1、2018 届安徽省亳州市第一学期期末高三质量检测数学（理） （解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选 B。2. 已知复数 （为虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】 ，所以 ，故选 A。3. 已知 是第二象限角， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D则 ，故选 D。4. 已知 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数 ，若 ，则 （ ）A. 0 B. 2 C. -2 D. 4【答案】A【解
2、析】 ，所以 是奇函数，所以 ，故选 A。5. 执行下面的程序框图，则输出的第 1 个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】 ，则 ，所以 ，则 ，所以 ，则，所以 ，则 ，则输出 。故选 C。6. 下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令圆的半径为 1，则 ，故选 C。7. 由函数 的图像 变换得到函数 的图像 ，则下列变换过程正确的是（ ）A. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线
3、向右平移 个单位长度，得到曲线B. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C. 把 向右平移 个单位长度 ，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍， 纵坐标不变，得到曲线D. 把 向右平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变，得到曲线【答案】D【解析】 ，所以变换过程是：先向右平移 个单位长度，在将各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到。故选 D。8. 经过双曲线 的左焦点作倾斜角为 的直线， 若交双曲线 的左支于 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案
4、】B【解析】由题意， ，得 ，所以 ，即离心率的范围是 ，故选 B。9. 如下图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选 A。10. 的展开式中常数项是（ ）A. -15 B. 5 C. 10 D. 15【答案】B【解析】 二项式的展开通项为，当 时，有 ；当 时， 有 ；当 时，有 ，所以，常数项为 ，故选 B。点睛：本题考查二项式定理的应用。本题中的二项式形式较为复杂，为两式相乘的形式，一般的，将简单的一项直接展开，得 ，之后只需分别求解对应项的系数即可。11. 椭圆 的两个焦点为 ，椭圆上两
5、动点 总使 为平行四边形， 若平行四边形 的周长和最大面积分别为 8 和 ，则椭圆的标准方程可能为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由周长为 8，可知 ，由最大面积为 ，可知 ，所以椭圆方程可以是 ，故选 C。点睛：本题考查椭圆的性质应用。本题中的平行四边形的基本型是焦点三角形，考查焦点三角形相关特征的应用，得 ， ，利用 即可解得标准方程。12. 已知函数 ，若 存在四个互不相等的实数根 ，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 ，则 ，由题意， 有两个不同的解， 有两个不相等的实根，由图可知， 得 或 ，所以 和 各有两个解。当 有两个解时，则
6、 ，当 有两个解时，则 或 ，综上，的取值范围是 ，故选 D。第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答题卡的相应位置13. 已知实数 满足 ，则 的最小值为_【答案】-2【解析】由图，可知过点 时，由最小值 。14. 已知平面向量 满足 ， ，若 的夹角为 ，则 _【答案】3【解析】 ，得 ，所以 。15. 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则角_【答案】【解析】 ，得 ，所以 ，所以 。16. 某产品包装公司要生产一种容积为 的圆柱形饮料罐（上下都有底） ，一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的 3 倍，若不考虑饮料罐的厚度，欲使这种饮料罐的造价最低，则这种饮料
7、罐的底面半径是_【答案】【解析】 ，则 ， ，所以 ，所以 在 单调递减， 单调递增，所以当 时，造价最低。点睛：本题考查导数的实际应用。本题中首先根据题目， 得到造价的函数方程，则通过求导来判断造价的最小值，通过求导分析，得到 的单调性情况，解得答案。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 的前 项和 满足 ，其中是不为零的常数， （）求 的通项公式；（）若 ，记 ，求数列 的前 项和 【答案】 （） （） 【解析】试题分析：（1）由已知 可得： ，两式相减化简得 ；（2） ，所以 ，得 。试题解析：（）由已知 可得：两式相减得： ，即 是首项为， 公比为 3
