1、2018 年高考桂林市、贺州市联合调研考试数学试卷（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 选 B2. 已知复数 （为虚数单位） ，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】结合复数的运算法则可得： ，即复数在复平面内对应的点位于第四象限.本题选择 D 选项.3. 某单位为了了解用电量 度与气温 之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，
2、并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程 中 ，预测当气温为 时，用电量度数为（ ）A. 68 B. 67 C. 65 D. 64【答案】A【解析】由题可得 即 为： 在回归方程 且 解得： 故选 A4. 若 ，则 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 可知 两边平方可得 ，解得 故选 D5. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）A. 101 B. 120 C. 121 D. 103【答案】C【解析】执行程序框图，第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环， ；第四次循环，符合条件，推出循环，输出 ，故选 C.6. 设 的三个内角 所对的边分别为 ，如果 ，且 ，那
3、么 的外接圆半径为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 1【答案】D【解析】 化为：，由正弦定理可得 的外接圆半径为 故选 D7. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. 36 C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是如图所示
4、的四棱锥 ，其中三角形 是边长为 的正三角形，正方形 的边长为 ，该几何体的表面积为 ，故选 C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知各项都为正数的等比数列 ，且满足 ，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】B【解析】 正项等比数列 满足： ，可得 ，即 ， ， ， ，
5、当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，故选 B.10. 已知圆 ，抛物线 ， 与 相交于 两点，且 ，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据直线与圆相交的弦长公式可知 ，解得 ，设直线 的方程为 ，圆心 到直线的距离 ，解得 （舍）或 ， ，解得 或 ，代入抛物线方程 ，解得： ，所以抛物线方程为，故选 C.【点睛】本题考查了直线与圆，直线与抛物线和圆与抛物线的位置关系，如果直接选择圆与抛物线联立，那不易得到两个交点坐标，所以首先看成直线与圆的位置关系，根据弦心距公式得到直线方程，再让直线与抛物线联立，得到交点的坐标，求出抛物线方程.11. 将一个底面半径为
6、1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设圆柱的半径为，高为 ，体积为 ，则由题意可得 圆柱的体积为 则 圆柱的最大体积为 ，此时 故选：B【点睛】本题主要考查基本不等式在生活中的优化问题，利用条件建立体积函数是解决本题的关键12. 已知函数 满足 ，当 时， .若函数 在区间 上有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在区间 内,函数 ，有三个不同的零点 : ,设 ，可得 ， ，此时 ，一定有，可得在 上 为单调递减函数 ，若在 上有一个交点,则 ，解得 ，若时 ,可得
7、， ，若 ，可得 为减函数，若，可得 为增函数，此时 必须在 上有两个交点， ，解得 ， 综上可得 ；若 ，对于 时, ，没有零点,不满足在区间 内,函数 ，有三个不同的零点，综上： ，故选 A.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，且 ，则实数 的值为_【答案】-2【解析】 即答案为-2 14. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】-4【解析】画出约束条件 表示的可行域，如图，由 得， ，由图可知当直线过 时有最小值 ，故答案为 .15. 如果将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象关于原点对称，那么_【答案】【解
8、析】将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象，若所得图象关于原点对称，则 ，又，故答案为 .16. 已知 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 两点，若 为等边三角形，则 的面积为_【答案】【解析】为等边三角形， 为双曲线上一点，所以为双曲线上一点，则 ，在， 的面积为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知等比数列 中， ， 成等差数列；数列 中的前 项和为 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和.【答案】(1) . .(2) .【解析】试题分析：（1）根据 ， 成等
9、差数列列出关于首项 ，公比 的方程组，解得 、的值，即可得到数列 的通项公式,当 时， ,（ 也适合） ；（2）由（1）知 根据等比数列的求和公式和裂项相消求和以及分组即可求出数列 的前 项和试题解析：（1）设等比数列 的公比为 ；因为 成等差数列，故，即 ，故 ；因为 ，即 .因为 ，故当 时， .当 时， ；综上所述 .（2）由（1）知 ；故数列 的前 项和为.【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）
