1、2018 届山东省泰安市高三上学期期末考试数学理试题（解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ， ， ，则集合 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可知故选 D2. 等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设公差为 ，由 可得 ，则故选 B3. 已知 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C故选 C4. 下列命题中正确的是（ ）A. 命题“ ，使 ”的否定为“ ，都有 ”B. 若命题 为假命题，命题 为真命题，则
2、为假命题C. 命题“若与 的夹角为锐角，则 ”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则 ”【答案】D【解析】 选择 A：命题“ ，使 ”的否定为“ ，都有 ”；选项 B： 为真命题； 选项 C：“若 ，则与 的夹角为锐角”原命题为假命题，逆命题为真命题，故选 D5. 有两条不同的直线 、 与两个不同的平面 、 ，下列命题正确的是（ ）A. ， ，且 ，则 B. ， ，且 ，则C. ， ，且 ，则 D. ， ，且 ，则【答案】A【解析】对于 ，由 ， ，且 得 ，故正确；对于 ，由 得 故错误；对于 ，由 ， ，且 ，得 或 相交或异面，故错误；对于 ，由 ，
3、 ，且 得 得关系可以垂直，相交，平行，故错误.故选 A6. 设不等式组 表示的平面区域为 ，若直线 上存在 内的点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】满足不等式组的可行域如图所示阴影部分满足不等式组的平面区域 ，联立 解得点联立 解得点直线 恒过点观察图像可知，当直线 在 和 之间时，才会存在 内的点故选 A点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 将
4、函数 的图象向右平移 个单位长度，若所得图象过点 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】移动后 经过点 ，则 ，解之得 或， 或 最小值为故选 C点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数 的图像向左平移 个单位长度，则所得图像对应的解析式为 ，遵循“左加右减” ；（2）把函数 图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍（ ） ，那么所得图像对应的解析式为 .8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】几何体为一个半圆柱与一个三棱锥的组合体，其中半圆柱底
5、面为半径为 2 的半圆，高为 4，三棱锥的高为 2，底面为底边长为 4 的等腰直角三角形，因此体积为 ，选 A.9. 函数 ， 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 可得函数 为奇函数，图像关于原点对称，可排除 时，故选 C10. 已知函数， （其中为自然对数底数）在 取得极大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可知当 时，若 ，则 ，若 ，则 在 处取极小值，不符合题意当 时，令 ，得 或为使 在 处取极大值，则 ，即故选 D11. 已知双曲线 ： ，圆 ： ，若双曲线 的一条渐近线与圆 有两个不同的交点，则双曲线 的离心率的范围
6、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】双曲线 的渐近线方程为 即 ，圆 可化简为 ，圆心为 ，半径为双曲线 的一条渐近线与圆 有两个不同的交点 ，即则 ，即双曲线 的离心率双曲线的离心率范围为故选 A点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 定义在 上的函数 ，满足 ，且当 时， ，若函数 在 上有零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ，则 ，因为 且当 时，所以 ，则 ，在坐标系中画出函数
7、的图 象如图：因为函数 与 轴有交点，所以直线 与函数 的图象有交点，由图得,直线 与 的图象相交于点 ，即有 ，由图象可得,实数的取值范围是： 故选：B.【点睛】本题考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，数形结合思想，分段函数，属于中档题，解决本题的重点是根据函数的性质 求出函数的解析式，再利用数形结合的思想即可得出的范围，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化.第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填写在答题卡相应的横线上.13. 若抛物线 上的点 到焦点的距离为 10，则 到 轴的距离是_.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为
8、 ，准线方程为抛物线 上的点 到焦点的距离为 10点 到 轴的距离是故答案为 914. 已知 ，则 =_.【答案】【解析】 ，则 ，故选答案为 .15. 如图所示，在平行四边形 中， ，垂足为 ，且 ，则 =_.【答案】2【解析】如图，延长 ，过 作延长线的垂线 ，所以 在 的方向投影为 ，又 ，所以 。点睛：本题中采用向量数量积的几何意义解题，作出 在 的方向投影 ，由 为 中点，可知，所以根据数量积的几何意义可知， 。16. 观察下列各式： ， ， ， ， ，则 =_.【答案】199【解析】通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，因此故答案为 199点睛：
