1、2018 届山东省桓台第二中学高三 4 月月考数学（理）试题（解析版）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以 ，选 B.2. 已知集合 ， ,若 ，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ,又 ，所以 ，因此 ，选 C.3. 已知等比数列 满足 ， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以 ，选A.4. 直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解
2、析】设圆心 到直线 的距离为 ，则根据点到直线距离有 ，由直线与圆相交弦长公式 ，所以 ，解不等式 得 ，所以 ，故选择 B.5. 下列四个结论中错误的个数是若 ，则“命题 和命题 都是假命题”是“命题 是假命题”的充分不必要条件若平面 内存在一条直线垂直于平面 内无数条直线，则平面 与平面 垂直已知数据 的方差为 ，若数据 的方差为 则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以 ，选 B.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为 2，母线长为 4，左右
3、为边长是 4 的正方形。该几何体的表面积为 244+224+2(4422)=64+8=8(+8).本题选择 B 选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和7. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，若 ，且 ，则实数的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量 与 的夹角为 ，且 ， ， ，且 ，即 ，
4、，解得 ，故选 C.8. 某程序框图如右图所示，运行该程序输出的 值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】执行循环得： 结束循环，输出 选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由约束条件 作出可行域如图，直线 过定点 ，由 得 ， 得 ，题意等价于直线 和可行域有交点， ， ，实数 的取值范围是 ，故选
5、B.点睛：本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值，题意灵活，还考查了数形结合的思想，属中档题；做出不等式组对应的可行域，由于直线过定点，由图结合两点求斜率公式求得临界位置 、 的斜率得答案. . . . . . . .10. 已知函数 的导函数为 ，且满足 当 时， ；若，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】令 ， ，当 时， ， 在 递减，而 ， ， ， 是奇函数， 在 递减，若，则 ， ， ，即 ，故选 C.第卷(共 100 分)二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11. 在区间 上随机选取两个数 和 ，则
6、满足 的概率为_【答案】【解析】概率为几何概型，如图，满足 的概率为 12. 观察下列各式： ， ， ， ，由此推得：_【答案】 【解析】因为 , , ,所以 =13. 个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 人，则不同的站法种数为 _【答案】【解析】分为 3 步：将甲乙 2 人排成一列，有 种情况；在其他 4 人中任选 2 人，安排在甲乙之间，有 种情况； 将 4 人看成一个整体，与剩余 2 人全排列，有 种情况，则不同的站法共有 种，故答案为 144.14. 已知 ，若 ，则 的最小值是 _【答案】【解析】因为 ，所以 因此 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值是 . 15. 设双曲线 的右焦
7、点是 ，左、右顶点分别是 ，过 做 轴的垂线交双曲线于两点，若 ，则双曲线的离心率为 _【答案】【解析】由题意得 ，因为 ，所以 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16. 如图，在 中， 是边 的中点， , （）求角 的大小；（）若角 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积【答案】() ；() .【解析】试题分析：（）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为和与差正切公式求解即可；（）利用
8、余弦定理求解出 ，再结合三角形面积公式即可求得 的面积.试题解析：（）由 ，得 ，所以又所以又 ，所以（）由（）知 ，且 所以， ，则设 ，则在 中由余弦定理得 ，即 解得故 17. 如图，已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两垂直， 为等边三角形， 为 内部一点，点 在 的延长线上，且 （）证明： ；（）证明： ；（）若 ，求二面角 的余弦值【答案】()证明见解析；()证明见解析；() .【解析】试题分析：（）由已知条件利用勾股定理得 ， ，得进行证明；（）取 的中点 ，连接 、 ，通过证明 平面 来证得结论；（）以 、 、 所在的直线分别为 、 、轴建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量
