1、深圳外国语学校 2019 届高三分班考试卷理科数学第一部分 选择题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 满足 ，则 （ ）z(1)ii1zA B C D0 222.已知 ，函数 的定义域为 ， ，则下列结论正确的URln()yxM|0Nx是（ ）A B C DMN()UU()UMCN3.已知 、 都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）abablnabA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.若变量 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）xy1025xy3xyA B C D20
2、34555.已知 是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递减区间是3x()sin2)fx()fx（ ）A B C D2(,)65(,)36(,)22(,)36.已知 、 分别是双曲线 的左、右两个焦点，若在双曲线上存1F221(0,xyab在点 ，使得 ，且满足 ，那么双曲线的离心率为（ ）P12901221PFA B C D3 3527.某学校 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组10织 位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 位同学，4 4且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A B
3、C D251251625458.已知 ，则 （ ）tanxsin()4xA B C D10 39109.执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）zA B C D345610.某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D1316252711.给出下列函数： ； ； . ，使得()sinfx()xfe2()ln1)fxx0a的函数是（ ）0adA B C D12.设直线 与曲线 的三个交点分别为 、 、 ，且yt2(3)yx(,)Aat(,)Bbt(,)Cct.现给出如下结论： 的取值范围是 ； 为定值； 有abcabc0422a最小值无最大值.其中正确结论的个数
4、为（ ）A B C D0123二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13. 展开式的常数项是 531()x14.已知向量 ， ， ，若 为实数， ，则 的值为 (,2a(1,0)b(3,4)c()abc15.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令落一形捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上 束，下1一层 束，再下一层 束，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始36的每层菱草束数） ，则本问题中三角垛底层菱草总束数为 16
5、.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 是 的中点， ，ABCCabcMBC2，则 面积的最大值为 Mcb三、解答题：本大题共 8 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 的前 项和为 ，且满足 .nanS*32()naSN（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .nnT18.未来创造业对零件的精度要求越来越高. 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现3D的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间.某制造企业向 高校 打
6、印实验团队租用一台 打印设备，用于打印一批对内径有较高A3D3精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取 个零件，度量10其内径的茎叶图如图（单位： ）.m（1）计算平均值 与标准差 ；（2）假设这台 打印设备打印出品的零件内径 服从正态分布 ，该团队到工厂3DZ2(,)N安装调试后，试打了 个零件，度量其内径分别为（单位： ）： 、 、 、 、5m86951039，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？18参考数据： ， ，(22)0.954PZ(3).74PZ， ， .30.954.740.9.2.619.如图，三棱柱 中，侧面 侧面 ， ，1ABC1AC1BA
7、12CAB， ， 为棱 的中点， 在棱 上， 面 .16HDH（1）求证： 为 的中点；D1B（2）求二面角 的余弦值.CA20.已知椭圆 ： 的一个顶点为 ，且焦距为 ，直线 交椭圆21(0)xyab(2,0)A2l于 、 两点（点 、 与点 不重合） ，且满足 .EFEF（1）求椭圆的标准方程；（2） 为坐标原点，若点 满足 ，求直线 的斜率的取值范围.OP2OAP21.设常数 ， ， .0a2()lnxfa（1）当 时，若 的最小值为 ，求 的值；34f0（2）对于任意给定的正实数 、 ，证明：存在实数 ，当 时， .a0x0()fx请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按
8、所做的第一题记分，作答时写清题号.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的方程为 ，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为l4yxC2cosinxy极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.x（1）求直线 与圆 的交点的极坐标；l（2）若 为圆 上的动点，求 到直线 的距离 的最大值.PCPld23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， ， .()2fxa()4gxaR（1）解不等式 ；（2）任意 ， 恒成立，求 的取值范围.xR2()fx高三数学（理）参考答案一、选择题1-5: CABDB 6-10: ACDDC 11、12：BC二、填空题13. 14. 15. 16. 103112
9、023三、解答题17.【解析】 （1）当 ， ，解得 ；n113aSa1当 时， ， ，两式相减得 ，2n32aS2n 13nna化简得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.1n2所以 .2na（2）由（1）可得 ，所以 ，12nna12nnba，0123nT 1n，1212n1()2nn两式相减得123nT12nn，12n2132n所以数列 的前 项和 .na49nnT因为 ，112nnbc 12241339nn所以 .1231()()()n nTcc49n18.【解】 （1） ，97810257108931405m，22222283346所以 .6m（2）结论：需要进一步调试.理由
10、如下：如果机器正常工作，则 服从正态分布 ，Z2105,6N，(33)PZ87123.974P零件内径在 之外的概率只有 ，87,120.6而 ，根据 原则，知机器异常，需要进一步调试 .619.【解析】 （1）连接 ，因为 为正三角形， 为棱 的中点，1AC1H1C所以 ，从而 ，又面 侧面 ，AHABA面 侧面 ， 面 ，111B1所以 面 .以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示，AAxyz不妨设 ，则 ， ， ，2B110,21,20B设 ，则 ， ，,0Dt,Dt因为 平面 ， 平面 ，所以 ，1A1H1AB1H11A所以 ，解得 ，即 ，所以 为 的中点.20Btt2,0D1B（
11、2） ， ， ，10,3C12,0AD1,3AC设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，解得1,nxyz10nD20xyz，263yxz令 ，得 ，x,26n显然平面 的一个法向量为 ，1AD0,3AH所以 ，cos,n21所以二面角 的余弦值为 .1CA20.【解析】 （1）依题意， ， ，则 ，2ac1解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .23b243xy（2）当直线 垂直于 轴时，由 消去 整理得 ，lx21xy271640x解得 或 ，此时 ，直线 的斜率为 ；7x,07PAP0当直线 不垂直于 轴时，设 ， ，直线 ： ，lx1(,)Exy2(,)Fl(2)ykxtk由 ，消去 整理得 ，23
12、41yktx2348410kxt依题意 ，即 ，22610tkt23(*)t且 ， ，122834x1243x又 ，所以AEF1212xy212xkxtt，22741603tkt所以 ，即 ，解得 满足 ，tt720tkt27kt(*)所以 ，故122,OPEFxy2286,34kt.2243,ktt故直线 的斜率 ，AP22348463APttkkk2178k当 时， ，此时 ；0k781k105AP当 时， ，此时 ；4406APk综上，直线 的斜率的取值范围为 .AP1,521.【解析】 （1） 22()xaf x2ax，22xax322将 代入得 ，34323456()xf2349xx
13、由 ，得 ，且当 时， ， 递减；()0fx0,()0f()f时， ， 递增；故当 时， 取极小值,()fx()fxx，13()ln24f因此 最小值为 ，令 ，解得 .fx13()ln24f()0f23e（2）因为 ，()lfax2lnaxlnax记 ，故只需证明：存在实数 ，当 时， ，()lnhxax0x0()hx，lna设 ， ，则 ，lnyx0122xy易知当 时， ，故 ，4minlln0y又由 ，解得： ，即 ，0xa24ax224ax取 ，则当 时，恒有 ，22040()0h即当 时，恒有 成立.0x()fx22.【解析】 （1）直线 ： ，圆 ： ，l4yC224xy联立方程组 ，解得 或 ，22yx0对应的极坐标分别为 ， .3,4,2（2）设 ，则 ，(cos,2in)Pcosin2dcos14当 时， 取得最大值 .14223.【解析】 （1）不等式 即 ，()fxga4x两边平方得 ，解得 ，22816x1所以原不等式的解集为 .,（2）不等式 可化为 ，2()fxga24ax又 ，所以 ，解得 ，446xx2623a所以 的取值范围为 .a2,3
