1、2015-2016 学年上海市复兴高中高三（下） 3 月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分 ）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分1已知集合 A=x|y=lgx，B=x|x 22x30，则 AB= 2如果复数（1+i） （1+mi）是实数，则实数 m= 3方程 log2（ x1）=2 log2（x +1）的解集为 4已知圆锥的轴截面的母线与轴的夹角为 ，母线长为 3，则过顶点的截面面积的最大值为 5已知 0yx，且 tanxtany=2， ，则 xy= 6设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S7=42，则 a
2、2+a3+a7= 7圆 C：（x2） 2+y2=4，直线 l1：y= x，l 2：y=kx1，若 l1，l 2 被圆 C 所截得的弦的长度之比为 1：2，则 k 的值为 8设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 2，则该球的表面积为 9已知 f（x）=ln（x+ a） ，若对任意的 mR，均存在 x00 使得 f（x 0）=m ，则实数 a 的取值范围是 10若直线 y=k（x+1） （k0）与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，且 A，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是 M，N，若|BN |=2|AM|，则 k 的值是 11在极坐标系中，直线 sin
3、=3 被圆 =4sin 截得的弦长为 12一射手对靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶的概率是 0.9，他有 3 颗弹子，射击结束后尚余子弹数目 的数学期望 E= 13已知ABC ，若存在 A 1B1C1，满足 ，则称A 1B1C1 是ABC 的一个“友好”三角形在满足下述条件的三角形中，存在“友好” 三角形的是 ：（请写出符合要求的条件的序号）A=90，B=60，C=30；A=75 ，B=60，C=45； A=75，B=75，C=3014如图，在ABC 中， ACB=90 ，AC=2 ，BC=1，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运
4、动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大距离是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15已知数列a n中， ，若利用下面程序框图计算该数列的第 2016 项，则判断框内的条件是（ ）An 2014 Bn2016 Cn 2015 Dn 201716在锐角ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，若 sin2Ccos2C= ，则下列各式正确的是（ ）Aa +b=2c Ba+b2c Ca+b 2c Da+b 2c17已知集合 M=（x，y）|x 2+y21，
5、若实数 ， 满足：对任意的（x ，y ） M，都有（x ，y） M，则称（，）是集合 M 的“和谐实数对”则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ）A（，）|+=4 B（ ， ）| 2+2=4 C（，）| 24=4 D（， ）|22=418已知正方体 ABCDABCD，记过点 A 与三条直线 AB，AD，AA所成角都相等的直线条数为 m，过点 A 与三个平面 AB，AC ，AD 所成角都相等的直线的条数为 n，则下面结论正确的是（ ）Am=1，n=1 Bm=4，n=1 Cm=3，n=4 Dm=4 ，n=4三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
6、域内写出必要的步骤19如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ，AB=AC=2 ，AA 1=6，点 E、F 分别在棱AA1、CC 1 上，且 AE=C1F=2（1）求四棱锥 BAEFC 的体积；（2）求BEF 所在半平面与ABC 所在半平面所成二面角 的余弦值20如图，某城市设立以城中心 O 为圆心、r 公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心 O 正东方向上有一条高速公路 PB、西南方向上有一条一级公路 QC，现要在保护区边缘 PQ 弧上选择一点 A 作为出口，建一条连接两条公路且与圆 O 相切的直道 BC已知通往一级公路的道路 AC 每公里造价为 a 万元，通往高速公路的道路
7、AB 每公里造价是 m2a 万元，其中 a，r，m 为常数，设POA= ，总造价为 y 万元（1）把 y 表示成 的函数 y=f（） ，并求出定义域；（2）当 时，如何确定 A 点的位置才能使得总造价最低？21已知椭圆 的右顶点、上顶点分别为 A、B，坐标原点到直线 AB 的距离为 ，且 （1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 M、N 两点，且该椭圆上存在点 P，使得四边形MONP（图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线 l 的方程22对于函数 f（x ） ，若在定义域内存在实数 x，满足 f（x）= f（x） ，则称 f（x）为“局部奇函
