1、2015-2016 学年上海市杨浦高级中学高三（下）3 月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1抛物线 y2=x 的焦点 F 坐标为 2已知全集 U=2，1，0， 1，2，集合 ，则 UA= 3如果 = ，那么 a 的取值范围是 4关于 x 的方程：4 x|4x2|=3 的解为 5不等式 的解集为 6向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 （，R） ，则 = 7已知数列a n满足 （nN *） ，则 a2n= 8在（2x+y+z） 10 的展开式中，x 3y2z
2、5 的系数为 9在极坐标系中，将圆 =2 沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转 弧度，则所得的曲线的极坐标方程为 105 位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车小火车的车厢共有 4 节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这 5 位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有 5 人中的 2 人）的概率是 11已知定义在 R 上的函数 y=f（x）对于任意的 x 都满足 f（x+2）=f（x） 当1x1 时，f（x）=x3若函数 g（x）=f（x）log a|x|至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 12一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b（a，b0）
3、 ，不得分的概率为 若他投篮一次得分 的数学期望 ，则 a 的取值范围是 13在实数集 R 中，我们定义的大小关系 “”为全体实数排了一个 “序”，类似地，我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序” 的关系，记为“” 定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i（a 1，b 1，a 2，b 2R，i 为虚数单位） ， “z1z2”当且仅当“a 1a 2”或“a 1=a2 且 b1b 2”下面命题：1i0；若 z1z2，z 2z3，则 z1z3；若 z1z2，则对于任意 zC，z 1+zz2+z；对于复数 z0，若 z1z2，则 zz1zz2其中真命题是 （写出所有真命题
4、的序号）14符号 表示数列a n的前 n 项和（即 ） 已知数列a n满足a1=0，a na n+1a n+1（nN *） ，记 ，若 S2016=0，则当 取最小值时，a 2016= 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得 5 分，否则一律得零分15在样本的频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若第 1 个长方形的面积为 0.02，前 5 个与后 5 个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为 160，则中间一组（即第 5 组）的频数为（ ）A12 B24 C36 D4816已知 F 为双曲线
5、C：x 2my2=3m（m 0）的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（ ）A B3 C m D3m17将函数 的图象向左平移 m（m 0）个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ）A B C D18在半径为 r 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）A2 r B C D三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图：已知四棱锥 PABCD，底面是边长为 6 的正方形，PA=8，P
6、A面 ABCD，点 M 是 CD 的中点，点 N 是 PB 的中点，连接 AM、AN 、MN （1）求证：ABMN；（2）求二面角 NAMB 的大小20已知向量 和向量 ，且 （1）求函数 f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知ABC 的三个内角分别为 A，B ，C，若有 =1， ，求ABC 面积的最大值21某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分，其中 E（0，t ）曲线 BC 是抛物线 y=ax2+30（a0）的一部分；CDAD ，且CD 恰好等于圆 E 的半径（1）若要求 CD=20 米，AD=（10 +3
