1、第页 12019 届广东省深圳外国语学校高三分班考试数学（理）试卷（解析版）第一部分 选择题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数除法求出复数 ，再根据模的运算公式计算模【详解】由题意 ， 故选 C【点睛】本题考查复数的运算，复数的模的概念，已知 ，则 2. 已知 ，函数 的定义域为 ， ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合 M，N 后，再判断【详解】由题意 ， ， 故
2、选 A【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定3. 已知 、 都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B第页 2【解析】， 有可能为 ，故不能推出 ，反过来， 则 成立，故为必要不充分条件.4. 若变量 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出可行域及目标函数对应的直线，平移直线可得最优解【详解】作出可行域，如图五边形 ，作直线
3、，平移直线 ，当 过点 时，为最大值故选 D【点睛】本题考查简单的线性规划，解题方法是作出可行域，再作出函数对应的直线 ，平移直线 可得最优解5. 已知 是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】从极大值点出发到最近的一个极小值点就是函数的一个单调减区间【详解】函数的周期是 ，而 ，因此区间 是其减区间故选 B【点睛】 的极大值点为 ，则根据“五点法”知 ，本题可求出 的一个值，然后再结合正弦函数的单调区间求解第页 36. 已知 、 分别是双曲线 的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点 ，使得，且满足 ，那么双曲线的离心率为（ ）A.
4、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知 ，且满足 ，得出 中的角的大小，从而得出其边的关系再由双曲线的定义可得 与 的关系【详解】 ，且满足 ， ，又 ， ， ， ， 故选 A【点睛】由于离心率 ，因此求离心率只要寻找到关于 的一个等量关系，如果求离心率的取值范围，则要找到一个关于 的不等关系，为此可从椭圆的定义与几何性质入手，一种是题已知的关系翻译过来，一种是椭圆本身的性质隐含的关系7. 某学校 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织 位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收
5、到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件 A，收到张老师的信息为事件 B，A、B 相互独立，第页 4，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 故选 C【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率这样可减少计算，保证正确8. 已知 ，则 （
6、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因 ,故 ，所以,故应选 D.考点：三角变换公式9. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】模拟程序运行，观察其中的变量值即可【详解】程序运行时，变量值依次为 ； ； ； ， ，退出循环，故选 D第页 5【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察其中变量值，判断退出的条件10. 某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】几何体为一个正四棱柱,底面正方形边长为 ,侧棱长为 3,外接球球心为上下底面中心连
7、线的中点,球半径为 , 表面积是 ,选 C. 11. 给出下列函数： ； ； . ，使得 的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】 是偶函数， ，当 时， ，当 时， ，因此存在 ，使；当 时， （ ）；是奇函数， 0（ ） ，因此是正确的故选 B【点睛】本题考查微积分基本定理，考查定积分的几何意义由定积分的几何意义知当 为奇函数时，0（ ） ；若 ，且 在 两侧符号第页 6相反，则存在 ，使得 0；因此本题可从这些方面分析入手得出结论12. 设直线 与曲线 的三个交点分别为 、 、 ，且 .现给出如下结论：的取值范围是 ； 为定值； 有最小值无最大值.其中正确结论的个
8、数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数研究 的性质，作出曲线 ，再作直线 ，由 的变化率分析 的最值，构造方程，由三次方程根与系数的关系得 的关系【详解】 ， ，可知 时， ，当 时， 是极大值， 是极小值，因此 ，如图是函数 的图象 在 上的变化率逐渐减小，在 上的变化率逐渐增大，因此 的值先增大后减小，故 存在最大值不存在最小值故错误，又由题意知 是方程 即 的三个根， ， ， ， ，正确故选 C【点睛】本题考查用导数研究函数的图象与单调性，三次第页 7方程根与系数的关系，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13. 展开式