8、数”（）已知二次函数 f（x ）=ax 2+2x4a（aR ） ，试判断 f（x）是否为“局部奇函数” ？并说明理由；（）若 f（x）=2 x+m 是定义在区间 1，1上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围；（）若 f（x）=4 xm2x+1+m23 为定义域 R 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围23已知等比数列a n的首项 a1=2015，数列a n前 n 项和记为 Sn，前 n 项积记为 Tn（1）若 ，求等比数列a n的公比 q；（2）在（1）的条件下，判断|T n|与|T n+1|的大小；并求 n 为何值时，T n 取得最大值；（3）在（1）的条件下，证明：若数列a n中
9、的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为 d1，d 2，d n，则数列dn为等比数列2015-2016 学年上海市复兴高中高三（下）3 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分 ）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分1已知集合 A=x|y=lgx，B=x|x 22x30，则 AB= （0，3） 【考点】交集及其运算【分析】分别求出集合 A，B ，从而求出其交集即可【解答】解：集合 A=x|y=lgx=x|x0|，B=x|x22x30= x|1
10、x 3，则 AB=（0，3） ，故答案为：（0，3）2如果复数（1+i） （1+mi）是实数，则实数 m= 1 【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义【分析】先化简复数，然后令其虚部为 0【解答】解：（1+i） （1+mi）=m +1+（m +1）i该复数为实数，m+1=0，解得 m=1，故答案为：13方程 log2（ x1）=2 log2（x +1）的解集为 【考点】对数的运算性质【分析】利用对数的性质及运算法则直接求解【解答】解：log 2（x1）=2 log2（x +1） ，log 2（x1）= ， ，解得 x= 方程 log2（x1）=2log 2（x +1）的解集为 故
11、答案为： 4已知圆锥的轴截面的母线与轴的夹角为 ，母线长为 3，则过顶点的截面面积的最大值为 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】直接利用截面面积公式，通过母线夹角的范围，求出过顶点的截面面积的最大值即可【解答】解：由题意 S= ， 为圆锥母线与母线的夹角，l 为圆锥母线长，由题意 0， ，S= 当且仅当 时，面积取得最大值故答案为： 5已知 0yx，且 tanxtany=2， ，则 xy= 【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由题意可得 cosxcosy= ，进而可得 cos（ xy）=cosxcosy+sinxsiny= ，由余弦函数可知 xy 的值【解答】解：由题意可得 tanx
12、tany= =2，解得 cosxcosy= ，故 cos（x y）=cosxcosy +sinxsiny=故 xy=2k ，kZ，又 0yx，所以 0xy所以 xy=故答案为：6设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S7=42，则 a2+a3+a7= 18 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由等差数列通项公式和前 n 英和公式求出 a1+3d=6，由此能求出 a2+a3+a7 的值【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 7=42， =42，解得 a1+a7=12，2a 1+6d=2（a 1+3d）=12，即 a1+3d=6，a 2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1
13、+6d=3（a 1+3d）=36=18故答案为：187圆 C：（x2） 2+y2=4，直线 l1：y= x，l 2：y=kx1，若 l1，l 2 被圆 C 所截得的弦的长度之比为 1：2，则 k 的值为 【考点】直线与圆的位置关系【分析】由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得 k 的值【解答】解：圆 C：（x2） 2+y2=4 的圆心为（2，0） ，半径为 2，圆心到直线 l1：y= x 的距离为 ，l 1 被圆 C 所截得的弦的长度为 2，圆心到 l2 的距离为 ，l 2 被圆 C 所截得的弦的长度为 2 ，结合 l1，l 2 被圆 C 所截得的弦的长度之比为 1：
14、2 ，可得 2 =22，求得 k= ，故答案为 8设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 2，则该球的表面积为 8 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积【解答】解：设三棱柱 ABCABC的上、下底面的中心分别为 O、O，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段 OO中点 O1，OA= AB=1，OO 1= AA=1O 1A=因此，正三棱柱的外接球半径 R= ，可得该球的表面积为 S=4R2=8故答