7、0）米，求 t 与 a 值；（2）当 0t10 时，若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 45 米，求 a 的取值范围22如图数表： ，每一行都是首项为 1 的等差数列，第 m 行的公差为 dm，且每一列也是等差数列，设第 m 行的第 k 项为 amk（m ，k=1 ，2，3，n，n3，nN *） （1）证明：d 1，d 2，d 3 成等差数列，并用 m，d 1，d 2 表示 dm（3mn） ；（2）当 d1=1，d 2=3 时，将数列d m分组如下：（d 1） ， （d 2，d 3，d 4） ， （d 5，d 6，d 7，d 8，d 9） ，（每组数的个数构成等差数列） 设前 m 组中所
8、有数之和为 ，求数列 的前 n 项和 Sn；（3）在（2）的条件下，设 N 是不超过 20 的正整数，当 nN 时，求使得不等式 恒成立的所有 N 的值23如图，圆 O 与直线 x+ y+2=0 相切于点 P，与 x 正半轴交于点 A，与直线 y= x 在第一象限的交点为 B点 C 为圆 O 上任一点，且满足 =x +y ，以 x，y 为坐标的动点 D（x，y）的轨迹记为曲线 （1）求圆 O 的方程及曲线 的方程；（2）若两条直线 l1：y=kx 和 l2：y= x 分别交曲线 于点 E、F 和 M、N，求四边形 EMFN 面积的最大值，并求此时的 k 的值（3）根据曲线 的方程，研究曲线 的
9、对称性，并证明曲线 为椭圆2015-2016 学年上海市杨浦高级中学高三（下）3 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1抛物线 y2=x 的焦点 F 坐标为 【考点】抛物线的简单性质【分析】焦点在 x 轴的正半轴上，且 p= ，利用焦点为（ ，0） ，写出焦点坐标【解答】解：抛物线 y2=x 的焦点在 x 轴的正半轴上，且 p= ， = ，故焦点坐标为（ ，0） ，故答案为：（ ，0） 2已知全集 U=2，1，0， 1，2，集合 ，则 UA= 【考点
10、】补集及其运算【分析】先根据整除性求出集合 A，然后根据补集的定义求出 CUA 即可【解答】解：xZ能被 2 整除的数有2，1，1，2则 x=2， 1，1，2 即 A=2，1，1，2而 U=2，1，0，1，2，则 CUA=0故答案为：03如果 = ，那么 a 的取值范围是 【考点】数列的极限【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简已知条件即可推出 a 的范围【解答】解： = ，可得 = ，可得 ，解得 a（ 4，2） 故答案为：（4，2） 4关于 x 的方程：4 x|4x2|=3 的解为 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令 4x=t，将方程转化为关于 t 的一元二次方程计算【解答】解
11、：令 4x=t， （t0） 则当 t2 时，t 22t3=0，解得 t=3 或 t=1（舍） x=log 43当 0t2 时，t（2t）=3 ，即 t22t+3=0，方程无解故答案为：x=log 435不等式 的解集为 【考点】其他不等式的解法【分析】将行列式按第二行展开，求得不等式= +20，注意对数函数的定义域【解答】解： 等价于 lgx + +2 = +20，即 ，解得 0x 或 x1，故不等式的解集为 故答案为： 6向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 （，R） ，则 = 【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量
12、、 、 的坐标，结合题中向量等式建立关于 、 的方程组，解之得 =2 且 = ，即可得到 的值【解答】解：以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得 =（1，1） ， =（6，2） ， =（1，3） ，解之得 =2 且 =因此， = =4故答案为：47已知数列a n满足 （nN *） ，则 a2n= 【考点】数列递推式【分析】由已知求出数列的第二项，并得到数列a n的偶数项构成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案【解答】解：由 ，得 a2=2，且 （n2） ，得： ，数列a n的偶数项构成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 故答案为：2
13、 n8在（2x+y+z） 10 的展开式中，x 3y2z5 的系数为 【考点】二项式定理的应用【分析】根据展开式中项的由来，利用组合解答即可【解答】解：由题意，在（2x+y+z） 10 的展开式中，含有 x3y2z5 的项为 ，所以系数为 8 =20160故答案为：201609在极坐标系中，将圆 =2 沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转 弧度，则所得的曲线的极坐标方程为 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】根据圆 =2 的圆心与半径，得出平移和旋转后的圆心与半径，由此写出所得曲线的极坐标方程【解答】解：圆 =2 的圆心为（0，0） ，半径为 2；沿着极轴正方向平移两个单位后，圆心
