1、2016 届福建省福州市高三上学期期末考试数学（文）试题 文科数学试题第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合 ， ，则 （ ）3 1 24A， ， ， 28xBRABA B C D， 3 1， ， 3 1 24， ， ，2.已知复数 满足 ，则 （ ）z23iizA B C10 D18103.若函数 ，则下列结论正确的是（ ）21fxaA ，函数 是奇函数RfB ，函数 是偶函数afxC ，函数 在 上是增函数f0 ，D ，函数 在 上是减函数aRfx ，4.已知 ，则 （ ）sin3cos2tanA B
2、 C. D 235.在如图所示的程序框图中，若 ， ， ，则输出的 等于（ ）126a4logb23logcxA B C.1 D20.250.56.已知 、 分别为双曲线 的左、右顶点， 是 上一点，且直线 ，2:10xyCabb， PCAP的斜率之积为 2，则 的离心率为（ ）BPA B C. D 23567.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C. D234235328.已知 的三个顶点的坐标分别为 ，对于 （含边界）内的任意C 1 3 ABC， ， ， ， ， ABC一点 ， 的最小值为 ，则 （ ） xy， zaxy2aA B C. D23459.某商场销售 型商
3、品，已知该商品的进价是每件 3 元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价（单位：元/件）应为（ ）A4 B C. D.105.8.510.已知三棱锥 的四个顶点都在半径为 2 的球面上，且 ，若 ， ，PAC PABC平 面 2A3C，则棱 的长为（ ）2BCA B C.3 D93311.已知函数 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且函数sin0 2fx， 2是偶函数，下列判断正确的是（ ）12fxA函数 的最
4、小正周期为 f 2B函数 的图象关于点 对称x7 01，C.函数 的图象关于直线 对称fx712xD.函数 在 上单调递增3 4，12.已知函数 ，其图象在点 处的切线斜率为 0，若 ，且函数321fxabxcd1 f， abc的单调递增区间为 ，则 的取值范围是（ ）fx mn， A B C. D312， 32， 13， 2 3，第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知两点 ，若向量 与 垂直，则实数 1 4AB， ， ， 4xa， ABx14.已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 2 1lnxaf， ， a15.已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线
5、上的动点，点 ，则 的最小值为 2:4CxyFPC0 1Q， PFQ16.已知数列 满足 ，则 na11 cos3nna， 2016a三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）在 中， 的对边分别是 ，且 .ABC ， ， abc， ， 2osaBcb（）求 的大小；（）若 ，求 的面积.2 4abc， ABC18.（本小题满分 12 分）等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 .nnS24 a， 530Snb12nba（）求 ；a（）设 ，求数列 的前 项和 .1nncbncnT19.（本小题满分 12 分
6、）如图，三棱柱 中，平面 ， 是 的中点.1ABC1ABC平 面 DA（）求证： ；11BCAD 平 面（）若 ， ，求三棱錐 的体积.601 2 BAC， ， 1B1ABD20.（本小题满分 12 分）已知过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.0 2A， l2:3xyPQ（）若直线 的斜率为 ，求 的取值范围；lk（）若以 为直径的圆经过点 ，求直线 的方程 .PQ1 0E， l21.（本小题满分 12 分）已知函数 ， .21xfex（）求 的最小值；f（）若 ，求实数 的取值范围.1fxaa请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满
