1、2018 届广西柳州高级中学、南宁市第二中学高三上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1设 是虚数单位，若复数 ，则 （ ）i 1izzA. B. C. D. 212ii12i【答案】A【解析】因为 ，所以 ，故选 A.=1iiz i12zi2设 ， ， ， 则下列命题为真命题的是（ ）abcRA. B. C. D. 2cabc2ab【答案】C【解析】对 A， 时不成立；对 B， 时不成立；对 C，正确；对 D， 0c0时不正确，故选 C.0a3甲、乙两类水果的质量（单位： ）分别服从正态分布 ， kg21,N，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）2,NA. 家类水果的平均
2、质量 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中10.4kg于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小 D. 乙类水果的质量服从正态分布的参数 21.9【答案】D【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量 1=0.4kg，乙类水果的平均质量 2=0.8kg，故 A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2= ，1.9故 D 不正确故选：D4已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角是（ ）ababaA. B. C. D. 6343【答案】D【解析】 ， = ，ab2ab2 =0， ，如图所示：ab则 与 的夹角是 ，故选：Dab345 5中国古代数学著作算法统综中有这样一个问
3、题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48 里 B. 24 里 C. 12 里 D. 6 里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为a n，由题意知a n是公比 的等比数列，12由 S6=378，得 =378，解得：a 1=192， =12（里） 故1662a549a选：C6如图，程序输出的结果 ，则判断框中应填（ ）“132”sA. B. C. D. 10i？ 1i？ 1
4、i？ 12i？【答案】B【解析】第一次循环 第二次循环 结束循环，输2,;si3,10;si出 ，所以判断框中应填 选 B.“132”s17已知双曲线 的一焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的渐近2xyb28yx线方程为（ ）A. B. C. D. 13yx3yx3yx3yx【答案】B【解析】抛物线 的焦点为 ，所以 渐近线方程为282,021b，即 ，选 B.2031xy3x8同时具备以下性质：“ 最小周期是 ；图象关于直线 对称；在3x上是增函数；一个对称中心为 ”的一个函数是（ ）,63 ,012A. B. C. D. sin2xysin3yxsin26yxi3【答案】C【解析】由“最
5、小正周期是 ，可得 =2，排除 A；图象关于直线 x= 对称；3可得： += ，k Z对于 D 选项：= ，不满足，排除 D；233一个对称中心为 ”带入函数 y 中，B 选项不满足排除 B；故选 C01，9在高校自主招生中，某学校获得 5 个推荐名额，其中清华大学 2 名，北京大学 2 名，浙江大学 1 名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）A. 36 种 B. 24 种 C. 22 种 D. 20 种【答案】B【解析】根据题意，分 2 种情况讨论：、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大
6、学和清华大学，共有 =12 种推荐方法；32A、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余 2 个女生从剩下的 2 个大学中选，共有 =12 种推荐方法；故共有 12+12=24 种推荐方法，故选：B23C10如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是（ ）83A. B. C. D. 【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 PABCD，如图所示，该几何体的俯视图为 C故选： C11在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若 ， ABCBCabc1，则当角 取得最大值时
7、，的周长为（ ）2cos0bA. B. C. 3 D. 322【答案】A【解析】在ABC 中，由正弦定理得： sinicos0BAs02bcA 为钝角 ，0cosAC由 ，2sinincoi可得 ，3tata ， tanB= = = = ，1t213t13tanCt23当且仅当 tanC= 时取等号 B 取得最大值 时，rct 2163cbCBA， a=2 = a+b+c=2+ 故答案为：2+ os 312已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数，xafeln4axgxe若存在实数 ，使 成立，则实数 的值为（ ）0x003A. B. C. D. ln21ln2ll2【答案】A【解析】令 f（x
8、）g（x）=x+e xa1n（x+2）+4eax，令 y=xln（x+2） ，y=1 = ，12故 y=xln（x+2）在（2，1）上是减函数， （1，+）上是增函数，故当 x=1 时，y 有最小值10=1，而 exa+4eax4， （当且仅当 exa=4eax，即 x=a+ln2 时，等号成立） ；故 f（x）g（x）3（当且仅当等号同时成立时，等号成立） ；故 x=a+ln2=1，即 a=1ln2故选：A二、填空题13已知函数 ，则 _.12,0 logxf21log46ff【答案】8【解析】 ，所以21log6122log,lo4ff1l6ff8点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须
9、明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.14在长方体 中， ， ， ，则异面直线1ABCD3AB2C1A与 所成角的余弦值为_.1【答案】 20【解析】如图连接 C1D，则 C1DAB1，BC 1D 就是异面直线 AB1 与 BC1 所成的角 ，AA 1=1，32ABC，在BC 1D 中， ， ， ，3B5C10DcosBC 1D 异面直线 AB1 与 A1D 所成的角的余弦值为： 50212 21015若 ， 满足约束条件 ，等差数列满 足 ， ，x
10、y5021 xyna1x5ay其前 项和为 ，则 的最大值为_.nnS52【答案】 34【解析】等差数列a n满足 a1=x，a5=y，d= ，设 z=S5S 2=5a1+10d2a 1d=3a 1+9d=3x+ = x+ ，yx 4yx1y则 y=11x+ ，平移目标函数，当过点 A 时，在 y 轴的截距最大，此时 z 最大4z由 解得 x=3，y=2，即 A（3，2） ，z= + = ，故答案为： 0 2xy 342535416过点 引直线 与曲线 相交于 、 两点， 为坐标原点，当2,0l21yxABO的面积取最大值时，直线 的斜率等于_ .AOBl【答案】 3【解析】由 ，得 x2+y