9、归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量 ， ，函数 .（1）求 的单调递增区间；（2）在 中， ， ，是角 ， ， 的对边，若 ， ， ，求 面积的最大值.【答案】(1) 单调增区间为 ，
10、(2) 【解析】试题分析：(1)由三角函数恒等变换应用化简函数解析式可得 ，由， ，可解得 的单调递增区间；（2）由 ， 可得 ，再由余弦定理得出 的范围，即可求出 面积的最大值. 试题解析：（1）由题意得： ，令 ， ，整理得： ， ，函数 的单调增区间为 ， .（2）由题意得： ， ， ， ， ， ，由余弦定理可得： ，又 ， ， ， 面积的最大值为 .18. 已知数列 满足 ， ，若 为等比数列 .（1）证明数列 为递增数列；（2）求数列 的前 项和为 .【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）设数列 公比为 ，由 ， ，可得 ，从而得到数列 的通项公式，再根据当 时， 可得
11、数列 为递增数列；（2）令 ，根据数列的性质，利用裂项相消法即可求出 .试题解析：（1）设数列 公比为 ，则 ，又 ， ， .当 时， ，数列 为递增数列.（2）由题意得：令 ， .点睛：本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19. 如图，在三棱柱 中，四边形 是矩形， ，平面 平面 .（1）求证： ；（2）若 ， ， ，求二面角
12、 的余弦值.【答案】(1) 见解析(2) 【解析】试题分析：（1）由 ， ，可推出 ，再由四边形 是矩形可得，从而可证 平面 ，设 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，连接 ，可证平面 ，结合平面 平面 即可证明 ；（2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，求得平面 的法向量与平面 的法向量，利用向量的夹角公式即可得出余弦值 .试题解析：（1）在三棱柱 中，又 四边形 是矩形，平面设 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，连接与 均是平行四边形， 平面，面又平面 平面面（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由（1）及题设可知， 是菱形， ， ，设平面 的法向量，即解得： 又由（1）可知
13、： 平面平面 的法向量二面角 的余弦值为点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角20. 已知椭圆 ： 经过点 ，焦距为 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，线段 的垂直平分线交 轴交于点 ，若，求 的值.【答案】(1) (2) 或 .【解析】试题分析：（1）根据题意可知 ，将点 带入椭
14、圆方程后联立方程组即可求得 ，即可得到椭圆得标准方程；(2) 设 ，线段 中点坐标 ，由 整理得：，结合韦达定理，线段 的中点 坐标，由 可得点 坐标，再由线段 的垂直平分线交 轴交于点 及 ，求得 ，从而求出 的值.试题解析：（1）由题意得 ，所以 ，又点 在椭圆上，所以： ，整理得： ，解得： 或 （舍） ， ，椭圆的标准方程为： .（2）设 ，线段 中点坐标 ，由 整理得： ， ， ，又 ， ， ， ，线段 的中点 坐标为又 ， ，又 ， ，点 坐标为 ， ， 垂直平分 ， ，又 ，解得 或 （舍） ，在 中， ， ， ， 或 .21. .已知函数 .（1）求过点 的 图象的切线方程；（
15、2）若函数 存在两个极值点 ， ，求 的取值范围；（3）当 时，均有 恒成立，求的取值范围.【答案】(1) (2) （3） 【解析】试题分析：（1）设切点坐标为 ，则切线方程为 ，根据点 坐标，即可求出 ，从而得到切线方程；（2）对 求导，令 ，要使 存在两个极值点 ， ，则方程有两个不相等的正数根，从而只需满足 即可；（3）由 在上恒成立可得 在 上恒成立，令 ，求出 的单调性，可得出 的最大值，即可求得的取值范围.试题解析：（1）由题意得，函数 的定义域为 ，设切点坐标为 ，则切线方程为 把点 代入切线方程，得： ，过点 的切线方程为： （2）令要使 存在两个极值点 ， ，则方程 有两个不
16、相等的正数根.又 ， .故只需满足 即可解得：（3）由于 在 上恒成立. 在 上恒成立.令则当 时，令 ，则在 上单调递增又 ，存在 便得 ，即 ，故当 时， ，此时当时 ， 此时 .故函数 在 上递增，在 上递减从而：令 ，则在上 单调递增，故 .点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，即若 或恒成立，只需满足 或 即可，然后利用导数方法求出 的最小值或 的最大值，从而问题得解22. 选修 4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，直线的参数方程为 （为参数） ，以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 和直
17、线的极坐标方程；（2）若圆 与直线交于 、 两点，求 的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由 可得圆 的极坐标方程及直线的极坐标方程；（2）联立直线与圆 的极坐标方程，结合韦达定理，即可求出 .试题解析：（1）由题意，圆的标准方程可整理为： ，又 ，圆 的极坐标方程为 ，直线的参数方程可化普通方程为： ，即：直线的极坐标方程为 .（2）把 代入 ，整理得： ， ， .23. 选修 4-5：不等式选讲.设函数 .（1）当 时，求 的解集；（2）证明： .【答案】(1) (2) 见解析【解析】试题分析：(1)由 ，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；(2) 使用绝对值不等式消去 ，利用基本不等式证明试题解析：（1）当 时， ，当 时， ，当 ，解得 ，当 时， ，满足 ，当 时， ，由 ，解得 ，综上所述，当 时， 的解集为 .（2）证明：原式得证.