15、案为：89已知 f（x）=ln（x+ a） ，若对任意的 mR，均存在 x00 使得 f（x 0）=m ，则实数 a 的取值范围是 4，+） 【考点】对数函数的图象与性质【分析】令 t=x+ a，求出 t 的范围，于是函数 y=lnt，根据对数函数的性质，求出 a 的范围即可【解答】解：令 t=x+ a，易知 t4a，+）于是函数 y=lnt，t4a，显然当 4a 0 时便有 t0 恒成立，即 a4，故答案为：4，+） 10若直线 y=k（x+1） （k0）与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，且 A，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是 M，N，若|BN |=2|AM|，则 k 的值是
16、 【考点】抛物线的简单性质【分析】直线 y=k（x+1） （k0）恒过定点 P（1，0） ，由此推导出|OA|= |BF|，由此能求出点 A 的坐标，从而能求出 k 的值【解答】解：设抛物线 C：y 2=4x 的准线为 l：x=1直线 y=k（x +1） （k0）恒过定点 P（1，0） ，过 A、B 分别作 AMl 于 M，BN l 于 N，由|BN|=2|AM|，则|BF |=2|AF|，点 A 为 BP 的中点连接 OA，则|OA|= |BF|，|OA|=|AF|，点 A 的横坐标为 ，点 A 的坐标为（ ， ） ，把（ ， ）代入直线 l：y=k （x+1） （k 0） ，解得 k= 故
17、答案为： 11在极坐标系中，直线 sin=3 被圆 =4sin 截得的弦长为 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程、再利用点到直线的距离公式、弦长公式即可得出【解答】解：直线 sin=3 即 y=3=4sin 化为 2=4sin，x 2+y2=4y，化为 x2+（y2） 2=4可得圆心 C（ 0，2 ） ，半径 r=2圆心到直线的距离 d=1，直线 sin=3 被圆 =4sin 截得的弦长=2 =2 故答案为：2 12一射手对靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶的概率是 0.9，他有 3 颗弹子，射击结束后尚余子弹数目 的数学期望 E= 1.89 【考点】离散型
18、随机变量的期望与方差【分析】 的可能取值是 0，1，2，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率做出变量对应的概率，根据期望值公式做出期望【解答】解：由题意知 的可能取值是 0，1，2，P（=0 ）=0.10.1=0.01P（=1 ）=0.10.9=0.09P（=2 ）=0.9，E=10.09+20.9=1.89故答案为 1.8913已知ABC ，若存在 A 1B1C1，满足 ，则称A 1B1C1 是ABC 的一个“友好”三角形在满足下述条件的三角形中，存在“友好” 三角形的是 ：（请写出符合要求的条件的序号）A=90，B=60，C=30；A=75 ，B=60，C=45； A=75，B=
19、75，C=30【考点】正弦定理【分析】满足 ，则有 A1= A，B 1= B，C 1= C 逐一验证选项即可【解答】解：满足 ，则有 A1= A，B 1= B，C 1= C对于，cosA=cos90=0，显然不成立对于，可取 满足题意对于，经验证不满足故答案为：14如图，在ABC 中， ACB=90 ，AC=2 ，BC=1，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大距离是 1+ 【考点】两点间距离公式的应用【分析】RtAOC 的外接圆圆心是 AC 中点，设 AC 中点为 D，根据三角形三边关系有OBO
20、D+BD=1+ ，即 O、D、B 三点共线时 OB 取得最大值【解答】解：作 AC 的中点 D，连接 OD、BD，OBOD+BD，当 O、D、B 三点共线时 OB 取得最大值，BD= = ，OD=AD= AC=1，点 B 到原点 O 的最大距离为 1+ 故答案是：1+ 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15已知数列a n中， ，若利用下面程序框图计算该数列的第 2016 项，则判断框内的条件是（ ）An 2014 Bn2016 Cn 2015 Dn 2017【考点】程序框
21、图【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n 的值在执行运算之后还需加 1，故判断框内数字应减 1，按照题意填入判断框即可【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“ 循环结构，判断框内为满足循环的条件，第 1 次循环，A= ，n=1+1=2 ，第 2 次循环，A= = ， n=2+1=3，当执行第 2016 项时，n=2017 ，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出 A 的值所以，判断框内的条件应为：n2016故选：B16在锐角ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，若 sin2Ccos2C= ，则下列各式正确的是（ ）Aa +b=2c Ba+b2c C
22、a+b 2c Da+b 2c【考点】二倍角的余弦【分析】由已知及二倍角公式化简可得 cos2C= ，解得 C= 由余弦定理可得 c2=b2+a2ab，可求 c2ab ，又 c2+3ab=（b +a） 2，推出 （b +a） 24c 2，即可解得 2cb+a 【解答】解：sin 2Ccos2C= ，cos2C= ，解得：C= c 2=b2+a22abcosC，即 c2=b2+a2ab，c 2ab=b2+a22ab=（ba） 20，即 c2ab，又c 2=b2+a2+2ab3ab=（b+a） 23ab，即 c2+3ab=（ b+a） 2，因为 c2ab ，推出 （b+a） 24c 2，可得：2cb
