1、2018 届江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校高三上学期第一次学情监测数学试题一、填空题1已知全集 ，集合 ，则 =_1,02U1,0AUA【答案】【解析】由补集的定义可知： = .U22设复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 为_z3iiz【答案】2【解析】由题意可得： ，iz则： .321iiz3设向量 ，若 ，则实数 的值为_2,6,abm/abm【答案】3【解析】由向量平行的充要条件可得： ，求解关于实数 的方程可261得： .m4直线 为双曲线 的一条渐近线，则 的值为30xy20yxbb_【答案】【解析】由双曲线方程可得双曲线的渐近线满足： ，20yxb整理可得： ，即
2、： ，ybx0y则双曲线的一条渐近线为： ，x结合题意可得： .35 “ ”是“直线 与直线 垂直”的1a2120axy130axy_条件（从“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分又不必要”中选取一个填入）.【答案】充分不必要【解析】若两条直线垂直，则 ，解得： 或 ，2130aa0a15所以“ ” 是“直线 与直线 垂直”的15axy13xy充分不必要条件.6已知函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数，当 时， ，fR08xf则 _193f【答案】2【解析】试题分析：由题意 1319()()()823fff【考点】函数的奇偶性与周期性7若圆锥底面半径为 2，高为
3、，则其侧面积为_5【答案】 6【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长即底面的周长： 24lR扇形的半径为： ,53r据此可得，侧面积为： .16S8设 满足 ，则 的最大值为_,xy0 1xy3y【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点 处取得最大值： 1,2A.132点睛：求线性目标函数 z axby( ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大 .9已知 ，且 ，则
4、的值是 _536， 3cos5sin【答案】 410【解析】 ，5,03632， ，结合同角三角函数基本关系有： ，则：24sin1cos3353334152.0sinicosin10设数列 的首项 ，且满足 与 ，则数列na12121nna21na的前 20 项和为_n【答案】2056【解析】考查数列的奇数项，结合递推关系有： ，2121nna且 ，则数列 构成首项为 公比为 的等比数列，12a21na2令： ，13547109,bbba则： ，1231923即： ，50aa而 ，24621351903a 据此可得：数列 的前 20 项和为 .n256点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法
5、，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项11已知 是以 为直径的圆上的两点，且 ,则 的值为,BDAC2,5ABDACB_【答案】21【解析】如图，连接 CD，CB；AC 为直径；CD AD，BCAB；则：2251.ADCCcosDAcosBAB12在平面直角坐标系 中，已知圆 和两点xOy22:161Cxy，且 ，若圆 上存在两个不同的点 ，使得,2,2AaBa,PQ，则实数 的取值范围为_ 90PQa【答
6、案】 1717a【解析】原问题等价于以 为圆心的圆与圆 有两个交点，,ABCAB 中点坐标为 ，以 为圆心的圆的半径 ，0, 221Ra且圆 的圆心为 ，半径为 ，C1,2621R两圆的圆心距为： ，45d结合 可得关于实数 的不等式组：aa，2215 求解关于实数 的不等式组可得实数 的取值范围为 .aa1717a点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法13已知 ，则 的最小值为 _,0,abc225bca【答案】4【解析】由均值不等式的结论有： ，222214455abcacbcabc即 ，当且仅当 时等号成立，22 2,5则 2222
7、 22554abcabcabc综上可得： 的最小值为 4.22cba点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正 各项均为正；二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误14已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若不等式lnfxeaxbe恒成立，则 的最大值为_0fxb【答案】 1e【解析】由函数的解析式可得： ，1 0fxeax当 时， ，不合题意，舍去，0,xa0fx当 时，由 可得： ，eae当 时， 单调递增，10,xae0,fxf当 时， 单调递减，,ffx则当 时，函数取得最大值，即 ，1xae10fae即： ，1ln0bae整
