1、河北省石家庄 2018 届高三教学质量检测（二）理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,故选 .2. 已知复数满足 ，若的虚部为 ，则复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】 ,虚部为 ,即 ,故对应点 在第一象限.3. 在等比数列 中， 2， ，则 ( )A. 28 B. 32 C. 64 D. 14【答案】B【解析】 ,故选 .4. 设 且 ，则“
2、 ”是“ ”的( )A. 必要不充分条件B. 充要条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必要条件【答案】C【解析】 或 ;而 时, 有可能为 .所以两者没有包含关系,故选 .5. 我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术” ，得到了著名的“徽率” ，即圆周率精确到小数点后两位的近似值 ，如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的 值为( )(参考数据： ， ，)A. 24 B. 36 C. 48 D. 12【答案】C【解析】 ,判断否, ,判断否, ,判断否,判断是,输出 ,故选 .6. 若两个非零向量， 满足 ，则向量
3、与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据向量运算的几何性质可知,以 为邻边的平行四边形对角线相等,所以该四边形为矩形, 两个向量相互垂直,且且对角线与 的夹角为 , 与的夹角为 ,故选 .7. 在 的展开式中，含 项的系数为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意有 ,故系数为 ,选 .8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B. C. 8 D. 【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体为下图所示的四棱锥 ,故体积为 .9. 某学校 A、B 两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘
4、制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差A 班数学兴趣小组的平均成绩高于 B 班的平均成绩B 班数学兴趣小组的平均成绩高于 A 班的平均成绩A 班数学兴趣小组成绩的标准差大于 B 班成绩的标准差B 班数学兴趣小组成绩的标准差大于 A 班成绩的标准差其中正确结论的编号为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 班平均值 ,标准差 . 班平均值 ,标准差 ,故 班平均值高,标准差小,故选 .10. 已知函数 的部分图象如图所示，已知点 ， ，若将它的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【
5、解析】 , , ,所以 ,右移的到 ,将选项代入验证可知 选项正确.11. 倾斜角为 的直线经过椭圆 右焦点 ，与椭圆交于 、 两点，且 ，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设直线的参数方程为 ,代入椭圆方程并化简得 ,所以,由于 ,即 ,代入上述韦达定理,化简得 ,即 .故选 .【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程的设法,考查直线参数方程参数的几何意义.由于本题直线过焦点 ,而且知道它的倾斜角为 ,在这里可以考虑设直线方程的点斜式 ,也可以考虑设直线的参数方程,考虑到 ,即 ,所以采用直线参数方程,利用参数的几何意义,可以快速建立方程,求出
6、结果.12. 已知函数 是定义在区间 上的可导函数，满足 且 ( 为函数的导函数)，若且 ，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】构造函数 , ,所以 是 上的减函数.令 ,则,由已知 ,可得 ,下面证明 ,即证明 ,令 ,则,即 在 上递减, ,即 ,所以 ,若 ,则.故选 .【点睛】本小题主要考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查大小比较,关键在于构造函数法.问题的关键点在于利用好 ,这是一个含有原函数和它的导函数的式子,故考虑用构造函数法构造函数,构造函数 后,就可以用上已知条件来判断单调性了.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在
