1、无锡市普通高中 2017 年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1.已知集合 ， ，若 ，则实数 1,3A,2BmABm2.若复数 （ ， 为虚数单位）是纯虚数，则实数 2aiRi a3.某高中共有学生 2800 人，其中高一年级 960 人，高三年级 900 人，现采用分层抽样的方法，抽取 140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 4.已知 ，直线 ， ，则直线 的概率为 ,12,3456ab1:20lxy2:30laxby12l5.根据如图所示的伪代码，当输入 的值为 3 时，最后输出
2、的 的值为 aS6.直三棱柱 中，已知 ， ， ， ，若三棱柱的所有顶点都在1ABCABC34B15A同一球面上，则该球的表面积为 7.已知变量 满足 ，目标函数 的最小值为 5，则 的值为 ,xy24yc3zxyc8.函数 的图像向右平移 个单位后，与函数 的图像重合，则cos(2)0)2sin(2)3yx9.已知等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则 的最大值为 na253a457a12naa 10.过圆 内一点 作两条相互垂直的弦 和 ，且 ，则四边形 的216xy(,)PABCDACBD面积为 11.已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，离心率互为倒数，设 分2:1(0,)xyCab2
3、16xy12,F别为双曲线 的左，右焦点， 为右支上任意一点，则 的最小值为 P21PF12.在平行四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 为平面 内一ABD4A3MDCNABCD点，若 ，则 |NMN13.已知函数 ， .若存在 ，使得 ，()fx2121,2log(),x2()gxxaR()0fagb则实数 的取值范围是 b14.若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 2()|fxxa1,2a二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图， 是菱形， 平面 ， ， .ABCDEABCD/FE2AF（1 ）求证： 平面 ；ACB
4、DE（2 ）求证： 平面 ./F16.在 中，角 的对边分别为 ， ， .,abc3os4A2C（1 ）求 的值；cos（2 ）若 ，求 的周长.4aABC17.如图，点 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 为海岸线， ， ， 是BD3ABDABC以 为圆心，半径为 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 通往海岸的观光专线 ，其中 为A1kmCPQ上异于 的一点， 与 平行，设 .BC,PQABP（1 ）证明：观光专线 的总长度随 的增大而减小；ACPQ（2 ）已知新建道路 的单位成本是翻新道路 的单位成本的 2 倍.当 取何值时，观光专线ACP的修建总成本最低？请说明理由.ACPQ18.已知椭圆
5、的离心率为 ， 分别为左，右焦点， 分别为左，右2:1(0,)xyEab212,F,AB顶点，原点 到直线 的距离为 .设点 在第一象限，且 轴，连接 交椭圆于点 .OBD63PPBxPC（1 ）求椭圆 的方程；E（2 ）若三角形 的面积等于四边形 的面积，求直线 的方程；ABCOBPCPA（3 ）求过点 的圆方程（结果用 表示）.,Pt19.已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项的和.na121()()naa *NnSna（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）若 ， ， 成等差数列， ，18， 成等比数列，求正整数 的值；pa30qSpqS,pq（3 ）是否存在 ，使得 为数列 中的项？若
6、存在，求出所有满足条件的 的值；若*kN16kana k不存在，请说明理由.20.已知函数 ， ，其中 .()32)xfe(2)gx,xR（1 ）求过点 和函数 的图像相切的直线方程；2,0yf（2 ）若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围；xR()xa（3 ）若存在唯一的整数 ，使得 ，求 的取值范围.000()fgx数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 ，若矩阵 属于特征值 的一个特征向量为 ，属于特征值 的一个特34AabA1122征向量为 .求矩阵 .2322.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线 的参
7、数方程是 （ 是参数） ，以原点为极点， 轴的正半xOyl123xtymt x轴为极轴建立极坐标系，若圆 的极坐标方程是 ，且直线 与圆 相交，求实数 的取值范围.C4sinlCm23.某公司有 四辆汽车，其中 车的车牌尾号为 0， 两辆车的车牌尾号为 6， 车的车牌,ABDA,BD尾号为 5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知 两辆汽车每天出车的概率为 ，AD34两辆汽车每天出车的概率为 ，且四辆汽车是否出车是相互独立的.,C12该公司所在地区汽车限行规定如下：（1 ）求该公司在星期四至少有 2 辆汽车出车的概率；（2 ）设 表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求
8、的分布列和数学期望. 24.在四棱锥 中， 是等边三角形，底面 是直角梯形，PABCDPABCD， ， 是线段 的中点， 底面 ，已知 .90/EABPE2ABC（1 ）求二面角 的正弦值；PCDAB（2 ）试在平面 上找一点 ，使得 平面 . MEPCD试卷答案一、填空题1.3 2.6 3.47 4. 5.21 6. 12507.5 8. 9.1024 10.19 11.8 12.6 613. 14. (2,0)7(,1,)2二、简答题（本大题共 6 小题，共 90 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.解：（1）证明：因为 平面 ，所以 .DEABCDEAC因为 是菱形，所