8、理可得： ，l即 恒成立，ln1ln1,baea则原问题转化为求解 的最大值.lxeg求导可得： ，2lnexxe令 ，lH则 ，令 可得： ，xn1e0Hx1xe当 时， 单调递增，,e,当 时， 单调递减，1,x0,x当 时， 取得最大值： ，eH1Hee且： 时， ， ，x0x20据此可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，g,e2,e即函数 的最大值为 ，xln12eg综上可得： 的最大值为 .ba二、解答题15已知 的内角 所对的边分别为 ，已知ABC, ,abc.sin3cosaBbAC（1 ）求角 的大小；（2 ）若 的面积为 ，求 .73,4,bac,【答案】 （1） （
9、2） .B 1c【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理边化角，整理变形可得 ，则 .3tanB(2)由题意结合面积公式有 ，结合余弦定理可得 ,求解方程组有7ac8c.7 1ac试题解析：（1）由已知 ，3asinBbcosAinC结合正弦定理得 ，3iBsi所以 ，siAscisnAcoBsiA即 ，即 ，3nBinotan因为 ，所以 .0,（2）由 ，得 ，即 ，1,23ABCSacsin734ac7ac又 ，得 ，boB22所以 ，又 ， .7 8acac7 116如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 平面 ， PACDPABCD/PAD为锐角三角形，且 .PBAB（1 ）求证： 平
10、面 ；/ADPBC（2 ）平面 平面 .【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得 ，利用线面平行的判断定理则有/BCAD平面 ./ADPBC(2)过 作 于 ,由面面垂直的性质定理有 平面 ，则HAPHABCD.结合 ，可证得 平面 ，利用面面垂直的判断定B理有平面 平面 .试题解析：（1）因为 平面 ,/PD而 平面 ，平面 平面 ，BCBCAD所以 ，A又因为 平面 ； 平面 ,P所以 平面/D（2）过 作 于 ,H因为平面 平面 ,且平面 平面 ,所以 平面PBDBCABPHC因为 平面 ，所以 .ACH因为 ，所以 ,而 为锐角三角形，于是点
11、与 不重PA合，即 . 因为 平面 ,所以 平面 因为 平面 ,PBHBBCPB故平面 平面 .CA点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直” ，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键17园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米，圆心角为 (弧度）的扇形观r景水池，其中 为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.OAB要求总预算费用不超过 24 万元，水池造价为每平米 400 元，步道造价为每米 1000 元.（1 ）当 和
12、 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；r（2）若要求步道长为 105 米，则可设计出的水池最大面积是多少.【答案】 （1）见解析（2）337.5 平方米【解析】试题分析：（1）步道长为扇形周长 ，利用弧长公式及扇形面积2r公式可得不等式 ，利用基本不等式将不等式2 4140010r转化为关于 的一元不等式，解得 的范围，确定最大值为 400.（2）由条件得SS，消 得 ，由 及215r5r5r，解出 ，根据二次函数最值取法得到当4400210r时， 最大rS37.试题解析：解：（1）由题意，弧长 为 ，扇形面积为 ，ABr21Sr由题意 ，即 ，2 44010210rr250即
13、，2rr所以 ，所以 ， ，则 ，22102tr0t2104tt所以当 时，面积 的最大值为 400.4r21Sr（2）即 ， 代入可得0511052rr或 ，210567rr45又 ，222105105416S r当 与 不符，2rr， 在 上单调，当 时， 最大 平方米，此时 .S45,45rS37.51318如图，已知椭圆 的左顶点 ，且点 在2:10xyEab2,0A,2椭圆上， 分别是椭圆的左、右焦点。过点 作斜率为 的直线交椭圆12F、 k于另一点 ，直线 交椭圆 于点 .EBC（1 ）求椭圆 的标准方程；E（2 ）若 为等腰三角形，求点 的坐标；12CFB（3 ）若 ，求 的值