14、为（2，0） ，半径为 2；绕极点按逆时针方向旋转 ，所得圆的圆心为（2， ） ，半径为 2；设 p 为所求圆上任意一点，则 OP=22cos（ ）=4cos（ ） 故答案为：=4cos （ ） 105 位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车小火车的车厢共有 4 节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这 5 位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有 5 人中的 2 人）的概率是 【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数，再求出这 5 位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有 5 人中的 2 人）包含的基本事件个数，由此能求出这 5 位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有 5
15、人中的 2 人）的概率【解答】解：5 位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车小火车的车厢共有 4 节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则基本事件总数 n=45，这 5 位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有 5 人中的 2 人）包含的基本事件个数：m= + ，这 5 位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有 5 人中的 2 人）的概率：p= = = 故答案为： 11已知定义在 R 上的函数 y=f（x）对于任意的 x 都满足 f（x+2）=f（x） 当1x1 时，f（x）=x3若函数 g（x）=f（x）log a|x|至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 【考点】函数的周期性【分析】函数
16、 g（x）=f（x）log a|x|的零点个数，即函数 y=f（x）与 y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出 y=f（x）与 y=loga|x|的图象，结合图象可得 loga51 或 loga5 1，由此求出 a 的取值范围【解答】解：根据题意，函数 g（x）=f（x）log a|x|的零点个数，即函数 y=f（x）与 y=loga|x|的交点的个数；f（x+2）=f（x） ，函数 f（x）是周期为 2 的周期函数，又由当1x 1 时，f（x）=x 3，据此可以做出 f（x）的图象，y=loga|x|是偶函数，当 x0 时，y=log ax，则当 x0 时，y=log a
17、（x） ，做出 y=loga|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数 y=f（x）与 y=loga|x|至少有 6 个交点，则 loga51 或 loga5 1，解得 a5，或 0a 所以 a 的取值范围是（0， （5，+） 故答案为：（0， （5，+ ） 12一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b（a，b0） ，不得分的概率为 若他投篮一次得分 的数学期望 ，则 a 的取值范围是 【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由已知得 ，0a 1，0b1，从而 3a+2b=3a+2（ a） ，由此能求出 a 的取值范围【解答】解：一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概
18、率为 a，得 2 分的概率为 b（a，b0） ，不得分的概率为 a+b+ =1， ，0a1，0b1，0a ，投篮一次得分 的数学期望 ，3a+2b=3a+2（ a） ，解得 a ，综上， 故答案为：（ ， ） 13在实数集 R 中，我们定义的大小关系 “”为全体实数排了一个 “序”，类似地，我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序” 的关系，记为“” 定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i（a 1，b 1，a 2，b 2R，i 为虚数单位） ， “z1z2”当且仅当“a 1a 2”或“a 1=a2 且 b1b 2”下面命题：1i0；若 z1z2，z 2z3，则 z