23、+a，故选：B17已知集合 M=（x，y）|x 2+y21，若实数 ， 满足：对任意的（x ，y ） M，都有（x ，y） M，则称（，）是集合 M 的“和谐实数对”则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ）A（，）|+=4 B（ ， ）| 2+2=4 C（，）| 24=4 D（， ）|22=4【考点】曲线与方程【分析】由题意， 2x2+2y2 2+21，问题转化为 2+21 与选项有交点，代入验证，可得结论【解答】解：由题意， 2x2+2y2 2+21，问题转化为 2+21 与选项有交点，代入验证，可得 C 符合故选：C18已知正方体 ABCDABCD，记过点 A 与三条直线 AB，AD，A
24、A所成角都相等的直线条数为 m，过点 A 与三个平面 AB，AC ，AD 所成角都相等的直线的条数为 n，则下面结论正确的是（ ）Am=1，n=1 Bm=4，n=1 Cm=3，n=4 Dm=4 ，n=4【考点】直线与平面所成的角【分析】由已知条件结合正方体的结构特征求解【解答】解：正方体 ABCDABCD，过点 A 与三条直线 AB，AD，AA 所成角都相等的直线有：AC ，过 A 作 BD的平行线，过 A 作 AC 的平行线、过 A 作 BD 的平行线，共 4 条，故 m=4；过点 A 与三个平面 AB，AC ，AD 所成角都相等的直线分两类：第一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体
25、对角线 AC1，第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有 3 条，合计 4 条，故 n=4故选：D三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ，AB=AC=2 ，AA 1=6，点 E、F 分别在棱AA1、CC 1 上，且 AE=C1F=2（1）求四棱锥 BAEFC 的体积；（2）求BEF 所在半平面与ABC 所在半平面所成二面角 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】 （1）由已知条件可判出 AB面 AA1C1C，求出直角梯形 AEFC 的
26、面积，则四棱锥BAEFC 的体积可求；（2）以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面 ABC 与平面 BEF 的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得BEF 所在半平面与ABC 所在半平面所成二面角 的余弦值【解答】解：（1）因为三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱，所以 A1A底面 ABC，所以A1AAB，又 ABAC，AC A 1A=A，所以 AB面 AA1C1C，则 AB 为四棱锥 BAEFC 的高在直角梯形 AEFC 中，因为 AE=2，AC=2，CF=4 ，所以 所以 VBAEFC= （2）以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AA 1 所在直线为 x，y，z 建立如图所示
27、的直角坐标系，则 A（0，0 ， 0） ，B（0 ，2，0） ，E（0，0，2） ，F（2，0，4） ，设平面 BEF 的法向量为 ，则，则 ，取 z=1，得 x=1，y=1所以 平面 ABC 的一个法向量为 ，则 所以BEF 所在半平面与ABC 所在半平面所成二面角 的余弦值为 20如图，某城市设立以城中心 O 为圆心、r 公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心 O 正东方向上有一条高速公路 PB、西南方向上有一条一级公路 QC，现要在保护区边缘 PQ 弧上选择一点 A 作为出口，建一条连接两条公路且与圆 O 相切的直道 BC已知通往一级公路的道路 AC 每公里造价为 a 万元，通
28、往高速公路的道路 AB 每公里造价是 m2a 万元，其中 a，r，m 为常数，设POA= ，总造价为 y 万元（1）把 y 表示成 的函数 y=f（） ，并求出定义域；（2）当 时，如何确定 A 点的位置才能使得总造价最低？【考点】函数的定义域及其求法；基本不等式【分析】 （1）由题意可得 AB=rtan， ，可得 ，由正切函数的定义域可得可得函数的定义域为： ；（2）由（1）可得 ，可化为 y=，由基本不等式可得 2 m，由取等号的条件可得答案【解答】解：（1）BC 与圆 O 相切于 A，OABC，在OAB 中，AB=rtan，同理，可得 ， ，可得函数的定义域为： （2）由（1）可得= ，
29、tan10， 2 m，当且仅当 ，即 tan= 时取等号，又 ，所以 tan= ，=60故当 取 60，即 A 点在 O 东偏南 60的方向上，总造价最低 21已知椭圆 的右顶点、上顶点分别为 A、B，坐标原点到直线 AB 的距离为 ，且 （1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 M、N 两点，且该椭圆上存在点 P，使得四边形MONP（图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线 l 的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】 （1）设出直线 AB 的方程为 bx+ayab=0，利用坐标原点到直线 AB 的距离，以及，可得椭圆的
