点】正弦函数的图象及其变换、正弦函数的性质.18已知向量 ),cos,()cos,2sin3( xnxm设函数 .()fxmn（1）求函数 )xf的单调递减区间；（2）设 分别是 ABC内角 的对边，若 ，,abc,()4,1fAb，求 的值.3ABCS【答案】 （1） ；（2） .,()63kkZ3a【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积的坐标运算和三角恒等变换可得，令 ，解出 的范围即得2sin()fx262xkx)(的单调递减区间；（2）由 可得 ，由三角形面积求出 ，再有余()4fA3c弦定理即可求得 a
14、的值.试题解析：（1） 2()3sincosinos23fxmxxx，当 即 时2sin(3626kk6k递减.)fx单减区间是 . (f ,()63kkZ（2）由（1）知 得 得：2sin()4A1sin26A526A.又 ， 3A3BCS1bc. 22cosab3a【考点】三角恒等变换、正弦函数的单调性及正余弦定理解三角形.19为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 （单位：万元）与隔热层厚度 （单位：cm）满足关系Cx，若不建隔热层，每年能源消耗费用
15、为 8 万元，设 为()(01)35kCxx ()fx隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.（1）求 的值及 的表达式；()f（2）隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值.()fx【答案】 （1） ；（2）隔热层修建 时，总40,k8061035f5cm费用最小值为 万元.7【解析】试题分析：（1）把 代入 可得 ，进,()()kCxx40k而得到 的表达式；（2）利用均值不等式即可求得 的最小值及相应 的值.()fx fx试题解析：（1）由已知条件得 C（0）8，则 k40， f（x）6x20C（x）6x （0x10）. 35x（2） f（x）6x10 102 1070（万元
16、） ， （也806135x可以利用导求最小值）.当且仅当 6x10 ，即 x5 时等号成立. 803当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f（x）达到最小值，最小值为 70 万元. 【考点】不等式的实际应用.20已知椭圆 ： 的离心率为 ，以原点 为圆心，椭圆C21(0)xyab63O的长半轴为半径的圆与直线 相切.2xy（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知点 ， 为动直线 与椭圆 的两个交点，问：在 轴AB()0kCx上是否存在点 ，使 为定值？若存在，试求出点 的坐标和定值，若E2AE不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2）定点为 ， .216xy7(,0)3E59AB【解析】试题分
17、析：（1）由离心率为 可得 ，以原点 为圆心，椭圆6caO的长半轴为半径的圆的方程为 ，其与直线 相切，利用C22xy260xy点到直线的距离等于半径可得 ，再由 即可求得 ，方程得解；2c22abc2b（2）假设在 轴上存在点 ，使 为定值，设出 点的坐标，根xEAB,EAB据向量数量积的运算得到 坐标的关系，设出直线 的方程，整理方程组得到,坐标的关系并代入，要使其值与 的斜率，则分离参数 ，让其系数为零，即,AB k得 点坐标.E试题解析：（1） 由 e ，得 ，即 c a 又因为以原点 O 为63ca63圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x2y 2a 2，且与直线 2x y60
18、相切，2a ，代入得 c2，所以 b2a 2c 22.226椭圆的方程为 1. 6x2y（2）由 得：（13k 2）x 212k 2x12k 260.2ykx设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，所以 x1x 2 ，x 1x2 ， 23k23k根据题意，假设 x 轴上存在定点 E（m，0） ，使得 2 （ ）EA EA AB EA EA AB 为定值，EA EB 则有： （x 1m，y 1）（x 2m，y 2）（x 1m）（x 2m）y 1y2EA EB （x 1m） （x 2m）k 2（x 12） （x 22） （k 21）x 1x2（2k 2m） （x 1x 2）（4k 2m
19、 2）（k 21） （2k 2m） （4k 2m 2）263k23k. 230要使上式为定值，即与 k 无关，则应使 3m212m103（m 26） ， 即 ，73此时 为定值，定点为 . 2569EABm 7(,0)E【考点】椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题，考查了待定系数和方程的思想，考生的运算能力和数据处理能力能力，属于难题.求椭圆方程，关键是根据题意找 的关系，容易解答，,abc难点是对定点、定值的处理，通常设出定点，进行反向验证，因为含有两个参数