11、2=1（y0）1y曲线 表示単位圆在 x 轴上方的部分（含于 x 轴的交点）2x由题知，直线斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与 x 轴重合，则1 k0直线 l 的方程为： ，即02yk2y则圆心 O 到直线 l 的距离 ，直线 l 被半圆所截得的弦长为221kd|AB|= ，2 22()r kk = = =1AOBSd22121()2246()1k令 ，2tk则 ，当 ，S AOB 有最大值为 ，246AOBSt231344tk， 即 时 2此时， ， ，又1k0，213k点睛：本题考查圆的一般方程与标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及定点问题，属于难题，
12、解决此类问题时，联立方程，消元得一元二次方程，利用根与系数的关系去处理问题，是常规思路，要求熟练掌握，同时圆的问题要注意圆的平面几何性质的利用，可以简化解题。三、解答题17设 ， ，数列 满足： 且 .12a4nb12nb1nnab求证：数列 是等比数列； nb求数列 的通项公式. 【答案】()证明见解析；() .1*2naN【解析】试题分析：（1）a 1=2，a2=4，且 an+1an=bn；可得 b1=a2a1=42=2由bn+1=2bn+2，变形为：b n+1=2=2（bn+2） ，即可证明（2）由（1）可得：b n+2=42n1，可得 bn=2n+12an+1an=bn=2n+12利用
13、 an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1 即可证明试题解析：由题知： ， 12nnb又 ， ，1214a14b 是以 4 为首项，以 2 为公比的等比数列.nb由 可得 ，故 . 1nn12n，1nnab ，2，3，43ab.1nn累加得： ，1231nabb242n1=+n，12n即 .2nan而 ， .111*2naN点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，n主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误,求通项公式时可考虑累差累积法的
14、应用18交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费a与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率1A上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10%2上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 20%3A上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 30%4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0%5A上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 10%6A上一个年度
15、发生有责任道路交通死亡事故 上浮 30%某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 1A23A45A6数量 10 5 5 20 15 5以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定， .某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记 为该品牌车在第四年续保950a X时的费用，求 的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）X某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高
16、于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损 5000 元，一辆非事故车盈利 10000元：若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；若该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.【答案】()答案见解析；() ；50 万元.207【解析】试题分析：（）由题意可知 X 的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a由统计数据可知其概率及其分布列（II）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ，13三辆车中至多有一辆事故车的概率为 P= + 31()2()设 Y 为该销售
17、商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为5000，10000即可得出分布列与数学期望试题解析：由题意可知 的可能取值为 ， ， ， ， ， . X0.9a.80.7a1.a3由统计数据可知：， ， ， ， 10.96Pa1.2P.2PX1PX， .4X3Xa所以 的分布列为： 0.9a.80.7a1.a.3P1621342所以.1111.93050.9.80.7394262342aEXaa由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 ，三辆车中至少有一辆事故车的概率为 .32107PC设 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， 的可能取值为-5000,10000.YY
18、所以 的分布列为：-5000 10000P1323所以 .25005EY所以该销售商一次购进 100 辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元.1019如图所示，三棱柱 中，已知 侧面 ， 1ABCAB1C， ， .AB1260（1）求证： 平面 ；1BCA（2） 是棱 上的一点，若二面角 的正弦值为 ，求线段 的长.E1BE12CE【答案】()证明见解析；()2 或 3.【解析】试题分析：（）证明 ABBC1，在CBC 1 中，由余弦定理求解 B1C，然后证明 BCBC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明 C1B平面 ABC（）通过 AB，BC，BC 1 两两垂直以 B 为原点，BC