10、； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 中国共产党十九大于 2017 年 10 月 18 日至 10 月 24 日在北京召开.习近平总书记代表第十八届中央委员会向大会作了题为决胜全面建成小康社会 夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利的报告，某电视台想了解通过电视观看报告的观众的年龄分布，电视台随机抽取了当天 60 名电视观众进行调查，将他们的年龄分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求 60 名电视观众中年龄分布在 的人数；（2）从年龄分布在 的电视观众中采用分层抽样的方式抽取 6 人，再从这 6 人中随机选出 2 人进行采访
11、，求这 2 人中恰有一人年龄分布在 的概率.【答案】(1)51 人；(2) .【解析】试题分析：（1）求出电视观众年龄分布在 的频率，乘以 60，即可得到 60 名电视观众中年龄分布在 的人数；.试题解析：（1）电视观众年龄分布在 的频率为故电视观众中年龄分布在 的人数为 （人）（2）由题意知，采用分层抽样的方法选出 6 人，年龄分布在 的为 1 人，年龄分布在 的为 2 人，年龄分布在 的为 3 人，分布记为 ，从中选出 2 人的所有基本事件：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15 个事件.设事件 为“从这 6 人中随机选出 2 人进行采访，这 2 人中恰有一人年龄分布在
12、 ”，使得事件 成立的为 ， ， ， ， ， ， ， ，共 8 个，则 .19. 如图， 的底面边长为 2，高为 的正三棱柱，经过 的截面与上底面相交于 ，设.（1）证明： ；（2）当 时，在图中作出点 在平面 内的正投影 （说明作法及理由） ，并求四棱锥 表面积.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）推导出 ，由此能证明 （）当 时， 分别是 的中点，推导出 取 中点 ，连接 ，连接 ，则则 ， ，从而 平面 .，由此能求出四棱锥 表面积试题解析：（1）平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， ，又 ， .（2）如图 点是 中点，理由如下：（画出点 ）当 时，
13、 分别是 的中点，连接 和 ，因为 是正三棱柱，所以 ， .取 中点 ，连接 ，在等腰梯形 中， ，连接 ，则 . ， . ， 平面 ，即 平面 .所以 点 在平面 内的正投影.20. 已知点 在椭圆 上，且椭圆的离心率为 .（1）求椭圆 的方程；（2）若 为椭圆 的右顶点，点 是椭圆 上不同的两点（均异于 ）且满足直线 与 斜率之积为 .试判断直线 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.【答案】(1) .(2)直线 过定点 .【解析】试题分析：（1）由点 在椭圆 上，且椭圆的离心率为 ，结合性质，列出关于、 、的方程组，求出、 、 ，即可得椭圆 的方程；（2）由题意，直线 的斜率
14、存在，可设直线 的方程为 ， ， ，联立 ，得，根据韦达定理、斜率公式及直线 与 斜率之积为 ，可得，解得 或 ，将以上结论代入直线方程即可得结果 .试题解析：（1）可知离心率 ，故有 ，又有点 在椭圆 上，代入得 ，解得 ， ，故椭圆 的方程为 .（2）由题意，直线 的斜率存在，可设直线 的方程为， ， ，联立 得 . ， .直线 与 斜率之积为 .而点 ， . .化简得 ， ，化简得 ，解得 或 ，当 时，直线 的方程为直线 与 斜率之积为 ，过定点 .代入判别式大于零中，解得 .当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，不符合题意.故直线 过定点 .21. 已知函数 ， .（1）当 时，求 在
15、点 的切线方程；（2）若对 ， 恒成立，求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）当 时， ， ， ，由点斜式可求出 在点 的切线方程；（2）求出 的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调区间，从而求出 a 的范围试题解析：（1）当 时， ， ， ，故在点 的切线方程为 ，化简得（2） ，则 的定义域为 .若 ，令 ，得极值点 ， ，当 ，即 时，在 上有 ，在 上有 ，在 上有 ，此时 在区间 上是增函数，并且在该区间上有 ，不合题意；当 ，即 时，同理可知， 在区间 上恒有 ， 在区间 上是增函数，有 ，也不合题意；若 ，则有 ，此时在区间 上恒有 ， 在 上是减函数
16、；要使 在此区间上恒成立，只须满足 即可，可得 ，的范围是 .综合可知，当 时，对 ， 恒成立.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 在平面直角坐标系 中，已知曲线 ，以平面直角坐标系 的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 .（1）将曲线 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 倍、2 倍后得到曲线 .试写出直线的直角坐标方程和曲线 的参数方程；（2）在曲线 上求一点 ，使点 到直线的距离最大，并求出此最大值.【答案】(1)直线的直角坐标方程为： .曲线 的参数方程为 （为参数）.(2) ，.【解析】试题分析：
17、（1）利用 ，可得直线的直角坐标方程为： ，利用，可得曲线 的直角坐标方程为： ，进而可得曲线 的参数方程；（2）根据曲线的直角坐标方程，设点 的坐标 ，则点 到直线的距离为 ，利用辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为： .曲线 的直角坐标方程为： ，曲线 的参数方程为 （为参数）.（2）设点 的坐标 ，则点 到直线的距离为：，当 ， 时，点 ，此时 .23. 设函数 ；（1）若 ，且 对任意 恒成立，求实数的取值范围；（2）若 ，且关于 的不等式 有解，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：对问题（1） ，可以先求出函数 的最小值，再根据极端不等式恒成立即可求出实数的取值范围；对于问题（2） ，要使关于 的不等式 有解，那么必然函数 的图象与直线 的图象应该有两个交点，进而可求出实数的取值范围试题解析：（1）由绝对值的性质得： ， 对任意 恒成立， ，解得 ， ， 实数的取值范围是（2 ）当 时，若关于 的不等式 有解，则函数 的图象与直线 有两个交点， ，解得 ，实数的取值范围是考点：1.含绝对值不等式问题；2.极端不等式恒成立.