7、分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 是半径为 1 的 上的点， ， 在点 处的切线交 的延长线于点 ABCD， ， ， OA1BDCOABAD.E（）求证： ；EBDCA（）若 为 的直径，求 的长.AOE23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数） ，xy1C7cos2inxy曲线 ，以坐标原点 为极点， 轴的在半轴为极轴建立极坐标系.22:1CO（）求曲线 的普通方程和曲线 的极坐标方程；12（）若射线 与曲线 分别交于 ， 两点，求 .6012 C， ABA24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选
8、讲已知函数 . fxaR，（）当 时，求 的解集；11fx（）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围.301xa2016 年福建省普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:CADDC 6-10:BAACC 11、12：DB二、填空题13. 14. 15. 16.032 )， 2三、解答题17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，满分 12 分.解法一：（）因为 ，2cosaBb由余弦定理得， ，2 分2c即 ，3 分22bcb根据余弦定理，有 .5 分221cosbcabAc又
9、 ，故 .6 分0A3（）因为 ，2 a，由余弦定理得， ，8 分4bc由正弦定理得， ，2 分2sinco2sinABCB因为 ，ABC所以 ，3 分sicsisi所以 ，4 分2on因为 ，所以 .5 分si0B1cos2A又 ，故 .6 分A3（）同解法一.18.本小题主要考查等差数列的通项公式、前 项和公式及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查n函数与方程思想等，满分 12 分.解：（）设等差数列 的公差为 ，由 ， 得nad24a530S4 分145302ad解得 ， ，5 分1所以 ， .6 分2nan*N（）由（）得， ，122nbb所以 时， ，8 分2n1得， ， ，9
10、 分 nb*n又 也符合（ *）式，所以 ， .10 分12ba2nb*N所以 ，11 分141nnc 所以 .12 分14423n nTn 19.本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，满分 12 分.解法一：（）连结 交 于点 ，则 为 的中点，1ABO1AB 是 的中点，DAC .2 分1OB又 ， ，4 分平 面 11ABD平 面 .5 分11CAD 平 面（） ， ， ，2C60 ，2 cos3BBAC .6 分3A取 中点 ，连结 ，M1A ， ，1B60B 为等边三角形
11、，A ，且 ，1132又平面 ，平面 ，BAC平 面 1BACB平 面，11AM平 面 ，8 分平 面 ，10 分1324ABDABCS .12 分1 18DM解法二：（）取 中点 ，连结 ， ， ，11BD1C ， ， ，112ADC2A1C ，四边形 为平行四边形，1 ，CDA又 ， ，11B平 面 11CDAB平 面 .2 分 平 面 ，11A 四边形 为平行四边形，DB ，1又 ， ，1A平 面 11ABD平 面 .4 分1BD 平 面又 ，1C平面 .1ABD 平 面又 平面 ，1B 平面 .5 分C 1（） ，2 60ABAC， ， ，2 cos3B .6 分3AB ，22C .7
12、 分又平面 平面 ，平面 平面 .1ABC1ABCAB .9 分C平 面 ，1160 ， ,3A .10 分1113sin24BSAB 是 中点，DC .12 分11113238ABABCABABVVSC20.本小题主要考查直线与圆锥曲线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，分类与整合思想等，满分 12 分.解：（）依题意，直线 的方程为 ，1 分l2ykx由 ，消去 得 ，3 分213xyy23190k令 ，4 分2260k解得 或 ，1所以 的取值范围是 .5 分k -1 +， ，（）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则 ，此时以 为直
13、径的圆l l0x 1 0 1PQ， ， ， PQ过点 ，满足题意.6 分1 0E，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，又 ，l l 122 ykxyxy， ， ， ， 1 0E，所以 .7 分1122 1 PxyEQx， ， ，由（）知， ，8 分219 33kk，所以 12Exy1221xkx212125kxkx22933.10 分214k因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，即 ，PQ1 0E， 0EPQ21403k解得 ，满足 .76k故直线 的方程为 .11 分l726yx综上，所求直线 的方程为 或 .12 分l0726yx21.本小题主要考查函数的最值、导数及其应用、不等式等基础