7、答题纸上）13. 用 1，2，3，4，5 组成无重复数字的五位数，若用 ， ， ， ， 分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现 特征的五位数的概率为 _.【答案】【解析】基本事件的总数为 .中间 最大,只能放 ,即 ,其它位置的方法数为 种,故概率为.14. 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值为_.【答案】3【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最大值为 .15. 已知数列 的前 项和 ，如果存在正整数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】当 时, ,当 时, ,所以 ,当 时 ,当 为大于 的偶数时 , 为递减数列; 当 为大于 的奇数
8、时 为负数,且为递增数列,即 的长度不断减小,要使得 成立,则需 ,故填 .【点睛】本小题主要考查数列已知 求 的方法,考查数列的单调性和一元二次不等式的解法.由于题目给定的表达式,故可利用公式 求得数列的通项公式为.这个数列奇数项为负数,偶数项为正数,并且分别趋向于零,所以最外面的两个数即是 的取值范围.16. 在内切圆圆心为 的 中， ， ， ，在平面 内，过点 作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点 在平面 上的射影 落在直线 上，点 在直线上的射影为 ，则的最小值为_.【答案】【解析】画出图象如下图所示.由于 ,所以 平面 ,所以 三点共线.以 分别为 轴建立平面直角坐标系,则 ,设
9、直线的方程为 ,则直线 的方程为 .令 求得 ,而 .联立 解得 .由点到直线的距离公式可计算得 ,所以.即最小值为.【点睛】本小题主要考查空间点线面的位置关系,考查线面垂直的证明,考查三点共线的证明,考查利用坐标法解决有关线段长度比值的问题,是一个综合性很强的题目.首先考虑折叠问题,折叠后根据线线垂直关系推出三点共线,将问题转化为平面问题来解决,设好坐标系后写出直线的方程即直线 的方程,根据点到直线距离公式写出比值并求出最值.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 的内角 的对边长分别为 ，且 .(1)求角 的大小；(2)设
10、为 边上的高， ，求 的范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】 【试题分析】(1)利用切化弦化简题目所给方程,可求得 ,由此求得角 的大小.(2)利用三角形的面积公式求得 ,利用余弦定理和基本不等式可求得 的取值范围,进而求得 的取值范围.【试题解析】（1）在ABC 中（2）18. 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站 2017 年 1-8 月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：月份 1 2 3 4 5 6 7 8促销费用2 3 6 10 13 21 15 18产品销量1 1 2 3 5
11、4(1)根据数据可知 与 具有线性相关关系，请建立 关于 的回归方程 (系数精确到 )；（2）已知 6 月份该购物网站为庆祝成立 1 周年，特制定奖励制度：以 (单位：件)表示日销量，则每位员工每日奖励 100 元； ，则每位员工每日奖励 150 元；，则每位员工每日奖励 200 元.现已知该网站 6 月份日销量服从正态分布 ，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.(当月奖励金额总数精确到百分位).参考数据： ， ，其中 ， 分别为第个月的促销费用和产品销量， .参考公式：对于一组数据 ， ， ，其回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .若随机变量 服从正态分布 ，则 ， .【
12、答案】(1) ；(2) 元.【解析】 【试题分析】(1)利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程 .(2)根据正态分布概率可计算得销售量在 , , 上的概率,用奖金乘以对应的概率然后相加,再乘以 ,可求得总奖金额.【试题解析】（1）由题可知 ， 将数据代入 得所以 关于 的回归方程 （2）由题 6 月份日销量服从正态分布 ，则日销量在 的概率为 ， 日销量在 的概率为 ， 日销量 的概率为 ， 所以每位员工当月的奖励金额总数为元. 19. 如图，三棱柱 中，侧面 为 的菱形， .(1)证明：平面 平面 .(2)若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)证
13、明见解析；(2) .【解析】 【试题分析】(1) 连接 交 于 ，连接 ,根据菱形的几何性质与等腰三角形的几何性质可知, ,由此证得 平面 ,故平面 平面 .(2) 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系,通过计算直线 的方向向量与平面 的法向量,来求得直线与平面所成角的正弦值.【试题解析】（1）连接 交 于 ，连接侧面 为菱形， ， 为 的中点， 又 ， 平面平面 平面 平面 . （2 ）由 ， ， ， 平面 ， 平面从而 ， ， 两两互相垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系直线 与平面 所成的角为 ， 设 ，则 ，又 ， 是边长为 2 的等