9、与平面 的一个法向量的夹角的余弦值，结合图形即可得结论试题解析：（）因为 ， ， 两两垂直，所以 ，又 为等边三角形，所以 ，故（）取 的中点 ，连接 、因为 ， ，所以，所以 平面所以（）如图建立空间坐标系因为 ，可设 ,则由（）同理可得因为 ，所以 所以 设 （ ）所以 ，所以平面 的法向量为设平面 的法向量为 则取 则 所以 ，18. 在标有“甲” 的袋中有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同（）若从袋中依次取出 个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（）现从甲袋中取出个 红球， 个白球，装入标有“乙”的空袋若从甲袋中任取 球，乙袋中任取 球，记取出的红球的个数
10、为 ，求 的分布列和数学期望 【答案】() ；()答案见解析 .【解析】试题分析：（）利用条件概率公式 计算所求的概率值；（）由题意知 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量 的分布列，计算数学期望值试题解析：（）记“第一次取到红球”为事件 ，“后两次均取到白球”为事件 ，则 ，所以， “第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率 ”（） 的所有可能取值为 ， ， 的分布列为：.19. 已知数列 和 满足 若 是各项为正数的等比数列，且 ， （）求 与 ；（）设 ，记数列 的前 项和为 求 ；求正整数 ，使得对任意 ，均有 【答案】() ， ；(). ；. .【解析】试题分析：（）
11、由题意 ， ，知 又由 ，得公比 ，可得列的通项，进而得到数列 的通项；（）由（）知 ，利用等比数列的求和公式、裂项求和方法即可得出；因为 ；当 时， ，作差即可得出单调性.试题解析：（）由题意 ，知 又由 ，得公比 （ ，舍去）所以数列 的通项为所以故数列 的通项为（）由（）知所以因为 ；当 时，而 得所以，当 时， ；综上，对任意 恒有 ，故点睛：本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等
12、.20. 已知抛物线 ，点 与抛物线 的焦点 关于原点对称，过点 且斜率为 的直线与抛物线 交于不同两点 ，线段 的中点为 ，直线 与抛物线 交于两点 （）判断是否存在实数 使得四边形 为平行四边形若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；（）求 的取值范围【答案】()答案见解析；() .【解析】试题分析：（）设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得 点坐标，求得直线 的方程，代入抛物线方程，若四边形 为平行四边形，当且仅当 ，即，求得 的值，结合 ，故不存在 使得四边形 为平行四边形；（）计算出，根据 的取值范围，即可求得 的取值范围试题解析：（）设直线的方程为 ，设 联立
13、方程组 ，得 显然 ，且 ，即 ，得 且 得 ， 直线 的方程为： ，联立方程组 ，得 ，得 ，若四边形 为平行四边形，当且仅当 ，即 ，得 ，与 且 矛盾故不存在实数 使得四边形 为平行四边形（）由 且 ，得 ；当 ， 取得最小值 ；当 时， 取 ；当 时， 取 ；所以21. 已知 ，函数 （ 是自然对数的底数） （）若 ，证明：曲线 没有经过点 的切线；（）若函数 在其定义域上不单调，求的取值范围；（）是否存在正整数 ，当 时，函数 的图象在 轴的上方，若存在，求 的值；若不存在，说明理由【答案】()证明见解析；() ；()答案见解析.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，求出切线方程，化
14、简得： ，令，根据函数的单调性判断方程 无解，从而证明结论即可；（）分离参数，得 ，令 （ ） ，根据函数的单调性求出参数的范围即可；（ ）问题等价于，令 ，根据函数的单调性求出 的最小值，从而证明结论即可；试题解析：（）因为 ，所以 ，此时 ，设曲线 在点 处的切线经过点则曲线 在点 处的切线所以化简得：令 ，则 ，所以当 时， ， 为减函数，当 时， ， 为增函数，所以 ，所以 无解所以曲线 的切线都不经过点（）函数的定义域为 ，因为 ，所以 在定义域上不单调，等价于 有变号零点，令 ，得 ，令 （ ）因为 ，令 ， ，所以 是 上的减函数，又 ，故 是 的唯一零点，当 ， ， ， 递增；
15、当 ， ， ， 递减；故当 时， 取得极大值且为最大值 ，所以 ，即的取值范围是（）函数 的图象在 轴的上方，即对任意 ， 恒成立令 （ ），所以（1）当 时， ，即当 时， ， 是减函数，所以 ；当 时， ，令 ，则 ，所以 是增函数，所以当 时， ，即所以 在 上是增函数，所以 ，当 时，取 ，且使 ，即 ，则 ，因为 ，故 存在唯一零点 ，即 有唯一的极值点且为最小值点所以 ，又 ，即 ，故 ，设 ，因为 ，所以 是 上的减函数，所以 ，即所以当 时，对任意 ， 恒成立（2）当 时， ，因为 ，取 ，则 ， ，所以 不恒成立，综上所述，存在正整数 满足要求，即当 时，函数 的图象在 轴的上方点睛：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题；导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，函数 的图象在 轴的上方即等价于 恒成立问题，再将恒成立问题转化为利用导数判断单调性求最值问题.
