1、2018 届安徽省亳州市第一学期期末高三质量检测数学（文） （解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则下图阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以阴影部分为 ，故选 C。2. 已知为虚数单位，复数满足 ，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】 ，所以在第三象限，故选 C。3. 在边长为 2 的正方形中随机取一点，则该点来自正方形的内切圆及其内部的概率是（ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】D【解析】 ，故选 D。4. 平面向量 满足 ， ， ，下列说法正确的是（ ）A. B.与 同向C.与 反向 D.与 夹角为【答案】B【解析】 ，得 ，所以 ，则 同向，故选 B。5. 已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）A. -48 B. 48 C. 48 或 -6 D. -48 或 6【答案】D【解析】由题意， ，得 或 1，当 时， ，当 时， ，故选 D。6. 平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知， ，故选 B。7. 在三棱锥 中， ，则点 在平面 的射影一定在（ ）A. 边的
3、中线上 B. 边的高线上C. 边的中垂线上 D. 的平分线上【答案】C【解析】由 可知，它们的投影长度相等，则点 的投影是底面的外心，即在 边的中垂线上，故选 C。8. 执行如图的程序框图，若输出的 ，则图中处可填的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ，所以添加条件为 ，故选 C。9. 已知某五面体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为直角梯形，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】 ，故选 A。10. 设 为正实数，且满足 ，下列说法正确的是（ ）A. 的最大值为 B.
4、 的最小值为 2C. 的最小值为 4 D. 的最大值为【答案】B【解析】 ，得 ，故选 B。点睛：本题考查基本不等式的应用。求 的最值，是基本不等式中的 “1”的应用的题型，则；求 的最值，是基本不等式的公式直接应用，得 。11. 已知双曲线 过点 ，过左焦点 的直线与双曲线的左支交于 两点，右焦点为 ，若 ，且 ，则 的面积为（ ）A. 16 B. C. D. 【答案】A【解析】由题意， ，所以 ，设 ，则 ，所以 是以 为直角的等腰直角三角形，则 ，则 ，故选 A。 点睛：本题考查双曲线的几何性质。本题中，由双曲线的几何性质， ，设 ，则 ，通过示意图我们可知 是以 为直角的等腰直角三角形
5、，利用几何方法解题即可。12. 已知函数 ，若 有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，当 时， ，令 ，则 ，所以 在 单调递减，且 ，所以 在 单调递增， 单调递减， ，当 时， ，令 ，则 ，所以 在 单调递增，且 ，所以 在 单调递减， 单调递增， ，所以得到大致图象如下：由图知，若有三个零点，则 ，且 ，得取值范围是 ，故选 A。点睛：本题考查导数的应用。在含参的零点个数问题中，我们常用方法是分参，利用数形结合的方法，转化为两函数图象的交点个数问题。具体函数通过求导，判断单调性，得到函数的大致图象，解得答案。第卷二、填空题（每题 5 分，满分
6、 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为_【答案】1【解析】由图可知，过点 时， 的最小值为 1.14. 与双曲线 共焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为_【答案】【解析】 ，且 ，所以 ，所以椭圆方程为 。15. 若函数 是偶函数，则 _【答案】【解析】由题可知，有 ，则 ，得 。16. 已知正项数列 的前 项和为 ，且 为 和 的等差中项，则 _【答案】【解析】 ，则由公式 可知， ，又 ，得 ，则 。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 所对的边为 ，满足 .（1）求 ；（2
7、）若 ，求 的面积的最大值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理得 ，解得 ；（2）由余弦定理和基本不等式得 ，所以面积的最大值为 。试题解析：（1）由正弦定理和 可得：因为 为三角形内角，故 ， ， ，（2）由条件， ，故 ，即 ，故 的面积的最大值为 .点睛：本题考查解三角形。本题中由条件可知，首先利用正弦定理边化角，得到角 C。求面积的最值一般的，利用余弦定理得到边的关系，再利用基本不等式解决最值问题。也可以利用正弦定理转化为角进行求解最值。18. 如图，已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， ， .（1）求证： ；（2）若平面 平面 直线，求证：直线 .【答案】
8、 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题证明 ， ，所以 平面 ，故 ；（2） 平面 ，又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .试题解析：（1）证明：取线段 的中点 ，连接在直角梯形 中，由条件易得 ，又因为 ， 为 中点，所以 ，因为 平面 ，且所以 平面 ，故（2）解：由条件可知在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面又因为 平面 ，平面 平面所以 .19. 某企业准备推出一种花卉植物用于美化城市环境，为评估花卉的生长水平，现对该花卉植株的高度（单位：厘米）进行抽查，所得数据分组为 ，据此制作的频率分布直方图如图所示.（1）求出直方图中的值；（2）利用直方图估算花卉植株高
9、度的中位数；（3）若样本容量为 32，现准备从高度在 的植株中继续抽取 2 颗做进一步调查，求抽取植株来自同一组的概率.【答案】 （1）0.0625（2）26（3） 【解析】试题分析：（1） ；（2）中位数估计为： ；（3）高度在 的植株个数为 ，高度在 的植株个数为 2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件 ，故所求概率为 。试题解析：（1）由条件， ；（2）由于 ，故中位数估计为： ；（3）由样本容量为 32 可知，高度在 的植株个数为： ，高度在 的植株个数为 2，可计算基本事件总数为：28 ，植株来自同一组有基本事件 ，故所求概率为 .20. 已知抛物线 的焦点为 ，点
10、 满足 .（1）求抛物线的方程；（2）过点 的直线交抛物线于点 ，当 时，求直线的方程.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）利用抛物线的几何定义，得 ；（2）设 ，联立 ，当时，得 ，即直线 。试题解析：（1）由条件易知 在抛物线 上， ，故 ，即抛物线的方程为 ；（2）易知直线斜率必存在，设 ， ， ，联立 得 即 ，由 得 ，且 ， ，由得 ，即直线 .21. 已知函数 ，其中为自然对数的底数.（1）求证：当 时，对任意 都有 ；（2）若函数 有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】 （1）见解析（2）试题解析：（1）当 时， ，当 时， 显然成立；当 时， ；令 ， ，则 ，可得 ， ， 减 ； ， ， 增；
