2018届广西桂林市、贺州市高三上学期期末联考数学（理）试题（解析版）.doc

1、2018 届广西桂林市、贺州市高三上学期期末联考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解析：因 ，故 ，应选答案 D。2. 已知复数 （为虚数单位） ，那么的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 复数 ，那么的共轭复数为 ，故选 B.3. 某单位为了了解用电量 度与气温 之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程 ，预测当气温为

2、时，用电量度数为（ ）A. 68 B. 67 C. 65 D. 64【答案】A【解析】根据平均值公式由表格数据可得 为 ，又 在回归方程 上且，解得 ，当 时， ，即预测当气温为时，用电量度数为 ，故选 A.4. 的展开式中 的系数为（ ）A. 208 B. 216 C. 217 D. 218【答案】B【解析】把 的展开式看成是 个因式 的乘积形式，展开式中，含 项的系数可以按如下步骤得到：第一步：从 个因式中任选 个因式，这个因式取，有 种取法；第二步：从剩余的 个因式中任选 个因式取 ，有 种取法；第三步：把剩余的 个因式中都取 ，有 种取法，根据分步乘法计数原理，得含 项的系数是 ,故选

3、 B.5. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）A. 101 B. 120 C. 121 D. 103【答案】C【解析】执行程序框图，第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环， ；第四次循环，符合条件，推出循环，输出 ，故选 C.6. 设 的三个内角 所对的边分别为 ，如果 ，且 ，那么的外接圆面积与内切圆面积的比值为（ ）A. 4 B. 2 C. D. 1【答案】A7. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被 的图象分割为两个对称的鱼形图案，

4、其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. 36 C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥 ，其中三角形 是边长为 的正三角形，正方形的边长为 ，该几何体的表面积为 ，故选 C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特

5、别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知各项都为正数的等比数列 ，满足 ，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】B【解析】 正项等比数列 满足： ，可得 ，即 ， ， ， ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，故选 B.10. 已知圆 ，抛物线 ， 与 相交于 两点，且 ，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据直线与圆相交的弦长公式可知 ，解得 ，设直线 的方程为 ，圆心 到直线的距离 ，解得 （舍）或 ， ，解得 或 ，代入抛物线方程 ，解得： ，所以抛物线方程为，故选 C.【点睛】本

6、题考查了直线与圆，直线与抛物线和圆与抛物线的位置关系，如果直接选择圆与抛物线联立，那不易得到两个交点坐标，所以首先看成直线与圆的位置关系，根据弦心距公式得到直线方程，再让直线与抛物线联立，得到交点的坐标，求出抛物线方程.11. 已知函数 满足 ，当 时， .若函数 在区间 上有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在区间 内,函数 ，有三个不同的零点: ,设 ，可得 ， ，此时 ，一定有 ，可得在 上 为单调递减函数，若在 上有一个交点,则 ，解得 ，若时 ,可得 ， ，若 ，可得 为减函数，若，可得 为增函数，此时 必须在 上有两个交点， ，解得

7、 ， 综上可得 ；若 ，对于 时, ，没有零点,不满足在区间 内,函数 ，有三个不同的零点，综上： ，故选 A.12. 已知 点为 的重心，设 的内角 的对边为 且满足向量 ，若 ，则实数 （ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D【解析】如图,连接 延长交 交 于 ,由于 为重心,故 中点, ，由重心的性质得，即 ，由余弦定理得， ， ， 由 ，将正切化为正弦与余弦的商，利用正弦定理可得 ，故选 D.【思路点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与

8、三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】-4【解析】画出约束条件 表示的可行域，如图，由 得， ，由图可知当直线 过时有最小值 ，故答案为 .14. 如果将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象关于原点对称，那么_【答案】【解析】将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象，若所得图象关于原点对称，则 ，又，故答案为 .15. 已知 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 两点，若为等边三角

9、形，则 的面积为_【答案】【解析】为等边三角形， 为双曲线上一点，所以为双曲线上一点，则 ，在， 的面积为 ，故答案为 .16. 把长 和宽 分别为 和 2 的长方形 沿对角线 折成 的二面角 ，下列正确的命题序号是_四面体 外接球的体积随的改变而改变； 的长度随的增大而增大；当 时， 长度最长；当 时， 长度等于 .【答案】【解析】因为不管如何变换 的中点到四面体 四个顶点的距离都等于 长度的一半为 ，即外接球的半径为定值 ，所以四面体 外接球的体积为定值，错；过 作 于 ，过 作 于 ，作， 是二面角 的平面角， 二面角 为， ，又， 是矩形， , 的长度随的增大而增大，对；因为 ，所以

10、无最大值，错；当 时， ，对，正确的命题序号是.故答案为.【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查二面角的应用、多面体外接球的体积、余弦定理的应用、空间两点间的距离，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输” ，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.解答本题的关键是，将 表示为二面角的函数 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知等比数列 中， ， 成等差数

11、列；数列 中的前 项和为 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和.【答案】(1) , ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据 ， 成等差数列列出关于首项 ，公比 的方程组，解得 、的值，即可得到数列 的通项公式,当 时， ,（ 也适合） ；（2）由（1）知 根据等比数列的求和公式和裂项相消求和以及分组即可求出数列 的前 项和试题解析：（1）设等比数列 的公比为 ；因为 成等差数列，故，即 ，故 ；因为 ，即 .因为 ，故当 时， .当 时， ；综上所述 .（2）由（1）知 ；故数列 的前 项和为.【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属

12、于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，2017 年双 11 全天交易额达到 1682 亿元，为规范和评估该行业的情况，相关管理部门制定出针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行评价，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次.（1）完成

