1、2018 届广东广州市普通高中高三上学期期末模拟数学试题（四）一、填空题（每题 4 分，共 56 分）1、设复数 (2)17zii（ 为虚数单位） ，则 z .2、 已知 0,且 tan()34，则 .3、过点 (1,)P，且与直线 :10lxy垂直的直线方程是 .4、若集合13 1,2,0AyBx ，则 AB等于 .5、已知 1()fx是函数 2()fx()x 的反函数，则 1(3)f .6、 25(x展开式中 4的系数是 .（用数字作答）7、执行框图，会打印出一列数，这个数列的第 3 项是 .8、若圆锥的侧面展开图是半径为 1cm、圆心角为 180的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 .9、
2、数列 na的通项公式是1(,2)3nna，前 项和为 nS，则 limn .10、已知：条件 A： 2031x，条件 B： xa，如果条件 是条件 B的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 .11、在 AC中，角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，若 22abc，则 osC的最小值等于 .12、 在平面直角坐标系中， (0,)6,8OP，将向量 OP按逆时针旋转 34后得向量 OQ，则点 的坐标是 .13、数列 na满足 1()21nna，则 na的前 60 项和等于 .14、 已知 ()2)(3)fxmx, (2xg，若同时满足条件：对于任意 xR， ()0f或打印 AN 1A3,
3、 N1N 10结束开 始A (1)是否第 7 题图()0gx成立； 存在 (,4)x，使得 ()0fxg成立则 m的取值范围是.二、选择题（每题 5 分，共 20 分）15、设函数 ()sin,fxxR，则下列结论错误的是（ ）A f的值域为 0,1B ()fx是偶函数C ()fx不是周期函数 D f不是单调函数16、下面是关于复数 21zi的四个命题： 2z； 2； z的共轭复数为 1i； z的虚部为 1其中正确的命题（ ）A B C D17、等轴双曲线 C： 22xya与抛物线 216yx的准线交于 ,AB两点， 43，则双曲线 的实轴长等于（ ）A 2B 2C4 D818、某艺校在一天的
4、 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 （ ）A 35B 815C 25D 15三、解答题（本大题共 74 分，解答下列各题需要必要的步骤）19、 （本题 12 分，第 (1)小题 6 分，第(2) 小题 6 分）已知函数 2()=sin2+)si()+cos13fxxx, R.（1 ）求函数 f的最小正周期；（2 ）当 ,4x时，求函数 ()fx的值域以及函数 ()fx的单调区间20、 （本题 14 分，第 (1)小题 6 分，第(2) 小题 8 分）如图，在长方体 1ABCD中, 1AD, E为
5、 C中点（1 ）求证： 11E；（2 ）若 2AB，求二面角 1ABE的大小21、 （本题 14 分，第 (1)小题 6 分，第(2) 小题 8 分）已知数列 na，记 123()nAaa, 2341()nBaa,3452()nCn, ,.)，并且对于任意 N，恒有 0n成立（1 ）若 12,a，且对任意 N，三个数 (,)(AnBC组成等差数列，求数列 na的通项公式；（2 ）证明：数列 n是公比为 q的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN，三个数(),()ABC组成公比为 的等比数列22、 （本题 16 分，第 (1)小题 4 分；第(2) 小题 6 分；第(3)小题 6 分）设函数 (
6、)(,)nnfxbcNbcR.（1 ）当 2,1时，求函数 nfx在区间 1(,2内的零点；（2 ）设 ,nbc ，证明： ()f在区间 ,)内存在唯一的零点；（3 ）设 ，若对任意 12,x，有 212(4fxf ，求 b的取值范围23、 （本题 18 分，第 (1)小题 6 分；第(2) 小题 12 分）如图，椭圆2:1(0)xyEaba 的左焦点为 1F，右焦点为 2，过 1F的直线交椭圆于AB CEDA1 D1B1 C1,AB两点， 2F的周长为 8，且 12AF面积最大时， 12AF为正三角形（1 ）求椭圆 E的方程；（2 ）设动直线 :lykxm与椭圆 E有且只有一个公共点 P，且