14、边三角形 ，设 是平面 的法向量，则 即令 则 设直线 与平面 所成的角为则直线 与平面 所成角的正弦值为 . 20. 已知圆 的圆心 在抛物线 上，圆 过原点且与抛物线的准线相切.(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点 的直线交抛物线于 两点，分别在点 处作抛物线的两条切线交于 点，求三角形面积的最小值及此时直线的方程.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】 【试题分析】(1)写出圆心/半径,焦点坐标和准线方程,根据原点在圆上及圆心到抛物线的距离建立方程,解方程组求得 的值,由此得到抛物线方程.(2)设出直线的方程 ,联立直线的方程和抛物线线的方程,写出韦达定理,利用导数求出切线的
15、方程,求出交点 的坐标,利用弦长公式和点到直线距离公式写出三角形面积的表达式,并由此求得最小值.【试题解析】（1）由已知可得圆心 ，半径 ，焦点 ，准线因为圆 C 与抛物线 F 的准线相切，所以 ， 且圆 C 过焦点 F，又因为圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上，即 所以 ，即 ，抛物线 F 的方程为 （2）易得焦点 ，直线 L 的斜率必存在，设为 k，即直线方程为设得 ， ， 对 求导得 ，即直线 AP 的方程为 ，即 ，同理直线 BP 方程为设 ，联立 AP 与 BP 直线方程解得 ，即 所以 ，点 P 到直线 AB 的距离 所以三角形 PAB 面积 ，当仅当 时
16、取等号综上：三角形 PAB 面积最小值为 4，此时直线 L 的方程为 . 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解21. 已知函数 .(1)讨论函数 的单
17、调性；(2)若函数 存在极大值，且极大值为 1，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】 【试题分析】(1)当 时, ,故函数在 上单调递增.当 或 时,利用导数求得函数的单调区间.(2) 由（）可知若函数 存在极大值，则 ，且 ，解得 ， 由此求得函数的表达式.将所要证明的不等式转化为证 .构造函数 ,利用二阶导数求得函数的最小值大于或等于零【试题解析】（）由题意 ，当 时， ，函数 在 上单调递增；当 时，函数 单调递增， ，故当 时，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，函数 在上单调递增； 当 时，函数 单调递减， ，故当 时，当 时， ，所以函数 在 上单调递增
18、，函数 在上单调递减（）由（）可知若函数 存在极大值，则 ，且 ，解得 ， 故此时，要证 ，只须证 ，及证 即可，设 ， ，令，所以函数 单调递增，又 ， ，故 在 上存在唯一零点 ，即 所以当 ， ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，函数 在上单调递增，故 ，所以只须证 即可，由 ，得 ，所以 ，又 ，所以只要 即可，当 时，所以 与 矛盾，故 ，得证（另证）当 时，所以 与 矛盾；当 时，所以 与 矛盾；当 时，得 ，故 成立，得 ，所以 ，即 【点睛】本题主要考查导数与单调性,考查利用导数证明不等式. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是
19、高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 (其中 为参数)，曲线 .以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 、 的极坐标方程；(2)射线 与曲线 、 分别交于点 (且 均异于原点 )当 时，求 的最小值.【答案】(1) 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ；(2) .【解析】 【试题分析】(1)利用 消去参数得到圆的直角坐标方程 ,在转化为极坐标方程,直接利用公式将 的直角坐标方程转化为极坐标方程 .(2)联立射线和圆的极坐标方程,求得 ,联
20、立射线的方程和椭圆的极坐标方程求得 ,再用基本不等式求得最小值 .【试题解析】（1）曲线 的普通方程为 ， 的极坐标方程为的极坐标方程为（2）联立 与 的极坐标方程得 ，联立 与 的极坐标方程得 ，则 = = （当且仅当 时取等号）.所以 的最小值为23. 已知函数 .(1)当 时，求 的解集；(2)若 ，当 ，且 时， ，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】 【试题分析】(1)当 时,利用零点分段法去绝对值,将函数化为分段函数,进而求得不等式的解集.(2)化简 ,即 ,求得函数 的最大值,解不等式组可求得的取值范围 .【试题解析】当 时，当 时， 无解；当 时， 的解为 ；当 时， 无解；综上所述， 的解集为当 时，所以 可化为又 的最大值必为 、 之一即 即又 所以 所以 取值范围为