19、1z3；若 z1z2，则对于任意 zC，z 1+zz2+z；对于复数 z0，若 z1z2，则 zz1zz2其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数的新定义大小关系即可得出【解答】解：1=1 +0i，i=0+1 i，实部 10，1i又 0=0+0i，实部 0=0，虚部 10，i 0，1i0，所以正确设 zk=ak+bki，k=1，2，3，a k，b kRz 1z2，z 2z3，a 1a 2，a 2a 3，a 1a 3则当 a1a 3 时，可得 z1z3；当 a1=a3 时，有 b1b 2b 3，可得 z1z3，正确；令 z=a+bi（ a，bR） ，z
20、 1z2，a 1a 2，a 1+aa 2+a，当 a1=a2 时，b 1b 2，故 a1+a=a2+a，b 1+bb 2+b，可得 z1+zz2+z；当 a1a 2 时，a 1+aa 2+a，可得 z1+zz2+z；正确；取 z=0+i0，z 1=a1+b1i，z 2=a2+b2i， （a k，b kR，k=1 ，2） ，不妨令 a1=a2， b1b 2，则 z1z2，此时 zz1=b1+a1i，z z2=b2+a2i，不满足 zz1zz2故不正确由以上可知：只有正确故答案为：14符号 表示数列a n的前 n 项和（即 ） 已知数列a n满足a1=0，a na n+1a n+1（nN *） ，
21、记 ，若 S2016=0，则当 取最小值时，a 2016= 【考点】数列的求和【分析】S 2016=0， = ，进一步可知a n从第一起 k1，2，3，4，1008，当取最小值， a2016=1007【解答】解：S 2016=0， （1） k =0，即 = ，a na n+1， （nN *） ，0a 1， ，a 2k1=a2k，k1，2，3，4，1008，a 1=0，a na n+1a n+1（nN *） ，当 取最小值，a 2016=1007，故答案为：1007二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得 5 分，否则
22、一律得零分15在样本的频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若第 1 个长方形的面积为 0.02，前 5 个与后 5 个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为 160，则中间一组（即第 5 组）的频数为（ ）A12 B24 C36 D48【考点】频率分布直方图【分析】设出公差，利用 9 个小长方形面积和为 1，求出公差，然后求解中间一组的频数【解答】解：设公差为 d，那么 9 个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而 9 个小长方形的面积和为 1，可得0.18+1
23、6d=1 可以求得 d=中间一组的频数为：160（0.02+4d）=36故选 C16已知 F 为双曲线 C：x 2my2=3m（m 0）的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（ ）A B3 C m D3m【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论【解答】解：双曲线 C：x 2my2=3m（m 0）可化为 ，一个焦点为（ ，0） ，一条渐近线方程为 =0，点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 = 故选：A17将函数 的图象向左平移 m（m 0）个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（
24、）A B C D【考点】两角和与差的正弦函数；函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数解析式提取 2 变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于 y 轴对称，即可求出 m 的最小值【解答】解：y= cosx+sinx=2（ cosx+ sinx）=2sin（x+ ） ，图象向左平移 m（m0）个单位长度得到 y=2sin（x+m）+ =2sin（x+m+ ） ，所得的图象关于 y 轴对称，m+ =k+ （kZ） ，则 m 的最小值为 故选 B18在半径为 r 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，
25、一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）A2 r B C D【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个 圆即可解决【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后
