1、2018 届广西南宁市第二中学高三 1 月月考（期末）数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据集合的交集的概念得到 ，故 A 是正确的 D 是错误的； ，故 B 不对；C 不对；故答案为：A。2. 已知复数 （是虚数单位 ）是实数，则实数 （ ）A. 0 B. -3 C. 3 D. 2【答案】A【解析】复数 （是虚数单位）是实数 ，故 故答案为：A。3. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色
2、部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1，则正方形的边长为 2，则黑色部分的面积 S= ，正方形 ABCD 内的面积为 22=4，所求的概率为 P= 故选：D4. 双曲线 ： 与 轴的一个交点是 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线过点 ，则： ，据此可得： ，则双曲线方程为： ，双曲线的渐近线满足： ，据此整理可得双曲线的渐近线为： .本题选择 D 选项.点睛：双曲线 的渐近线方程为 ，而双曲
3、线 的渐近线方程为 (即 )，应注意其区别与联系.5. 已知等差数列 的公差为 2，若 成等比数列，则 等于（ ）A. -4 B. -6 C. -8 D. -10【答案】B【解析】试题分析： 成等比数列考点：等差等比数列通项公式6. 设 表示不同的直线， 表示不同的平面，给出下列四个命题：若 ，且 ，则 ；若 ， ， ，则 ；若 ， ，则 ；如果 ， ， ，则 .则错误的命题个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】若 ，且 ，则 是正确的，垂直于同一个平面的直线互相平行；若 ， ，则 ，不对，垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的；如果 ， ， ，则 ；是错误的，平
4、面 和 可以是任意的夹角；故答案为：B。7. 设 ， ， ，则 大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据三角函数化一公式得到 故得到 。故答案为：D。8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】根据题意得到原图像是一个三棱锥，底面是直角三角形，顶点在底面的投影在底面三角形的外面，故求得棱锥的体积为 故答案为：B。点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的
5、高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 5，2，则输出的 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出 .点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判
6、断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.10. 已知函数 和函数 的图象相交于 三点，则 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意，令 sinx= tanx，即 sinx（1 ）=0，解得 sinx=0，或 1 =0，即 sinx=0 或 cosx= 又 x0，x=0 或 x=，或 x=arccos ，点 A（0，0），B（，0），C（arccos ，），ABC 的面积为 |AB|yC|= ，故答案为
7、：B11. 椭圆 的半焦距为 ，若抛物线 与椭圆的一个交点的横坐标为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知交点的坐标为 ，代入椭圆方程可得离心率故选 B12. 函数 的定义域是 ， ，对任意 ， ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 g（x）=e xf（x）ex，则 g（x）=e xf（x）+f（x）1对任意 xR，f（x）+f（x）1，g（x）0 恒成立即 g（x）=e xf（x）ex 在 R 上为增函数又 f（0）=2，g（0）=1故 g（x）=e xf（x）ex1 的解集为x|x0即不等式 exf（x）e x+1 的解
8、集为x|x0故答案为：A点睛：本题考查解抽象函数的不等式问题，当函数有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。也可以找特殊函数满足题干条件的，即可。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】2【解析】根据不等式组画出可行域，是一个封闭的三角形区域，目标函数 ，可化为 当目标函数过点 时函数有最大值，代入得到 2.故答案为：2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进
9、行变形常见的类型有截距型（ 型）、斜率型（ 型）和距离型（ 型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。14. 在平行四边形 中， ， ， ，则 的值为_【答案】5【解析】在平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1， ABC=60，则 BC=1= （ + ） 故答案为：5.15. 已知三棱锥 的所有棱长都为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 _【答案】【解析】如图，构造正方体 ANDM-FBEC.因为三棱锥 A-BCD 的所有棱长都为 ，所以正方体 ANDM-FBEC 的棱长
