1、页 1 第2018 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若是虚数单位，则复数 的实部与虚部之积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由复数的运算法则有： ，则实部和虚部之积为 .本题选择 B 选项.2. 设集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】求解指数不等式可得： ，据此有： .观察选项，只有 C 选项符合题意 .本题选择 C 选项.3. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D.
2、 若 ，则【答案】D【解析】逆否命题同时否定条件和结论，然后将条件和结论互换位置，据此可得：命题“若 ，则 ”的逆否命题是若 ，则 .本题选择 D 选项.4. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的实数 的值为（ ）页 2 第A. -3 B. -3 或 9 C. 3 或 -9 D. -9 或-3【答案】B【解析】结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数： 的函数值，且函数值为 ，据此分类讨论：当 时， ；当 时， ；综上可得，输入的实数 的值为 或 .本题选择 B 选项.5. 刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术
3、可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设圆的半径为 ，则圆的内接正六边形可以分解为 6 个全等的三角形，且每个三角形的边长为 ，据此可得，圆的面积为 ，其内接正六边形的面积为 ，利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是 .本题选择 B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷页 3 第直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出
4、事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可.6. 如图所示，网络纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】结合三视图可知该几何体是圆锥的一半，且圆锥底面半径 ，圆锥的高 ，据此可知该几何体的体积： .本题选择 A 选项.7. 设 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A. -15 B. -9 C. 1 D. 9【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，观察可得目标函数在点 处取得最大值： .本题选择 C 选项.页 4 第点睛：求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在
5、 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.8. 若 4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.A. 4 B. 8 C. 12 D. 24【答案】B【解析】由不对号入座的结论可知，三个人排队，对对号入座的方法共有 2 种，据此结合乘法原理可知，满足题意的站法共有： 种.本题选择 B 选项.9. 函数 在 的单调递增区间是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】整理函数的解析式有：若 ，则 ，据此可知函数的单调递增
6、区间满足： ，即 ，则函数的单调递增区间是 .本题选择 C 选项.10. 已知双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为： ，即： ，页 5 第由直线与圆的位置关系可得： ，整理可得： ，则： ，据此有： .本题选择 B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c 2a 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a
7、2 转化为关于 e 的方程( 不等式)，解方程(不等式) 即可得 e(e 的取值范围)11. 在各项都为正数的等比数列 中，若 ，且 ，则数列 的前 项和是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由等比数列的性质可得： ，则数列的公比： ，数列的通项公式： ，故： ，则数列 的前 项和是：.本题选择 A 选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的12. 设函数 是定义在 上的偶函数，且页 6 第，当 时 ， ，若在区间 内关于 的方程 （ 且 ）有且只有 4 个不
8、同的根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知 在 上递减， 是偶函数，则 在 上递增，又 ，即 的图象关于直线 对称，因此 在 上递减，在 上递增（实际上 是周期为 4 的周期函数） ，方程 在区间 内有 4 个根，即函数 与函数 的图象有 4 个交点，如图，所以 且 ，解得 ，故选 D点睛：（1）本题考查函数零点与方程根的关系问题，解题方法把方程的根转化为函数图象交点，如本题中方程 在 上有 4 个根，转化为函数 与函数 的图象在 上有 4个交点，为此先作出函数 的图象，根据已知得出 是周期为 4 的周期函数，再根据偶函数的性质可以作出 的图象；（2）如
9、满足 ，则 是其对称轴；（3）如果 的图象有两个对称轴 和 ，则它是周期函数， 是它的一个周期.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上.13. 已知随机变量 ，若 ，则 _【答案】0.8【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线 对称，则：，则： .14. 在推导等差数列前 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得_页 7 第【答案】44.5【解析】令 ，则： ，两式相加可得： ,故： ，即 .15. 已知正三角形 （ 为坐标原点）的顶点 在抛物线 上，则 的边长是_【答案】【解析】设点 A 位于第一象限，由抛物线图形的对称性可知
10、，直线 的方程为： ，联立直线方程与抛物线方程可得交点坐标为： ，则 ，结合两点之间距离公式可得： ,即 的边长是 .16. 已知 是直角边为 2 的等腰直角三角形，且 为直角顶点， 为平面 内一点， 则的最小值是_【答案】-1【解析】以 A 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，则 ， ，利用向量的坐标运算法则有：，据此可知，当 ，即点 坐标为 时， 取得最小值是 .点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；页 8 第利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程
11、或演算步骤 .第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答.17. 在 中，已知内角 对边分别是 ，且 .（）求 ；（）若 ， 的面积为 ，求.【答案】 （） （）【解析】试题分析：()由题意利用正弦定理边化角可得 ，结合诱导公式和两角和差正余弦公式可得，结合三角形的性质可得()由题意结合面积公式可得 ，然后利用角 C 的余弦定理得到关于 c 的等式，整理计算可得 .试题解析：（）由正弦定理得又又 （）由面积公式可得18. 如图所示，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是正方形，且 ， .页 9 第（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值.