9、以 ，ABC因为 DE所以 平面 .ACBDE（2 ）证明：设 ，取 中点 ，连结 ，OBG,FO所以， 且 .1/2OG12因为 ， ，所以 且 ，AFEAF/A从而四边形 是平行四边形， .因为 平面 ， 平面 ，BBE所以 平面 ，即 平面 ./O/C16.解：（1）因为 ，3cos4A所以 2cs1C.23()48在 中，因为 ，所以 ，AB3cos4A7sin4A因为 ，所以 ，1cos8C213in()8所以 .9()sicos16BABA（2 ）根据正弦定理 ，所以 ，iniaC23a又 ，所以 ， .4ac6c， .22os25bBb所以 的周长为 15.AC17.解：（1）由
10、题意， ，所以 ，3APA3CP又 ，cos1sPQAB所以观光专线的总长度， ，()s3fcos1303因为当 时， ，0()inf所以 在 上单调递减，()f,即观光专线 的总长度随 的增大而减小.ACPQ（2 ）设翻新道路的单位成本为 ，(0)a则总成本 ， ，()2cos3ga(2cos)303，1sin令 ，得 ，因为 ，所以 ，()02036当 时， ，当 时， .6()g6()0g所以，当 时， 最小.答：当 时，观光专线 的修建总成本最低.ACPQ18.解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，2:1(0)xyEab2所以 ， ，2acb所以直线 的方程为 ，DB2yxb又 到直线 的
11、距离为 ，所以 ，O636312所以 ， ，1b2a所以椭圆 的方程为 .E21xy（2 ）设 ， ，(,)Pt0直线 的方程为 ，PA(2)tyx由 ，整理得 ，21(2)xty22(4)80txt解得： ，则点 的坐标是 ，24CtxC24(,)t因为三角形 的面积等于四边形 的面积，所以三角形 的面积等于三角形 的面积，ABOBPAOCBPC，2214OCttS，322()4PBttt则 ，解得 .324ttt所以直线 的方程为 .PA20xy（3 ）因为 ， ， ，(,0)B(,)t244(,)tC所以 的垂直平分线 ，2y的垂直平分线为 ，C4ttx所以过 三点的圆的圆心为 ，,BP
12、28(,)tt则过 三点的圆方程为 ，,C222()()4ttxy42()tt即所求圆方程为 .228txy280t19.解：（1）因为 ， ，121()()naa *N所以当 时， ， ，n11当 时，2由 和 ，12()a ()na121()()naa两式相除可得， ，即1n1()n所以，数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列.a于是， . 1n（2）因为 ，30， 成等差数列， ，18 ， 成等比数列，pqSpaqS所以 ，于是 ，或 .26018qpa654pq546q当 时， ，解得 ，54qS(3)29当 时， ，无正整数解， 6pqa154()6q所以 ， .59（3 ）假设
13、存在满足条件的正整数 ，使得 ，k*16()kmaN则 ，(1)261km平方并化简得， ，22()(3)6mk则 ，(251k所以 ，或 ，或 ，625213k25917mk解得： ， 或 ， ， ， （舍去） ，15m4k综上所述， 或 14.320.（1）设切点为 ， ，则切线斜率为 ，0(,)xy(31)xfe0(31)xe所以切线方程为 ，因为切线过 ，00)2,)所以 ，00(32)(312xxeex化简得 ，解得 .0808,当 时，切线方程为 ，xyx当 时，切线方程为 .03883391e（2 ）由题意，对任意 有 恒成立，xR(2)()xax当 时， ，(,2)xmax33
14、eea令 ，则 ，令 得 ，3()xeF2(8)xF()0F，故此时 . max()01F1a当 时，恒成立，故此时 .2R当 时， ，(,)xmin(32)(32)xxee令 ，80F，故此时 .综上： .83min()9Fxe839ae8319ae（3 ）因为 ，即 ，()fgx(2)()xx由（2）知 ，83,19,ae令 ，则(2)xeF当 ，存在唯一的整数 使得 ，(,2)x0x00()fgx等价于 存在唯一的整数 成立，3xea0因为 最大， ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，(0)1F5()3e1()Fe53ae所以 .5,3ae当 ，存在唯一的整数 使得 ，(2)x0x00
15、()fgx等价于 存在唯一的整数 成立，xa0因为 最小，且 ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，83()9Fe3()7Fe4()5e45ae所以当 时，没有整数成立，所有 .37a34,a综上： .345,1)(,e数学（附加题）21.解：由矩阵 属于特征值 的一个特征向量为 可得，A112，即 ；1342ab1382ab得 ，0由矩阵 属于特征值 的一个特征向量为 ，A223可得 ，即 ；234ab3261ab得 ，29解得 .即 ， 1b421A22.解：由 ，得 ，所以 ，4sinsin24xy即圆 的方程为 ，C22()4xy又由 ，消 ，得 ，132tymt30xym由直线 与圆
16、 相交，lC所以 ，即 .|623.解：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件 ，A则 ：该公司在星期四最多有一辆汽车出车A.2()()4P1223()4C129()46 .56答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为 .5（2 ）由题意， 的可能值为 0，1，2 ，3， 4；21(0)()46P；22(C121()48；21()()4P2123()()C341()2；2328.9()()6.1395()248862E答： 的数学期望为 .524.解：（1）因为 底面 ，过 作 ，则 ，PEABCDE/SBCESA以 为坐标原点， 方向为 轴的正半轴，Ex方向为 轴的正半轴， 方向为 轴的正半轴建立空间直角坐标系，Syz则 ， ， ， ，(0,)(1,0)B(,)(1,0)A， ，,2D3P，()C(,)C设平面 的法向量为 ，则 ，nxyz20nCDxy，解得 ，又平面 的法向量为 ，30nPxyz=(1,3)AB(0,1)m所以 ，6cos, 4|mn所以 .10i,4（2 ）设 点的坐标为 ，因为 平面 ，M1(,)xyzEMPCD所以 ，即 ，也即 ， ，/En2312yx13z又 ， ， ，1(,)Pxyz(,)PD(,)P所以 ，MC23所以得 ， ，即 ，1x11()yx9， ，所以 ，133z126所以 点的坐标为 .M5(,)6