20、，要搞清主元，本题中要求定点，所以定点的坐标 为主元.m21已知函数 .2ln(0)aefxx（1） 在 的切线与直线 平行，求 的值；y1,01yxa（2）不等式 对于 的一切值恒成立，求实数 的取值范围.axf【答案】 （1） ；（2） .0,【解析】试题分析：（1）由导数的几何意义可知 ，据此即可求得(1)3fae的值；（2）不等式 对于 的一切值恒成立，等价于afxa对于 的一切值恒成立.构造函数ln0xe，利用导数研究其在 上的单调性，求出最小值()2ga0,，再构造函数 ，讨论其单调性，11a 1()2(0)ahae得到满足题意的参数范围.试题解析：（1）函数 的定义域为 ，ln(
21、0)fxx,， ，由题意得 ， 22()aeaefx13fae31ae解得： . （2）不等式 对于 的一切值恒成立，等价于fx0对于ln2xae的一切值恒成立.0记 ，则 . ()lgxax()ln1gxa令 ，得 ，当 变化时， 的变化情况如下表1e,x(0,)a1ae1()a)g_ +(x极小 的最小值为 . )g11()2aagee记 ，则 ，令 ，得 .(20ha()h()0ha1当 变化时， 的变化情况如下表：a(),ha0(,1)(1,)() 0ha2e 极大值 2e 当 时，函数 在 上为增函数，01aha,1，1()()02haee即 在 上的最小值 ，满足题意. gx,h当
22、 时，函数 在 上为减函数， ，1a1,2()20ha即 在 上的最小值 ，满足题意.()x0,()0当 时，函数 在 上为减函数， ，2ah,()即 在 上的最小值 ，不满足题意.()gx,()a综上,所求实数 的取值范围为 . 0,2【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、在给定区间上的最值，不等式的恒成立等.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、在给定区间上的最值，不等式的恒成立等，考查了分类讨论的数学思想、函数的思想，属于难题.（1）中根据导数的几何意义图象在某点处的导数就是切线斜率，即可求 ；本a题的难点是（2）中不等式的恒成立，转化为函数的最
23、值，通过讨论求出满足条件的的范围， a22选修 41：几何证明选讲如图，直线 经过圆 上的点 ，并且 ，圆 交直线 于点ABOC,AOBCOB，其中 在线段 上.连结 ， .,EDED（1）证明：直线 是圆 的切线；ABO（2）若 ，圆 的半径为 ，求 的长.21CEDtan3OA【答案】 （1）证明见解析；（2） .5【解析】试题分析：（1）要整直线 是圆 的切线，可证 ；（2）由BC可证 BCDE，由 1tanDE可得 ,代入 BD2BCDE，即可求得 的长.OA试题解析：（1）证明：连结 C.因为 OBCA， .OCAB 又 是圆O的半径， A是圆 的切 线. （2） 解: 因为直线 A
24、B是圆 的切线， .DE 又 E， .BCDE 则有 DCE，又 1tan2，故 12.设 x，则 x，又 2B，故 2()(6)x，即 2360x.解得 ，即 D. 35.OADB【考点】圆切线的性质及三角形相似的应用.23选修 44：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 点xyx P的极坐标为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.(23,)6C2cos3iny（1）写出点 的直角坐标及曲线 的直角坐标方程；P（2）若 为曲线 上的动点，求 中点 到直线 的距QPQM:cos2i10l离的最小值.【答案】 （1） 的直角坐标 ， 的直角坐标方
25、程为 ；(3,)C22(3)4xy（2） .5【解析】试题分析：（1）由 可得点 的直角坐标，根据同角cos,inxyP三角函数的平方关系消去参数 ，即得得到曲线 的直角坐标方程；（2）用 坐标CQ表示数 的坐标，由点到直线的距离公式和正弦函数的性质即可求得距离的最小值.M试题解析：（1） 点 的直角坐标 ，由 ，得P(3,)2cos3inxy，22(3)4xy曲线 的直角坐标方程为 . C22(3)4xy（2）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的普通方程为cosinl，10xy设 ，则 ，那么点 到直线 的距离(2cos,32sin)Q3(cos,i)2MMl，235|cosin1|
26、5sin()|5212d点 到直线 的最小距离为 . Ml12【考点】圆的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化及点到直线的距离公式.24选修 4-5:不等式选讲已知函数 .()2fxa（1）当 时，求不等式 的解集；a()6fx（2）设函数 ，当 时， ，求 的取值范围.()1gxR()3fxga【答案】 （1） ；（2） .|3,【解析】试题分析：（1）由 可得 ，根据绝对值不等式解得基本()6fx|2|4x模型即可求得原不等式的解；（2）由绝对值三角关系可得，讨论 与 的()|2|1|fxgxa1|a|a1大小关系，求出 的范围.试题解析：（1） 当 时， .解不等式 ，得2()|2|fx|2|6x.3x 的解集为 ()6f|13x（2）当 时，R()|2|12|fgxax12|ax，|1|a当 时等号成立，所以当 时， 等价于 . 2xxR()3fxg|3当 时，等价于 ，无解.13a当 时，等价于 ，解得 .1a2a 的取值范围是 . ,)【考点】绝对值不等式的解法.