12、【答案】 （）见解析（） .【解析】试题分析：()利用面面垂直的性质定理可得 平面 .据此有 ，结合 可得 平面 .最后利用面面垂直的判定定理可得平面 平面 .()取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ，以 的方向分别为 轴， 轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，据此计算可得二面角 的余弦值为 .法 2：若以 为原点，建立空间直角坐标，则面 的法向量 面 的法向量 ，计算可得 为钝角，则余弦值为 .试题解析：（）证明：底面 为正方形， .又平面 平面 ， 平面 .又 平面 ， . ， ， 平面 . 平面 ，平面 平面 .（）取 的中点为 ，
13、的中点为 ，连接易得 底面 ，以 为原点，以 的方向分别为 轴， 轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为 2，可得 ， ， ，设平面 的一个法向量为页 10 第而 ，即取 得设平面 的一个法向量为而 ，则 即 取 得由图知所求二面角为钝角故二面角 的余弦值为 .法 2：若以 为原点，建立空间直角坐标，如图，不妨设正方形的边长为 2可得面 的法向量面 的法向量由图可得 为钝角页 11 第余弦值为 .点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设 m，n 分别为平面 ， 的法向量，则二面
14、角 与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角19. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了 45 人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占 、朋友聚集的地方占 、个人空间占 .美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占 、个人空间占 .为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福） ”是否与国别有关，构建了如下 列联表.在家里最幸福 在其它场所幸福 合计中国高中生美国高中生合计（）请将 列联表补充完整；试判断能否有 的把握认为“恋家
15、”与否与国别有关；（）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人.若所选 2 名学生中的“恋家”人数为 ，求随机变量 的分布列及期望.附： ，其中 .页 12 第0.050 0.025 0.010 0.0013.841 5.024 6.635 10.828【答案】 （）见解析（）见解析【解析】试题分析：()由题意结合所给的数据写出列联表，据此计算可得 ，则有 的把握认为“恋家”与否与国别有关.()由题意可得： 的可能取值为 0，1，2，计算相应的概率值有：， ， ，据此得到分布列，计算数学期望有 .试题解析：（）在家 其他
16、合计中国 22 33 55美国 9 36 45合计 31 69 100 有 的把握认为“ 恋家”与否与国别有关.（）依题意得，5 个人中 2 人来自于“在家中”是幸福，3 人来自于“在其他场所”是幸福， 的可能取值为0，1，2， ， 的分布列为0 1 3页 13 第 .20. 设 为坐标原点，动点 在椭圆 上， 过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 .（）求点 的轨迹方程 ；（）过 的直线 与点 的轨迹交于 两点，过 作与 垂直的直线 与点 的轨迹交于 两点，求证： 为定值.【答案】 （） （） .【解析】试题分析：()设 ，由题意可得 ，则 ，点 在椭圆上，整理计算可得轨迹方程为 .()分类