9、的常数项是_【答案】【解析】由题意得，二项式展开式的通项为 ，当 时，所以 .14. 已知向量 ， ， ，若 为实数， ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】由 0 计算可得【详解】 ， 0，即 ， 解得 故答案为 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是掌握向量垂直与数量积的关系，即 15. 宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令落一形捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上 束，下一层 束，再下一层 束，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开
10、始的每层菱草束数） ，则本问题中三角垛底层菱草总束数为_【答案】120【解析】试题分析：由题意，第 n 层茭草束数为 1+2+n=第页 8，利用 1+3+6+ =680，求出 n，即可得出结论解：由题意，第 n 层茭草束数为 1+2+n= ，1+3+6+ =680，即为 n（n+1 ） （2n+1）+ n（n+1）= n（n+1） （n+2）=680，即有 n（n+1） （n+2 ）=151617 ，n=15， =120故答案为：120考点：归纳推理16. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 是 的中点， ， ，则 面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】在 和 中分别应用余弦定理求
11、出 的关系，求出 ，代入面积公式再求得最大值【详解】在 中有 ，和 中有 ， ，即 ， ， ，当 时， 取得最大值 故答案为 【点睛】本题考查了余弦定理与三角形面积公式，解第页 9题关键是在两个三角形中分别应用余弦定理从而求得 的关系三、解答题：本大题共 8 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由 ，得 ，两式相减可得 ，再求得 ，可得 是等比数列，从而易得通项公式；（2）数列 的前 项和可用错位相减法求得【详解】 （1）当
12、， ，解得 ；当 时， ， ，两式相减得 ，化简得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.所以 .（2）由（1）可得 ，所以 ，两式相减得 ，所以数列 的前 项和 .因为 ，所以 .第页 10【点睛】在数列问题已知和 与项 的关系时，通常利用 得出数列的递推公式，从而再变形求解，解题时注意 ，而 是在原式中直接令 求得，两者方法不一样数列求和的常用方法有公式法，分组求和法，裂项相消法，错位相减法等，注意它们的不同数列即可18. 未来创造业对零件的精度要求越来越高. 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使
13、用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间.某制造企业向 高校 打印实验团队租用一台 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取 个零件，度量其内径的茎叶图如图（单位： ）.（1）计算平均值 与标准差 ；（2）假设这台 打印设备打印出品的零件内径 服从正态分布 ，该团队到工厂安装调试后，试打了个零件，度量其内径分别为（单位： ）： 、 、 、 、 ，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？参考数据： ， ， ， ，.【答案】(1) (2) 机器异常，需要进一步调试【解析】【分析】（1）由均值与方差的定义
14、公式计算；（2）由正态分布求得概率 后知零件内径在 外的概率只有 0.0026，而 在外，因此机器异常【详解】 （1） ，所以 .（2）结论：需要进一步调试.第页 11理由如下：如果机器正常工作，则 服从正态分布 ，零件内径在 之外的概率只有 ，而 ，根据 原则，知机器异常，需要进一步调试.【点睛】本题考查均值与方差公式，考查正态分布，解题时由相应公式计算即可属于基础题19. 如图，三棱柱 中，侧面 侧面 ， ， ， 为棱 的中点， 在棱 上， 面 .（1）求证： 为 的中点；（2）求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质得证 平面 ，这样可以