14、.ABk【答案】 （1） （ 2） （3） 2143xy8,5612k【解析】试题分析：(1)由题意得到关于 的方程组，求解方程组可得椭圆 的标准方程： ,abc E；2143xy(2)由题意可得点 在 轴下方据此分类讨论有： ，联立直线Cx 0,3C的方程与椭圆方程可得 ；B83,5B(3)设直线 的方程 ，联立直线方程与椭圆方程，可得A:2Alykx利用几何关系 计算可得 ，利22861,34kBk1FCAB281,Ck用点 在椭圆上得到关于实数 k 的方程，解方程有： .C 6试题解析：（1）由题意得 ，解得22 194abc23 1abc椭圆 的标准方程： E23xy（2） 为等腰三角
15、形，且 点 在 轴下方12CF0kCx若 ，则 ；10,若 ，则 ， ；122,3若 ，则 ， ；3FC1F0C 0,直线 的方程 ，由 得 或B31yx231 4yx0 3xy85 3xy 8,5B（3）设直线 的方程 ，AB:2ABlykx由 得2 143ykx22241610 264ABkx2834Bkx 213ykk2261,k若 ，则 ， ， ， ， 与12,B3,C1,0F134CFk1不垂直；A ， ， ，k2,0F2124,BFCFkk直线 的方程 ，直线 的方程: B2:1lyx11:1CFlyxk由 解得 241kyx28ky28,k又点 在椭圆上得 ，即 ，即C22818
16、143kk2241890k214k ， 062k点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19已知数列 满足： .,nab*13,nnaN（1 ）若 ，求 的值；2301（2 ）设 ，求证：数列 从第 2 项起成等比数列；124,nnnb（3 ）若数列 成等差数列，且 ，试判断数列 是否成等差数列？b1235baa并证明你的结论.【答案】 （1） （2）见解析（3）见解析4a【解析】试题分析：(1)由题意结合递推关系可得
17、 ；14a(2)由题意结合递推关系有： ，即1123nnnbb，结合 ， ，可证得数列 成等比数*1243,nbN213b207n列；(3)由 可得 ；由 可得1235a1al13nnba，结合数列 成等差数列计算可得23,nnnbb，则数列 成等差数列. 21n试题解析：（1）当 时，可得 ，又 ，,n1233,2aa230a从而可得 ；14a（2）由 ，可得 ，2,12214,77bb所以 ；13b又因为 ，11,nnnab所以 ，即 ，2b *1243,nbN又 ， ，所以 ，2143207*,n所以数列 成等比数列； nb（3）由 可得 ，即 ；1235a1235a120al由 可得
18、，nn 23,nnnb又因为数列 成等差数列，从而 ，即 ，b1nb210nb从而 ，21231213nnnnnaaa即 3a所以 ，故 ，121210nn 21nn所以数列 成等差数列. na20已知函数 ，其中 为自然对数的底数， .,2xfegaxeaR（1 ）求证： ；0（2 ）若存在 ，使 ，求 的取值范围；xR0fx（3 ）若对任意的 恒成立，求 的最小值.,1gxa【答案】 （1）见解析（2） 或 （3） .2ea2e【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的最小值 ，所以 .10f0fx(2)原问题等价于函数 有零点时的 的取值范围.分类讨论：当Fxa时， 有零点.当 时， 无零
19、点.当 时， 0a2eFx2ea有零点.则 的取值范围是 或 .Fxa0(3)原问题即 .构造函数 ，其值域为 ，且21xe12xeGA.结合导函数可得 在 上为减函数，所以Gx,，. 记区间 ，构造新函数1e1,2eB，结合题意讨论可得 的最小值为 .,HxmBa试题解析：（1）令 ，得 ，且当 时， ；当 时， 0xfe 1xx0fx1，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所0fxf,1,以函数 在 处取得最小值. 因为 ，所以 .f1x0ffx（2）设 ，题设等价于函数 有零点时的 的取值2FeaFa范围.当 时，由 ，所以 有零点.0a130, 0xFeax当 时，2e若 ，由
20、，得 ；x2xe若 ，由（1）知， ，所以 无零点.0x210FxaFx当 时， ，又存在 ， 2eaa012ae，所以 有零点.00Fxxx综上， 的取值范围是 或 .2ea0（3）由题意， ，因为 ，所以 .1x1x21xea设 ，其值域为 ，2xeGA由于 ，所以 .201xxeex 2eGx又 ，所以 在 上为减函数，所以20xG x,1，. 1e记区间 ，则 .,2BA设函数 ，,HxGm一方面， ；10e另一方面， 1212xHxemx，1212xemx存在 ， 5514002xHee所以 ，使 ，即 ，所以 .1,12xme1x1GxmBA由，知， ，AB从而 ，即 的最小值为
21、.a2e21 选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线 经过点 ，倾斜角为 ，设 与圆l1,P6l相交于 两点，求点 到 两点的距离之积.24xy,ABP,AB【答案】2. 【解析】试题分析：由题意可得直线的标准参数方程为： ( 为参数) ；联立直线的31,2,xty参数方程与圆的标准方程，结合参数的几何意义可得点 到 两点的距P,AB离之积为 2. 试题解析：直线 的参数方程为 即 ( 为参数)；l1,6,xtcosyin31,2,xty将 代入 ，31,2 ,xty24xy得 ，即 ，则 ，22311tt23120tt12t则点 到 两点的距离之积为 2. P,AB22