17、讨论：当 与 轴重合时， .当 与 轴垂直时， .当 与 轴不垂直也不重合时，可设 的方程为 ， ， ， 联立直线与椭圆的方程有 ，结合弦长公式有 ，把直线 与曲线椭圆联立计算可得 .则 .据此，结论得证.试题解析：（）设 ，易知 ， ，又因为 ，所以 ，页 14 第又因为 在椭圆上，所以 ，即 .（）当 与 轴重合时， ， ， .当 与 轴垂直时， ， ， .当 与 轴不垂直也不重合时，可设 的方程为此时设 ， ， ，把直线 与曲线 联立 ，得 ，可得 ，把直线 与曲线 联立 ，同理可得 . .点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理
18、、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值页 15 第21. 已知 ， .（）求函数 图象恒过的定点坐标；（）若 恒成立，求的值；（）在（）成立的条件下，证明： 存在唯一的极小值点 ，且 .【答案】 （） （） （）见解析【解析】试题分析：()因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证 ，据此可得函数的图象恒过点 .()原问题等价于 恒成立.构造函数 ，分类讨论有： 若 时， 不能恒成立.若 时， 在 时为极小值点， ，满足题意时只需 .讨论可得要使函数 成立，只有在 时成立.()结合() 的结论有 ，构造函数 ，结合函数的性质可得 一定有 2 个零点，分别为 的一个极大值点和一个极
19、小值点，则函数在区间 上存在一个极值点，所以最小极值点在内.据此整理计算可得 .试题解析：（）因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证 ，此时 ，所以函数的图象恒过点 .（）依题意得： 恒成立， 恒成立.构造函数 ，则 恒过 ， ，若 时， ， 在 上递增， 不能恒成立 .若 时， ， . 时， ，函数 单调递减；时， ，函数 单调递增，页 16 第 在 时为极小值点， ，要使 恒成立，只需 .设 ，则函数 恒过 ， ，函数 单调递增；， ，函数 单调递减， 在 取得极大值 0，要使函数 成立，只有在 时成立.（） ，设，令 ， 在 单调递减，在 单调递增，在 处取得极小值可得 一定有 2
20、 个零点，分别为 的一个极大值点和一个极小值点设 为函数 的极小值点，则 ， ， ，因为 ，因为 ，所以在区间 上存在一个极值点，所以最小极值点在 内.函数 的极小值点的横坐标 ，函数 的极小值 ， .（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：极坐标与参数方程设过原点 的直线与圆 的一个交点为 ， 点为线段 的中点，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求点 的轨迹 的极坐标方程 ；页 17 第（）设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值.【答案】 （） ， ， （） .【解析】试题分析
21、：()设 ，则 ，据此可得轨迹方程为： ， ， .()由题意可得直线 的直角坐标方程为 ，则点 到直线的距离为 ，据此计算可得面积的最大值为 .试题解析：（）设 ，则又点 的轨迹的极坐标方程为 ， ， ， .（）直线 的直角坐标方程为点 到直线的距离为.23. 选修 4-5：不等式选讲已知 ， ，函数 .（）当 ， 时，解关于 的不等式 ；（）若函数 的最大值为 2，求证： .【答案】 （） （）见解析【解析】试题分析：()由题意可得 .零点分段求解不等式可得不等式的解集为 ；页 18 第()由绝对值三角不等式可得 ，则 .由均值不等式的结论可得 ，当且仅当 时，等号成立.证法二：由题意可得 ，零点分段可得 ，结合函数图像可得 .由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的结论.试题解析：（）当 时， .不等式 为 .当 时，因为不等式为 ，所以不等式成立，此时符合；符合要求的不等式的解集为 ；当 时，因为不等式为 ，所以 ，此时，符合不等式的解集为 ；当 时，因为不等式为 不成立，解集为空集；综上所述，不等式 的解集为 .（）由绝对值三角不等式可得， ， . ，当且仅当 时，等号成立.另解：（）因为 ， ，所以 ，所以函数，所以函数 的图象是左右两条平行于 轴的射线和中间连结成的线段，所以函数的最大值等于 ，所以 . ，页 19 第 .或者 ，当且仅当 ，即 时， “等号”成立.