15、为 轴建立空间直角坐标系，然后写出各点的坐标，利用垂直关系计算出 D 点坐标即证；（2）在（1）基础上求出平面 和平面 的法向量，计算法向量的夹角的余弦值，即得二面角的余弦值【详解】 （1）连接 ，因为 为正三角形， 为棱 的中点，所以 ，从而 ，又面 侧面 ，面 侧面 ， 面 ，所以 面 .第页 12以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示，不妨设 ，则 ， ， ，设 ，则 ， ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，解得 ，即 ，所以 为 的中点.（2） ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，解得 ，令 ，得 ，显然平面 的一个法向量为 ，所以 ，第页 13所以二面角 的余弦值为
16、.【点睛】在立体几何中，如果有垂直关系，特别是过同一点的三条直线两两垂直，则可以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的运算来证明或求角、距离等20. 已知椭圆 ： 的一个顶点为 ，且焦距为 ，直线 交椭圆 于 、 两点（点 、与点 不重合） ，且满足 .（1）求椭圆的标准方程；（2） 为坐标原点，若点 满足 ，求直线 的斜率的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）已知条件有 ，从而易得椭圆标准方程；（2）分类若直线 斜率不存在，则可求得 点坐标，得斜率；若线 斜率存在，设 ， ，直线 ：，代入椭圆方程应用韦达定理得 ，由 得 关系，再由已知用 表示出点坐标，计算
17、，并代入 及刚才的关系式，可把 表示为 的函数，从而可得其取值范围【详解】 （1）依题意， ， ，则 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .（2）当直线 垂直于 轴时，由 消去 整理得 ，解得 或 ，此时 ，直线 的斜率为 ；当直线 不垂直于 轴时，设 ， ，直线 ： ，由 ，消去 整理得 ，依题意 ，即 ，且 ， ，又 ，所以第页 14，所以 ，即 ，解得 满足 ，所以 ，故 .故直线 的斜率 ，当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ；综上，直线 的斜率的取值范围为 .【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，在直线与椭圆相交时，常用“设而不求”思想即设出参数表示出直线方程，设出交点坐标 ，由直线方
18、程与椭圆方程联立方程组，消元后再由韦达定理得，然后把题中的其他条件与要求的量用坐标 表示，交代入 ，从而可化简变形求解21. 设常数 ， ， .（1）当 时，若 的最小值为 ，求 的值；（2）对于任意给定的正实数 、 ，证明：存在实数 ，当 时， .【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）求出导函数 ，由导数与最值关系求得最小值，再由最小值为 0 可解得 ；（2）用分离常数法把 化为 ，这样只要证明：存在实数 ，当 时，再凑配出 ，可证明 恒成立，而只要 即得，这可由解二次不等式得 第页 15【详解】 （1） ，将 代入得 ，由 ，得 ，且当 时， ， 递减；时， ， 递增；故当 时
19、， 取极小值 ，因此 最小值为 ，令 ，解得 .（2）因为 ，记 ，故只需证明：存在实数 ，当 时， ，设 ， ，则 ，易知当 时， ，故 ，又由 ，解得： ，即 ，取 ，则当 时，恒有 ，即当 时，恒有 成立.【点睛】本题考查导数与函数的最值，考查导数在研究函数中应用，属于难题第（2）小题的关键是问题的转化不等式的放缩与函数的凑配是解题中重要一环，否则不易求解请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的方程为 ，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求
20、直线 与圆 的交点的极坐标；第页 16（2）若 为圆 上的动点，求 到直线 的距离 的最大值.【答案】(1) 对应的极坐标分别为 ， (2) 【解析】试题分析：（1）直线 : ,圆 : ,联立方程组 ,解得 或 , 利用极坐标转换公式即可求出结果；（2）设 ,则 ,当时,即可求出 的最大值.试题解析：（1）直线 : ,圆 : ,联立方程组 ,解得 或 ,对应的极坐标分别为 , .（2）设 ,则 ,当 时, 取得最大值 .考点：极坐标与参数方程.【一题多解】 （2）圆心 到直线 的距离为 ,圆的半径为 ,所以 到直线 的距离 的最大值为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， ， .（1）解不等式 ；（2）任意 ， 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由于不等式可 ，可平方后求解；（2）不等式 可化为 ，利用不等式的三角不等式求得 的最小值，然后解不等式可得 的范围【详解】 （1）不等式 即 ，两边平方得 ，解得 ，所以原不等式的解集为 .第页 17（2）不等式 可化为 ，又 ，所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 .【点睛】本题考查绝对值不等式的问题，解绝对值不等式常用方法是根据绝对值的定义去绝对值符号后再求解，如果对两边均非负的不等式可平方去绝对值符号绝对值三角不等式在求含绝对值的最小值时用处较大，而且是常用方法第页 18