22、选修 4-2:矩阵与变换在平面直角坐标系 中，直线 在矩阵 对应的变换作用下xOy20xy12aAb得到的直线仍为 ，求矩阵 的逆矩阵 .201【答案】 ._102A【解析】试题分析：应用结合矩阵变换的定义可得： ，据此求解逆矩阵可得： 01ba._120A试题解析：设 是直线 上任意一点，其在矩阵 对应的变化,Pxy20xy102A下得到仍在直线上，122aabybxy所以得 ， 与 比较得 ，解得020xy1 2ba，故 ,0 1ba12A求得逆矩阵 ._10223 选修 4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，直线 和圆 的极坐标方程为 和 .若lCcos6aR4sin直线 和圆 有且只有
23、一个公共点，求 的值.l a【答案】 或 .3a1【解析】试题分析：直线方程即： ，圆的方程即： .满足题意时，20xy224xy圆心到直线的距离等于半径，据此解方程可得： 或 .3a1试题解析：将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程得 ，l 20xy将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程得 .C24因为直线与圆有且只有一个公共点，所以 ，即dr2ar解得 或 .3a124如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，平面 平面AEFCBAEFAEF， ， ， 为 的中EFCB/,42a， 60BCO点.（1 ）求二面角 的正弦值；FAEB（2 ）若 平面 ，求 的值.OCa【答案】 （1） （2） . 54
24、3【解析】试题分析：(1)由题意可知 ， ， ，据此建立空间直角坐标AEFGAO系，计算可得平面 的法向量为 ，且平面 的一个法向B3,1nAEF量为 ，据此计算可得二面角的正弦值为 . 0,1p 25(2)结合(1) 中的空间直角坐标系有 ，据此得到关于实数 a 的方程：0BEOC，解方程有： . 223a43a试题解析：（1）因为 是等边三角形， 为 的中点，所以 ，AEFFAOEF又因为平面 平面 ，平面 平面 ，BAEB平面 ，O所以 平面 ，C又 平面 ,所以 ，BO取 的中点 ，连结 ，G由题设知四边形 是等腰梯形，所以 ，EFGF由 平面 ，又 平面 ，所以 ，ABECBAO建立
25、如图所示空间直角坐标系，则 ， ,03,2,0EaAaBa， ， ,03,2,3,0EAaBEa设平面 的法向量为 ，nxyz则 ,即0nBE, 2320.aa令 ，则 ，于是 ，1z3,1xy,1n又平面 的一个法向量为 ，设二面角 为 ，AFpFAEB所以 ， ，5,ncosp251sincos所以二面角的正弦值为 . 25（2）因为 平面 ，所以 ，即 ，BEAOCBEC0O因为 ，2,3,02,3,aa所以 ，a由 及 ，解得 . 0BEC4325已知抛物线 的焦点为 , 直线 过点 .24yxFl(,0)M()若点 到直线 的距离为 , 求直线 的斜率; Fl()设 为抛物线上两点,
26、 且 不与 轴垂直, 若线段 的垂直平分线恰过点ABABxAB, 求证: 线段 中点的横坐标为定值.M【答案】() ()详见解析2【解析】试题分析：（）设直线 l 的方程为 y=k（x-4） ，由已知，抛物线 C 的焦点坐标为（1，0） ，因为点 F 到直线 l 的距离为 ，所以 ，由此能求出直3231k线 l 的斜率；（）设线段 AB 中点的坐标为 N ，A ，B ，因为0,xy,2,xyAB 不垂直于 x 轴，所以直线 MN 的斜率为 ，直线 AB 的斜率为 ，直线 AB0404的方程为 ，由此能够证明线段 AB 中点的横坐标为定值004yx试题解析：（）由已知，x=4 不合题意设直线 l
27、 的方程为 y=k（x-4） ，由已知，抛物线 C 的焦点坐标为（1，0） ，因为点 F 到直线 l 的距离为 ，3所以 ， 231k解得 ，所以直线 l 的斜率为 . k2() 设线段 中点的坐标为 , , AB0()Nxy)(),(21yxBA因为 不垂直于 轴, x则直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 , MN04yB04直线 的方程为 , 00()x联立方程 002,4,yx消去 得 , 200(1)(4)yx所以 , 204yx因为 为 中点, 所以 , 即 , NAB120y04yx所以 .即线段 中点的横坐标为定值 . 0【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；点到直线的距离公式