7、与直线 4x相交于点 Q试探究： 以 PQ为直径的圆与 x轴的位置关系？ 在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ为直径的圆恒过点 M？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由yxABOF1 F2参考答案一、填空题1、 3+5i 2、 1 3、 +=0xy 4、 -1, 5、 16、 10 7、30 8、 9、 8 10、 -2a11、 2 12、 -2, 13、1830 14、 (4,)二、选择题15、 C 16、 C 17、 C 18、 A三、解答题19、 1(x)=sin2+coxf（ ） =2sin(+)4 T（2 ）因为 34， ，所以 2si(x),1 ,所以 (x)1,2f 函
8、数的增区间为 8， ，减区间为 84， 20、（1 ）方法一、以 A 为坐标原点，以 AB、AD 、AA 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设ABa，则 1,12aE， 1(0,)AD. 所以 , 1110,DB。另解： 1为正方形，所以 11， 111ADBCC面 A。 111BEACE又 面。（2 ）因为 2,0,0，所以取面 AB1E 的一个法向量为 1=-2n，同理可取面 A1B1E 一个法向量为 2=0,1n， 设二面角 A-B1E-A1 为 ，则 123cos， =6所 以 即二面角 A-B1E-A1 的大小为 6. 21、解：（1） 2B(n)=A+C()
9、 *+21-4,Nna，所以 na为等差数列。*=4-3,nNa （2 ） （必要性）若数列 na是公比为 q 的等比数列，则 23+11(n)=naBqA ，34+221(n)=naCB ，所以 A(n)、B(n)、C(n)组成公比为 q 的等比数列。（充分性）：若对于任意 N，三个数 (),()AnBC组成公比为 的等比数列，则 (),()nqAnqB，于是 (),C得 21(),nnaqa即2121.naa由 1有 (),A即 21，从而 210nqa.因为 0n，所以 21nq，故数列 na是首项为 1，公比为 的等比数列。综上，数列 na是公比为 q 的等比数列的充要条件是对任意的
10、*nN，都有 A(n)、B(n)、C(n)组成公比为 q 的等比数列。22、解：（1） 2(x)=+-1f，令 2(x)=0f，得 -152，所以 2 -+()(,)f在 区 间 内 的 零 点 是 。（2 ）证明：因为 n1f。所以 n1()2fn0f。所以 n(x)f在 12， 内存在零点。 121211212x(,)x-x=-+(-任 取 、 且 ， 则 ，所以 n()f在 ， 内单调递增，所以 n)f在 ， 内存在唯一零点。（3）当 n2 时，f 2(x)x 2bxc .对任意 x1，x 21,1都有|f 2(x1)f 2(x2)|4 等价于 f2(x)在 1,1上的最大值与最小值之差
11、 M4.据此分类讨论如下：当 |b，即|b| 2 时，M| f2(1)f 2(1)|2|b| 4，与题设矛盾。当1 0，即 0b2 时，Mf 2(1)f 2( )( 1) 24 恒成立 当 0 21，即2b0 时，Mf 2(1) f 2( )( b1) 24 恒成立 综上可知，2b2.注：，也可合并证明如下：用 maxa，b表示 a，b 中的较大者当1 2b1，即2b2 时，Mmaxf 2(1)，f 2(1)f 2( b) 2()|()1|()ffffb1c|b| (24c )(1 2)24 恒成立23、解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以 ,=,A（ 0b） a2c48 2=,3ba，椭圆 E 的方程为2+=143xy（2 ） 由 2143ykxm，得方程 22()8410kxkm由直线与椭圆相切得 20,430. 求得 (,)kPm， ()Qk， P中点到 x轴距离 223()dkm 22211)dm。所以圆与 x轴相交。 （2 ） 假设平面内存在定点 M满足条件，由对称性知点 M在 x轴上，设点 坐标为 1(,0)Mx，1143(,)(4,)kMPQxkm。由 0得 2(30所以 211430xx，即 1x所以定点为 (,)。