8、 的等比数列，从而（）因为 ，所以 ，从而点睛：本题考查数列基本型的综合应用。首先考查 型求通项的公式 应用，求解通项；然后考察裂项相消求和，需要对裂项基本型要熟悉： ，解得答案。18. 某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动，凡购物满 100 元可抽奖一次，满 200 元可抽奖两次依此类推抽奖箱中有 7 个白球和 3 个红球，其中 3 个红球上分别标有 10 元，10 元，20 元字样 每次抽奖要从抽奖箱中有放回地任摸一个球，若摸到红球，根据球上标注金额奖励现金；若摸到白球，没有任何奖励（）一次抽奖中，已知摸中了红球，求获得 20 元奖励的概率；（）小明有两次抽奖机会，用 表示他两次抽奖获得的现金
9、总额， 写出 的分布列与数学期望【答案】 （） （）【解析】试题分析：（1） ；（2） 的可能取值为 0,10,20,30,40，写出分布列，求出期望。试题解析：（）设事件 ，事件则所求概率为（） 的可能取值为 0,10,20,30,40 的分布列为所以， 19. 如图，多面体 中， 是正方形， 是梯形， ， ， 平面 且， 分别为棱 的中点（）求证：平面 平面 ；（）求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值【答案】 （）见解析（）【解析】试题分析：（1）通过证明 平面 ，所以平面 平面 （2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，求二面角的余弦值。试题解析：（） ， 是正方形 分别为棱
10、 的中点 平面 ， 平面 从而 ， 是 中点 平面又 平面所以，平面 平面 （）由已知， 两两垂直，如图， 建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， ，平面 的一个法向量为 ，由 得 令 ，则由（）可知 平面平面 的一个法向量为设平面 和平面 所成锐二面角为，则所以，平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 20. 已知抛物线 与过点 的直线交于 两点，且总有 （）确定 与的数量关系 ；（）若 ，求的取值范围【答案】 （） （）【解析】试题分析：（1）设 ，由 ， ，由 得： ，解得 （2）由题意， ， ，所以 。试题解析：（）设 ， ，由 消去 得： ，由 得： 即 （）由（）可计算： 点
11、睛：本题考查直线和抛物线的位置关系。解析几何题型涉及到线段长，一般直接应用弦长公式，本题中首先设定目标直线，联立方程组，求得得到 ，利用函数求值域，由 ，解得。21. 已知 （）讨论 的单调性；（）若在定义域内总存在 使 成立， 求的最小值【答案】 （）见解析（）的最小值是 【解析】试题分析：（1） 定义域为 ， ，分类讨论得到单调性情况；（2）分参得到 恒成立，令 ，求导得到 在 上单调减，在 上单调增，所以，得 。试题解析：（） 定义域为 ，当 时，由 解得： ，由 解得： 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时 ，由 解得： 或 ，由 解得： 在 上单调递减 ，在 和 上单调递增；当 时
12、， （仅在 时等号成立） 在 上单调递增；当 时，由 解得： 或 ，由 解得 ： 在 上单调递减 ，在 和 上单调递增（）由已知，在定义域内总存在 使 成立，即 ，使 成立令 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减所以， 式转化为使 成立即 ，令 ，则 在 上单调减，在 上单调增所以， 即的最小值是 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 （为参数） ，在以 为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 （）写出曲线 和 的普通方程；（）若曲线 上有一动点 ，曲线 上有一动点 ，求使 最小时 点的坐
13、标【答案】 （） ， （）【解析】试题分析：（1） ， ；（2）设 ，结合图形可知： 最小值即为点到直线 的距离的最小值 到直线 的距离 ，所以 的坐标为。试题解析：（） ，（）设 ，结合图形可知： 最小值即为点 到直线 的距离的最小值 到直线 的距离当 时， 最小， 即 最小此时， ，结合 可解得： ，即所求 的坐标为23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （）解关于 的不等式 ；（）对于 ，都有 成立，求实数的取值范围【答案】 （） （）【解析】试题分析：（1） 或 ，得不等式解集为 ；（2） 时，恒成立， 在 和 上单调递增，得 ，所以 。试题解析：（）由 得： 即 或解得： 或 所以，不等式解集为（）由 ，都有 成立可得：时， 恒成立 在 和 上单调递增 时，