14、知识，考查推理论证能力、运算求解能力，创新意识等，考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想、数形结合思想等，满分 12 分.解法一：（）因为 ，21xfe所以 .2 分1xfe令 ，则 ，xg1xge所以当 时， ，00故 在 上单调递增.3 分gx )，所以当 时， ，即 ，0gx00fx所以 在 上单调递增，fx )，故当 时， 取得最小值 1.4 分0f（） （1）当 时，对于任意的 ，恒有 ，a0x1ax又由（）得 ，故 恒成立，7 分1fx1fa（2）当 时，令 ，0a2xhex则 ，8 分 1xhe由（）知 在 上单调递增，xga0 )，所以 在 上单调递增，9 分 1x
15、he ，又 ，10 分0ha取 ，由（）得 ，2x2211aea， 0ahe a所以函数 存在唯一的零点 ，x0 2xa，当 时， ， 在 上单调递减，0 ， h0 )，所以当 时， ，即 ，不符合题意. x， x1fxa综上， 的取值范围为 .12 分a( 0，解法二：（）同解法一.（）令 ，则 .5 分211xheax 1xhea由（）知， 时， ，00（1）当 时， ，6 分axe此时 在 上单调递增，hx0 )，所以当 时， ，即 .0xh211xeax即 时， 恒成立.8 分0a1fa（2）当 时，由（）知 在 上单调递增，1xge0 )，所以 在 上单调递增， 1xhea0 )，所
16、以 在 至多存在一个零点 .9 分0 )，如果 在 存在零点 ，因为 ，hx ， 0x0ha则 ，且 ，故当 时， ，00 ， 0xh所以 在 上单调递减，hx )，所以当 时， ，即 ，不符合题意.10 分0 ， 0hx1fxa如果 在 不存在零点，因为 ，则当 时，恒有 ，hx )， 0h0 x， 0hx所以 在 上单调递减，0 ，则当 时， ，即 ，不符合题意. x， hx01fxa综上， 的取值范围为 . 12 分a( 0，请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修 41：几何证明选讲本小题主要考查圆的性质等基础知识，考
17、查推理论证能力，运算求解能力等，考查化归与转化思想等.满分 10 分解法一：（）因为 是 的切线，所以 ，2 分BEOAEBDA因为 ，所以 ，3 分BDCDC所以 ，4 分A所以 .5 分E（）若 为 的直径（如图） ，连结 ，ADOOB则 ，7 分OBE由 ，可得 ，8 分1D60BOE在 中，因为 ，Rt tan所以 .10 分ta603BE解法二：（）同解法一.（）因为 为 的直径，所以 .6 分ADO90ABD又 ， ，所以 ， ，7 分1B236由（）得 ，EB所以 ，所以 ，30 0AEB所以 .9 分1D又 ，所以 ，即 .10 分2BEA213B323.选修 4-4：坐标系与
18、参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，满分 10 分.解：（）由 得 ，7cos2inxy7cos2inxy所以曲线 的普通方程为 .3 分1C2把 ， ，代入 ，cosxsiny21xy得 ，221i化简得，曲线 的极坐标方程为 .5 分2C2cos（）依题意可设 .12 66AB， ， ，因为曲线 的极坐标方程为 ，6 分1 4sin30将 代入曲线 的极坐标方程得 ，061C2解得 .7 分13同理将 代入曲线 的极坐标方程得 .8 分06223所以 .10 分123AB24.选修 4-5：不等式选讲本小题主要考查绝对
19、值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类与整合思想等，满分 10 分.解法一：（） 时，原不等式可化为 ，1 分1a1x当 时，原不等式可化为 ，即 ，1x2此时， 不等式的解集为 .2 分1x当 时，原不等式化为 ，即 .1x1x2x此时，不等式的解集为 .3 分12x当 时，原不等式化为 ，即 ，1x21此时，不等式的解集为 .4 分综上，原不等式的解集为 .5 分12x（）不等式 的解集包含 ，30f1x等价于 对 恒成立，xa( x，即 对 恒成立，7 分3 1，所以 ，即 对 恒成立，8 分xax42ax( 1，故 的取值范围为 .10 分 ，解法二：（）同解法一.（）因为 ，所以不等式 可化为 ，fxa30fx30xa当 时，不等式化为 ，解得 ；6 分xa304a当 时，不等式化为 ，解得 .7 分ax2x故当 时，原不等式的解集为 ，0aa由于不等式 的解集包含 ，30x1x所以 ，解得 .8 分12a2a当 时，原不等式的解集为 ，04ax由于不等式 的解集包含 ，30xa1所以 ，解得 .9 分144综上， 的取值范围为 .10 分a 2，