13、关于商品和服务评价的 列联表，判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量 ：求对商品和服务全为好评的次数 的分布列；求 的数学期望和方差.附：临界值表：的观测值： （其中 ）关于商品和服务评价的 列联表：【答案】(1)答案见解析；(2).答案见解析；.答案见解析.【解析】试题分析：（1）由题设中所给数据可列出关于商品和服务评价的 列联表，将列联表中数据代入公式 ，求得 的值，与邻界值比较，即可得到结论；（2）每次购物时，对商品和服务全好评的概率为 ，且 的

14、取值可以是 根据独立重复试验概率公式求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数 的分布列；利用二项分布的数学期望和方差公式求 的数学期望和方差试题解析：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 列联表如下：，故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关.（2）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为 ，且 的取值可以是 0,1,2,3.其中 ； .的分布列为： ， ，【方法点睛】本题主要考查 列联表、独立性检验的应用以及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式计算 的值；(3) 查表比较

15、 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19. 如图，在三棱柱 中，底面 是边长为 2 的等边三角形，平面 交 于点 ，且平面 .（1）求证： ；（2）若四边形 是正方形，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）连结 ，设 与 相交于点 ，连接 ，则 为 中点，根据线面平行的性质定理可得 ，从而证明 为 的中点，根据正三角形的性质可证明 ；（2）根据勾股定理可证明 ，结合 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，设 的中点为 ，的中点为 ，以 为原点， 所在直线

16、为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系 ，可得直线 的方向向量为 ，再利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果试题解析：（1）证：连结 ，设 与 相交于点 ，连接 ，则 为 中点， 平面 ， 平面 平面 ， 为 的中点.又 为正三角形， .（2） ， .又 ， .又 ， 平面设 的中点为 ， 的中点为 ，以 为原点，所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系 .则 ， ， .平面 的一个法向量 ，.所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .20. 已知点 在椭圆 上，且椭圆的离心率为 .（1）求椭圆 的方

17、程；（2）若 为椭圆 的右顶点，点 是椭圆 上不同的两点（均异于 ）且满足直线 与 斜率之积为 .试判断直线 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由点 在椭圆 上，且椭圆的离心率为 ，结合性质，列出关于、 、的方程组，求出、 、 ，即可得椭圆 的方程；（2）由题意，直线 的斜率存在，可设直线 的方程为 ， ， ，联立 ，得，根据韦达定理、斜率公式及直线 与 斜率之积为 ，可得，解得 或 ，将以上结论代入直线方程即可得结果.试题解析：（1）可知离心率 ，故有 ，又有点 在椭圆 上，代入得 ，解得 ， ，故椭圆 的方程为 .

18、（2）由题意，直线 的斜率存在，可设直线 的方程为， ， ，联立 得 . ， .直线 与 斜率之积为 .而点 ， . .化简得 ， ，化简得 ，解得 或 ，当 时，直线 的方程为直线 与 斜率之积为 ，过定点 .代入判别式大于零中，解得 .当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，不符合题意.故直线 过定点 .21. 已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 有两个极值 ，其中 ，求 的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）求出 ，分三种情况讨论： 时， ， 时，结合判别式及求根公式，令 ，求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）根据

19、韦达定理可得， ， ， ，令，利用导数研究函数 的单调性，根据单调性可得 的最小值为，即 的最小值为 .试题解析：（1）由题意得 ，其中 ，令 ， ，当 时，令 ，得 ， ，所以 ， 在 单调递增；当 时， ， 在 单调递增；当 时，令 ，得 ， ，且可知当 时， ，在 单调递增；当 时， ，在 单调递减；当 时， ，在 单调递增；综上所述，当 时， 在 单调递增；当 ， 在 和 单调递增，在 单调递减；（2）由（1）知 ，由题意知 是 的两根， ， ，可得 ， ，令 ，则有当 时， ， 在 上单调递减，的最小值为，即 的最小值为 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做

20、的第一题记分22. 在平面直角坐标系 中，已知曲线 ，以平面直角坐标系 的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 .（1）将曲线 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 倍、2 倍后得到曲线 .试写出直线的直角坐标方程和曲线 的参数方程；（2）在曲线 上求一点 ，使点 到直线的距离最大，并求出此最大值.【答案】(1)直线的直角坐标方程为： .曲线 的参数方程为 （为参数）.(2)点，此时 .【解析】试题分析：（1）利用 ，可得直线的直角坐标方程为： ，利用，可得曲线 的直角坐标方程为： ，进而可得曲线 的参数方程；（2）根据曲线的直角坐标方程，设点 的坐标

21、 ，则点 到直线的距离为 ，利用辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为： .曲线 的直角坐标方程为： ，曲线 的参数方程为 （为参数）.（2）设点 的坐标 ，则点 到直线的距离为：，当 ， 时，点 ，此时 .23. 设函数 ；（1）若 ，且 对任意 恒成立，求实数的取值范围；（2）若 ，且关于 的不等式 有解，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：对问题（1） ，可以先求出函数 的最小值，再根据极端不等式恒成立即可求出实数的取值范围；对于问题（2） ，要使关于 的不等式 有解，那么必然函数 的图象与直线 的图象应该有两个交点，进而可求出实数的取值范围试题解析：（1）由绝对值的性质得： ， 对任意 恒成立， ，解得 ， ， 实数的取值范围是（2 ）当 时，若关于 的不等式 有解，则函数 的图象与直线 有两个交点， ，解得 ，实数的取值范围是考点：1.含绝对值不等式问题；2.极端不等式恒成立.