19、，BA，BC 1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，求出平面 AB1E 的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出 的方程，求解即可试题解析： 证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 A111B，1ABC在 中， ， ， ，12CB160C由余弦定理得： ，22 21111cos12cos603BCBC故 ，所以 ，又 ， 平面 .A1A由 可以知道 ， ， ，两两垂直，以 为原点 ， ， BC1BBCBA，所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.1BCxyz则 ， ， ， ， ， 0,0,1A,010,3C1,03， .13,3B令 ， ， .1CE,EC
20、 ,E设平面 的一个法向量为 ，A,nxyz，130 nxyBz令 ，则 ， ，3z22 ，,3n平面 ， 是平面 的一个法向量，AB1CBA1E，两边平方并化简得 ，所以 或 .3cos,2n2530132 或 .1E13E点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，本题利用了余弦定理，求边长，再利用勾股定理得到线线垂直，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.20如图，椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 的210xyCab： 31,2P12el
21、方程为 .4求椭圆 的方程； C是经过右焦点 的任一弦（不经过点 ） ，设直线 与直线 相交于点 ， ABFPABlM记 ， ， 的斜率为 ， ， .问：是否存在常数 ，使得PPM1k23k？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.123k【答案】() ；()存在常数 符合题意.214xy2【解析】试题分析：（1）由题意将点 P （1， ）代入椭圆的方程，得到3，再由离心率为 e= ，将 a，b 用 c 表示出来代入方程，解得2904ab 2c，从而解得 a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线 AB 的方程为 y=k（x1） ，代入椭圆的方程并整理成关于x 的一元二次方程，
22、设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，利用根与系数的关系求得 x1+x2=， ，再求点 M 的坐标，分别表示出 k1，k 2，k 3比较2843k243kk1+k2=k3 即可求得参数的值；方法二：设 B（x 0，y 0） （x 01） ，以之表示出直线 FB 的方程为 ，由此01yx方程求得 M 的坐标，再与椭圆方程联立，求得 A 的坐标，由此表示出 k1，k 2，k 3比较 k1+k2=k3 即可求得参数的值试题解析：由 在椭圆上得， ,P2194ab依题设知 ，则 2ac23bc带入解得 ， ， .12故椭圆 的方程为 .C243xy由题意可设 的斜率为 ， ABk则直线
23、的方程为 1yx代入椭圆方程 并整理，得 ，234222438430kxk设 ， ，则有1,Axy2,Bxy， 12843k2143k在方程中令 得， 的坐标为 .xM,k从而 ， ， . 12ykx21ykx3124注意到 ， ， 共线，则有 ，即有 .AFBAFBk12ykx所以 1212 1212 12333yy xk kxxx代入得 ，212228343 1kk k又 ，所以 ，故存在常数 符合题意.3k13k21已知函数 .2lnfxax讨论 函数的单调性；设 的两个零点是 ， ，求证： . fx1x2120xf【答案】()答案见解析；()证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求函数
24、的定义域，求函数的导数，在定义域内讨论函数的单调性；（2）求出 a= +x1+x2，问题转化为证明 lnx 1lnx 2，即证明12lnx12()xln （） ，令 =t（0，1） ，则 h（t）=（ 1+t）lnt 2t+ 2，根据函数的12x122x单调性证明即可试题解析： 函数 的定义域为 ， 2lnfxax0,，112fxa当 时， ， ，则 在 上单调递增；00fx,fx0,当 时， 时， ， 时， ，a1,a0fx1,a0fx则 在 上单调递增，在 上单调递减.fx0, ,首先易知 ，且 在 上单调递增，在 上单调递减， afx10,a1,a不妨设 ，120x，211212 0xx
25、f axa构造 ， 2Fxff,又 221 axaxxffxffa ， ， 在 上单调递增，10,21 0FF10,a ，即 ， xffaa2fxfx10,a又 ， 是函数 的零点且 ，12fx120x121fffx而 ， 均大于 ，所以 ，所以 ，得证.2x1a21a12xa点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问
26、题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点，C3 2xcosyin轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x D4sin6写出曲线 的极坐标的方程以及曲线 的直角坐标方程； C若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 ， 两 2,4A3lCMN点，弦 的中点为 ，求 的值.MNPAMN【答案】()曲线 的极坐标方程为： ；曲线 的直角坐C22cosin194D标方程为： 2xy.() .341936【解析】试题分析：（1）先消参数得 的普通方程，再根据 得曲线C, x
27、cosyin的极坐标的方程，利用 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程C, xcosyinD（2）先求直线参数方程，再代入 的普通方程，利用韦达定理以及参数几何意义求的值.APMN试题解析： 由题意 的方程为： 可得 的普通方程为： C3, 2xcosyinC， 2194xy将 代入曲线方程可得： .,cosyin22cosin194因为曲线 的极坐标方程为 ，D4sin6所以 .2 314sin4sincos62又 ， ， .22xycoiy所以 .3x所以曲线 的极坐标方程为： ；曲线 的直角坐标方程为：C22csin194D2xy.3因为点 ，化为直角坐标为 所以 . 2,4A2,4 x
28、cosyin2,A因为直线 过点 且倾斜角为 ，所以直线 的参数方程为l,3l（ 为参数） ，代入 中可得： 12, 3,xty2194xy，2181604tt所以由韦达定理： ， ，123721bta12643cta所以 .12496tAPMN23已知函数 .fx求不等式 的解集； 3若函数 的最小值为 ，整数 、 满足 ，求证 gxfxmabm.24ab【答案】() 或 ；()证明见解析.|3x2【解析】试题分析：（1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出 a+b=4，根据不等式的性质证明即可试题解析： 当 时，得 . . 1x4323xx当 时，得 .无解.0x当 时，得 .32所以，不等式的解集为 或 .4|x23法一： ， ，即 . 114gxm4ab又由均值不等式有： ， ，2ab2ab两式相加得 .2224a当且仅当 时等号成立.ab法二：由柯西不等式得 ，2 2abab 2ba当且仅当 即 时等号成立.2ba2