26、返回，例如动点从 A 到 S，再到 C，到 B 回到 A，SOA= SOC=90，COB=BOA=60，则经过的最短路程为：一个半圆一个 圆，即： =故选 B三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图：已知四棱锥 PABCD，底面是边长为 6 的正方形，PA=8，PA面 ABCD，点 M 是 CD 的中点，点 N 是 PB 的中点，连接 AM、AN 、MN （1）求证：ABMN；（2）求二面角 NAMB 的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （1）分别以 AD、AB、AP 为 x 轴、
27、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，只要证明 ，即可证明 ABMN（2）利用法向量的夹角公式即可得出【解答】 （1）证明：分别以 AD、AB、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0） 、B（0，6，0） 、M（6，3，0） 、N（0，3，4） ，得 ， ， ，ABMN （2）解：取平面 AMB 的一个法向量为 ，设平面 AMN 的法向量 ，又 ， ，由 ，取平面 AMN 的一个法向量 ，设二面角 NAMB 为 ，则 = ，二面角 NAMB 的大小为 20已知向量 和向量 ，且 （1）求函数 f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知ABC 的三个内角分别为 A，B
28、，C，若有 =1， ，求ABC 面积的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理【分析】 （1）根据向量平行的坐标关系求出 f（x）的解析式，化简成为 y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质求其最大值（2）利用 =1，求出 A 的角的大小，在结合余弦定理，利用三角函数的图象和性质求其最大值【解答】解：（1）由题意 ：可得：f（x）的最小正周期 T=sinx 的图象和性质可知：sin（x+ ）的最大值是 1， 的最大值是 2所以：函数 f（x）的最小正周期为 2，最大值为 2（2）由（1）可知 =1，得： ，0
29、A， ， ，解得： 又 ，即 ，b 2+c2bc=3，又b 2+c22bc（当且仅当 b=c 时取等号） ，则有：3+bc2bc，bc3， ，所以：ABC 面积的最大值为： 21某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分，其中 E（0，t ）曲线 BC 是抛物线 y=ax2+30（a0）的一部分；CDAD ，且CD 恰好等于圆 E 的半径（1）若要求 CD=20 米，AD=（10 +30）米，求 t 与 a 值；（2）当 0t10 时，若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 45 米，求 a 的取值范围【考点】直线
30、和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系【分析】 （1）根据圆 E 的半径 CD=30t 求出 t 的值，再利用圆 E 的方程求出点 C 的坐标，代入抛物线方程求出 a 的值；（2）根据圆 E 的半径，利用抛物线求出 OD 的值，写出 DF 的表达式，求 DF 在 t（0，10时不等式DF45 恒成立即可【解答】解：（1）因为 CD=30t=20，解得 t=10；3 分此时圆 E：x 2+（y10） 2=202，令 y=0，得 AO=10 ，所以 OD=ADAO=30，将点 C（30，20）代入 y=ax2+30（a0）中，解得 ； 7 分（2）因为圆 E 的半径为 30t，所以 CD=30t，在
31、 y=ax2+30 中，令 y=30t，解得 ，则由题意知 对 t（0，10恒成立，9 分所以 恒成立，而，当 ，即 t=15（0，10时，由 （ ）递减，可知：当 t=10 取最小值 ；12 分故 ，解得 14 分22如图数表： ，每一行都是首项为 1 的等差数列，第 m 行的公差为 dm，且每一列也是等差数列，设第 m 行的第 k 项为 amk（m ，k=1 ，2，3，n，n3，nN *） （1）证明：d 1，d 2，d 3 成等差数列，并用 m，d 1，d 2 表示 dm（3mn） ；（2）当 d1=1，d 2=3 时，将数列d m分组如下：（d 1） ， （d 2，d 3，d 4） ，
32、 （d 5，d 6，d 7，d 8，d 9） ，（每组数的个数构成等差数列） 设前 m 组中所有数之和为 ，求数列 的前 n 项和 Sn；（3）在（2）的条件下，设 N 是不超过 20 的正整数，当 nN 时，求使得不等式 恒成立的所有 N 的值【考点】数列的应用【分析】 （1）根据第三行成等差数列得出 a3n，根据最后一列成等差数列得出 a3n，从而得出 d1，d 2，d 3 的关系，同理根据 amn 的不同算法即可得出 dm 关于 m，d 1，d 2 的式子；（2）根据分组特点计算 cm，利用错位相减法计算 Sn；（3）把 Sn，d n 代入不等式求出使不等式成立的 n 的最小值即可得出