10、为 1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥 A-BCD 的外接球就是正方体 ANDM-FBEC 的外接球，所以三棱锥 A-BCD 的外接球的半径为 .所以三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为 S 球 =4 =3.故填：316. 已知函数 ，且 ，记 表示 的前 项和，则_【答案】100【解析】当 n 为奇数时，a n=f（n）+f（n+1）=n2（n+1）2=2n1，当 n 为偶数时，a n=f（n）+f（n+1）=n2+（n+1）2=2n+1，则 S100=（a1+a3+a99）+（a2+a4+a6+a8+a10+）=2（1+3+5+7+9+99）50+2（2+4+6+8+10+10
11、0）+50=100故答案为：100.点睛：这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中， .（1）求角 的大小；（2）求 的最大值 .【答案】(1) B (2) 最大值为 1【解析】试题分析：（1）由余弦定理及题设得 ；（2）由（1）知当 时， 取得最大值 试题解析： （1）由余弦定理及题设得 ，又 ， ；（2）
12、由（1）知 ，因为 ，所以当 时， 取得最大值 考点：1、解三角形；2、函数的最值.18. 高三一班、二班各有 6 名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示.（1）若一班、二班 6 名学生的平均分相同，求 值；（2）若将竞赛成绩在 、 、 内的学生在学校推优时，分别赋分、2 分、3 分，现在从一班的 6 名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为 4 分的概率.【答案】(1) x4 (2) 【解析】试题分析：（1）由两个班的平均分相等可求得 x.(2)由茎叶图可知，一班赋 3,2,1 分的学生各有2 名，不妨分别记为 A1，A 2， B 1，B 2， C 1，C 2
13、，由枚举法可知总共情况 15 种，满足条件 5 种，所以概率P 。试题解析：()由 9390x81737761909484727663，得 x4.()由题意知一班赋 3,2,1 分的学生各有 2 名，设赋 3 分的学生为 A1，A 2，赋 2 分的学生为 B1，B 2，赋 1 分的学生为 C1，C 2，则从 6 人抽取两人的基本事件为A1A2，A 1B1，A 1B2，A 1C1，A 1C2，A 2B1，A 2B2，A 2C1，A 2C2，B 1B2，B 1C1，B 1C2，B 2C1，B 2C2，C 1C2共 15 种，其中赋分和为 4 分的有 5 种，这两名学生赋分的和为 4 的概率 P .
14、19. 如图，四棱锥 中， 为正三角形， ， ， ， ， 、 为棱 、的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）取 AP 的中点 F，连结 EF，DF，推导出四边形 CDEF 为平行四边形，从而 DFCE ，由此能证明平面 PAB平面 CDE（2），。解析：(1) 、F 分别为棱 、PA 的中点，又 ， ， 为平行四边形， . 又 为正三角形， 又 ， 平面 ， 又 平面 ，平面 平面 . ， , 而 , ,过 P 作 ,得 ， , 20. 如图，曲线 与正方形 ： 的边界相切.（1）求 的值；
15、（2）设直线 交曲线 于 ，交 于 ，是否存在这样的曲线 ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 解析：()由题 ，得 ，有= ， 化简的 . 又 ，所以 从而有 ； ()由 ， ，即由 ， 由 可得 且 ， 所以 可得 ， 从而 所以 ，即有 ，符合 ， 故当实数 的取值范围是 时，存在直线和曲线 ，使得 ， ， 成等差数列点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是
16、解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数 ， .（1）若 ，求函数 的最小值；（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求的取值范围；【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）将参数代入函数表达式，对函数求导，研究导函数的正负，进而得到函数的最值；（2）原不等式等价于 在 上恒成立 ，设函数 ， ，研究函数的单调性，求函数的最小值即可。解析：（） . 则 当 时， ， 在 单调递增， 当 时， ， 在 单调递减， ，即 . （）由 ，得 即 在 上恒成立 设函数 ， 则 设 则 易知当 时， 在 上单调递增
17、，且 即 对 恒成立 在 上单调递增 当 时， ，即的取值范围是 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，点 在倾斜角为 的直线上，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的方程为 .（1）写出的参数方程及 的直角坐标方程；（2）设与 相交于 两点，求 的最小值
18、.【答案】(1)的参数方程为 （为参数） 的直角坐标方程是 (2) 最小值【解析】试题分析：（1）倾斜角为 的直线过 ，其标准参数方程为 为参数） ，由此可得；（2）把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，把（1）中直线的标准参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，由的几何意义，知 ， ，又本题中 异号，因此有 ，结合韦达定理可得，最后由利用三角公式及正弦函数性质可得最小值试题解析：（1 ） 的参数方程为 （为参数） 由 得 ， 的直角坐标方程是 （2）将的参数方程代入 的直角坐标方程得 因为 ， ， ，所以 所以 ，当 时等号成立因此 取最小值 23. 选修 4-5：不等式选讲已知 ， ，记关于 的不等式 的解集为 .（1）若 ，求实数的取值范围；（2）若 ，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)将 a-3 代入不等式,按零点分段法解关于 a 的不等式;(2)由 去掉 g(x)的绝对值,得到 恒成立，即 ，解出 a 的范围即可.试题解析:（）依题意有 ，若 ，则 ， ，若 ，则 ， ，若 ，则 ，无解综上所述，的取值范围为 （）由题意可知，当 时， 恒成立， 恒成立，即 ，当 时恒成立，所以 .