30、方程（2）求出椭圆的左焦点，设直线 ，点 M（x 1，y 1） 、N （x 2，y 2） ，联立直线与椭圆方程，利用点 P（x 1+x2，y 1+y2）在椭圆上，求出 m，可得直线 l 的方程【解答】解：（1）设直线 AB 的方程为 bx+ayab=0，坐标原点到直线 AB 的距离为，又 ，解得 ，故椭圆的方程为（2）由（1）可求得椭圆的左焦点为 ，易知直线 l 的斜率不为 0，故可设直线 ，点 M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2） ，因为四边形 MONP 为平行四边形，所以 ，联立 ，因为点 P（x 1+x2，y 1+y2）在椭圆上，所以 ，那么直线 l 的方程为 22对于函数 f（
31、x ） ，若在定义域内存在实数 x，满足 f（x）= f（x） ，则称 f（x）为“局部奇函数”（）已知二次函数 f（x ）=ax 2+2x4a（aR ） ，试判断 f（x）是否为“局部奇函数” ？并说明理由；（）若 f（x）=2 x+m 是定义在区间 1，1上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围；（）若 f（x）=4 xm2x+1+m23 为定义域 R 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可【解答】解：f（x）为“ 局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f（ x）=f（x）有解（）当 f（x）=
32、ax 2+2x4a（aR ） ，时，方程 f（ x）=f（x）即 2a（x 24）=0 ，有解 x=2，所以 f（ x）为“ 局部奇函数” （）当 f（x）=2 x+m 时，f（ x）=f（x）可化为 2x+2x+2m=0，因为 f（ x）的定义域为1，1，所以方程 2x+2x+2m=0 在1，1上有解令 ，则 设 g（ t）=t+ ，则 g（t ）=1 ，当 t（0 ，1）时， g（t）0，故 g（t）在（0，1）上为减函数，当 t（1 ，+ ）时，g（t ）0，故 g（t ）在（1，+）上为增函数 所以 t 时，g （t ） 所以 ，即 （）当 f（x）=4 xm2x+1+m23 时，f
33、（ x）= f（x）可化为 4x+4x2m（2 x+2x）+2m 26=0t=2x+2x2 ，则 4x+4x=t22，从而 t22mt+2m28=0 在2，+）有解即可保证 f（x ）为“局部奇函数”令 F（t）=t 22mt+2m28，1 当 F（2）0 ，t 22mt+2m28=0 在2，+）有解，由当 F（2）0，即 2m24m40，解得 1 ； 2 当 F（2）0 时，t 22mt+2m28=0 在2，+）有解等价于解得 （说明：也可转化为大根大于等于 2 求解）综上，所求实数 m 的取值范围为 23已知等比数列a n的首项 a1=2015，数列a n前 n 项和记为 Sn，前 n 项
34、积记为 Tn（1）若 ，求等比数列a n的公比 q；（2）在（1）的条件下，判断|T n|与|T n+1|的大小；并求 n 为何值时，T n 取得最大值；（3）在（1）的条件下，证明：若数列a n中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为 d1，d 2，d n，则数列dn为等比数列【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比 q；（2）求出|T n+1|与|T n|的商，讨论当 n10 时，当 n11 时，课比较大小；由T100，T 110，T 90，T 120，即可得到 n 为何值时， Tn
35、 取得最大值；（3）由等比数列a n的通项公式，讨论 当 k 是奇数时，设a n中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak+1，a k+2，a k，当 k 是偶数时，设a n中的任意相邻三项按从小到大排列为ak，a k+2，a k+1，计算化简即可得到它们成等差数列，求得公差，再由等比数列的定义，即可得证【解答】解：（1）等比数列a n的首项 a1=2015，公比为 q，有 ，即 ，解得 ；（2） 又 ，当 n10 时，|T n+1|T n|；当 n11 时，|T n+1|T n|当 n=11 时，|T n|取得最大值，又T 100，T 110，T 90，T 120，T n 的最大值是 T9 和
36、T12 中的较大者，又 ，T 12T 9因此当 n=12 时，T n 最大（3）证明： ，|a n|随 n 增大而减小，a n 奇数项均正，偶数项均负，当 k 是奇数时，设a n中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak+1，a k+2，a k，则 ， ，a k+1+ak=2ak+2，因此 ak+1，a k+2，a k 成等差数列，公差 ；当 k 是偶数时，设a n中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak，a k+2，a k+1，则 ， a k+1+ak=2ak+2，因此 ak，a k+2，a k+1 成等差数列，公差 ，综上可知，a n中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且 ， ，数列d n为首项为 a1，公比为 的等比数列2017 年 4 月 26 日