33、N 的最小值【解答】解：（1）每一行都是首项为 1 的等差数列，a 1n=1+（n 1）d 1，a 2n=1+（ n1）d 2，a 3n=1+（n1）d 3每一列也是等差数列，2a 2n=a1n+a3n，2+2（n1）d 2=1+（n1）d 1+1+（n 1）d 3，即 2d2=d1+d3d 1，d 2，d 3 成等差数列a mn=1+（n1）d m，amn=a1n+（m1） （a 2na1n）=a 1n+（m1） （a 2na1n）=1+（n1）d 1+（m1） （n 1） （d 2d1） ，1+（n1）d m=1+（n1）d 1+（m 1） （n1） （d 2d1）化简得 dm=（2 m）
34、d 1+（m1）d 2（2）当 d1=1，d 2=3 时，d m=2m1（m N*） ，按数列d m分组规律，第 m 组中有 2m1 个数，所以第 1 组到第 m 组共有 1+3+5+（2m 1）=m 2 个数则前 m 组的所有数字和为 ， ，c m0，c m=m，从而 ，m N*，S n=12+322+523+（2n1）2 n，2S n=122+323+（2n1）2 n+1，S n=2+23+24+2n+1（2n1）2 n+1=2+23（2 n11）（2n 1）2 n+1=（32n）2 n+16 （3）由 得（2n 3）2 n+150（2n1） 令 an=（2n 3） 2n+150（2n1）
35、=（2n3） （2 n+150）100当 n5 时，a n0，当 n6 时，a n0，所以，满足条件的所有正整数 N=5，6，7，8，2023如图，圆 O 与直线 x+ y+2=0 相切于点 P，与 x 正半轴交于点 A，与直线 y= x 在第一象限的交点为 B点 C 为圆 O 上任一点，且满足 =x +y ，以 x，y 为坐标的动点 D（x，y）的轨迹记为曲线 （1）求圆 O 的方程及曲线 的方程；（2）若两条直线 l1：y=kx 和 l2：y= x 分别交曲线 于点 E、F 和 M、N，求四边形 EMFN 面积的最大值，并求此时的 k 的值（3）根据曲线 的方程，研究曲线 的对称性，并证明
36、曲线 为椭圆【考点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质【分析】 （1）圆 O 与直线 x+ y+2=0 相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，解得圆的方程根据 =x +y 和坐标关系带入圆的方程，即可得到曲线 的方程；垂直（2）两条直线 l1：y=kx 和 l2：y= x 分别交曲线 ，解出坐标，由题意 l1 与 l2 垂直，利用两点之间的距离求出 EF，MN 长度，即可得到四边形的面积，利用基本不等式即可得到答案（3）根据（1）中得到的方程，首先考虑奇偶性和 x 轴，y=x 轴的对称，在考虑非常见对称利用椭圆的定义证明即可【解答】解：由题意：圆 O 与直线 x+ y+2=0 相切于点，
37、利用点到直线的距离，即可求出半径，r=圆的方程为：x 2+y2=1圆与 x 轴的交点 A（1，0） ，与直线 y= x 在第一象限的交点 B 为（ ， ） ，由 =x +y ，可得： ，将 代入 x2+y2=1得到：x 2+y2+xy=1， （ ）即为曲线 的方程；（2）两条直线 l1：y=kx 和 l2：y= x 分别交曲线 于点 E、F 和 M、N联立： 解得：点 E（ ， ） ，点 F（ ， ）那么：|EF|=同理：联立 解得：点 M（ ， ）点N（ ， ）那么：|MN|=由题意可知：l 1 l2，所以四边形 EMFN 面积的为 S= |MN|EF|=2 = （当且仅 k=1 时等号成立
38、）故当 k=1 时，四边形 EMFN 的面积最大，其最大值为： （3）由（1）可知：曲线 的方程：x 2+y2+xy=1， （ ）关于直线 y=x，也关于原点对称，同时关于直线 y=x 对称证明：设曲线 上任一点的坐标为 P（x 0，y 0） ，则有点 P 关于直线 y=x 的对称点 P（y 0，x 0） ，带入方程得： ，显然成立故曲线 的方程关于直线 y=x 对称同理：曲线 的方程关于原点对称，同时关于直线 y=x 对称证明曲线 为椭圆型曲线证明：曲线 的方程：x 2+y2+xy=1 和直线 x=y 的交点坐标为 B1（ ， ） ，B2（ ， ）曲线 的方程：x 2+y2+xy=1 和直线
39、 x=y 的交点坐标为 A1（1，1） ，A2（1，1）|0A1|= ，|0B1|= ，那么 ，在 y=x 上取 F1（ ， ， ） ，F2（ ， ）设 P（x，y）在曲线 的方程上的任意一点，则|PF1|+|PF2|= = =因为 xy ， =2 =|A1A2|即曲线 的方程上的任意一点 P 到两个定点 F1（ ， ， ） ，F2（ ， ）的距离之和为定值 2 可以反过来证明：若点 P 到两个定点 F1（ ， ， ） ，F2（ ， ）的距离之和为定值 2 ，可以求得 P 的轨迹方程，得到为：x 2+y2+xy=1故曲线 的方程是椭圆，其焦点坐标为 F1（ ， ， ） ，F2（ ， ） 2016 年 10 月 11 日
