2018届河北省石家庄市第二中学高三12月月考数学（理）试题（解析版）.doc

1、2018 届河北省石家庄市第二中学高三 12 月月考数学（理）试题一、单选题1已知全集 是小于 9 的正整数， ，则U |x1,234,56AB等于（ ）ABA. 1，2 B. 3，4 C. 5，6 D. 3，4，5 ，6，7，8【答案】D【解析】全集 是小于 9 的正整数 ， U| x1,234A 5,678UCA 34B,U故选 D 2设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）i1aiaA. B. C. D. 12【答案】A【解析】 ，112aiaii， ，故选 A。10a3已知命题 ，则 为（ ）:,210npNpA. B. C. D. ,n,210n,210nN210【答案】

2、D【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p：“nN ，2 n1000”，则p 为n N，2 n1000故选：D4若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）,xy12 xy3zxyA. -7 B. -1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：12 xy当直线 y=3xz 经过 B 时使得 z 最小，解 B（1，1）， 2yx所以 z=3xy 的最小值为 2；故答案为：2.故选 D。5 5中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“

3、有一个走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48 里 B. 24 里 C. 12 里 D. 6 里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为a n，由题意知a n是公比 的等比数列，12由 S6=378，得 =378，解得：a 1=192， =12（里） 故1662a549a选：C6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A. B. C. D. 46812【答案】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为 ，下底长为 ，高为 ，棱锥的一条侧棱

4、垂242直底面高为 ，所以这个几何体的体积： ，故选 213VA【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值为0,15M24yx,NxyMN（ ） A. B. C. D. 523【答案】C【解析】如图，设抛物线的焦点为 ，连 ，由抛物线的定义可得 。10F， N|1NFx ，当且仅当三

5、点共线时等号成立，即 ，| 4NFM14xNM 。3x因此 的最小值为 3。答案：C。点睛：（1）对于抛物线的有关问题，若出现了曲线上的点到焦点的连线，则应考虑抛物线的定义，将曲线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离解决，这样会给解题带来方便。（2）解析几何中的最值问题，可考虑平面几何图形的特点，运用几何法求解。8已知函数 的最小正周期是 ，将函数 的图sin06fxyfx象向左平移 个单位长度后所得的函数为 ，则函数的 图象（ 6ygxg）A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴,0126C. 有一个对称中心 D. 有一条对称轴,34x【答案】B【解析】 函数 的最小正周期是sin06f

6、x ，即22 sin6fx将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得的函数为yfsin2sin266gxxx令 ，得 ，故函数的图象不关于 对称，13i1,012排除 ；A令 ，得 ，故函数有一条对称轴为 ，故 满足6xsin26gx 6xB条件；令 ，得 ，故函数的图象不关于 对称，排除3x1si32x ,03；C令 ，得 ，故函数的图象不关于直线 对称，4xsin246gx 4x排除 ；D故选 B点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以要必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言； 的图象由无穷多条对称轴，可由方程x s

7、inyAx解出，它还有无穷多个对称中心，可由方程2kZ解得 ，即其对称中心为xkxZ,0kZ9已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则nanS8425的最小值为（ ）1012aA. 10 B. 15 C. 20 D. 25【答案】C【解析】由题意可得： ，由 可得910128aaS425S，845S由等比数列的性质可得： 成等比数列，48128,S则： ，综上可得：24128，24910128445251010aaSSS当且仅当 时等号成立.45综上可得，则 的最小值为 20.91012aa本题选择 C 选项.10如图在正方体 中，点 为线段 的中点. 设点 在线段1ABDCOBDP上，直线

8、 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是( )1OPsinA. B. 3,16,13C. D. 62,2,【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为 ，则1，所以111312,3, ,22ACAOCOC， 1 1cos,sin32.1 1336cs,si2AOCAOC又直线与平面所成的角小于等于 ，而 为钝角，所以 的范围为901sin，选 B.6,13【考点定位】空间直线与平面所成的角.视频11设 、 分别为双曲线 （ ， ）的左、右焦点， 为双1F221xyab0abP曲线右支上任一点若 的最小值为 ，则该双曲线离心率 的取值范围是（ 21PF8e） A. B. C. D. 0,2,32

9、,3,【答案】B【解析】由定义知： 1212,PFaPF221 248aPF当且仅当 ，设 时取得等号，242PFa即 2 PFca3ce又双曲线的离心率 ,1e(,故答案选 B点睛：根据双曲线的定义给出 的数量关系，再依据条件结合基本不等式求12PF、得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于 1.12已知 是定义域为 的单调函数，若对任意的 ，都有fx0,0,x，且方程 在区间 上有两13log4fx32694fxxa0,3解，则实数 的取值范围是（ ）aA. B. C. D. 0505a【答案】A【解析】由题意知必存在唯一的正实数 ，满足 ， ，13logfxa4f

10、，由得： ， ，解得 故13logfa13log4a43，由方程 在区间 上有两解，xx269fxxa0,即有 在区间 上有两解，由321log694a0,3，可得 ，当 时， 32xx219gxx 3x， 递减；当 时， ， 递增 在0gg00ggx处取得最大值 ， ， ，分别作出 ，和1xa4a34ga13loy的图象，32694yx可得两图象只有一个交点 ，将 的图象向上平移，至经过点1,032694yx，有两个交点，由 ，即 ，解得 ，当 时，两图象3,13g1a5a05a有两个交点，即方程两解故选 A二、填空题13 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答

11、如下甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 【答案】甲【解析】试题分析：采用反证法，如果甲说的是假话，那丙就是满分，那么乙也说的是假话，就不成立了，如果乙说的是假话，那乙没有考满分，丙也没有考满分，那只有甲考满分【考点】1合情推理；2反证法14已知直线 ： ，点 ， . 若直线 上存在点 满足l0xya2,A,0BlP，则实数 的取值范围为_.APB【答案】 2,【解析】问题转化为求直线 与圆 有公共点时， 的取值范围，数形结l22xya合易得 .2a点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直线与圆相切处理时要利

12、用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小15在矩形 中， ， ,则 _.ABCD30ABCADCAB【答案】12【解析】在矩形 中， ， ABCD30A cos60ACDAC，再根据 ， ， 2 2tanB 23B， ，故答214ABcos01AA案为 .116已知椭圆 ， 是 的长轴的两个端点，点 是2:(0)xyCab,BCM上的一点，满足 ，设椭圆 的离心率为 ，则3,45MABe_.2e【答案】 31【解析】设 , ，因为 ，所以0Mxy,0Aa,B30,

13、45MAB可得 ， ，三等式联立消去 01,BMykxa03AMykxa201xyb0,xy可得 故答案为 .223,3be13故答案为三、解答题17已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ,且 成等naDFACBD比数列.（）求数列 的通项公式；na（）设数列 满足 ，求数列 的前 项和DBACBACFE平 面【答案】 （） ;（） 1nanT35=412n【解析】 （）设等差数列的公差为 ，由 成等比数列及 列式求得首d37,a520S项和公差，即可求出数列 的通项公式；（）把数列 的通项公式代入到nana，然后利用裂项相消法求数列 的前 项和.1nnbanb（） 数列 是等差数列，

14、设 的公差为 ， 成等比数列，nad137,a， 23172116d得 da， 012得 514502Sada124ad得 1,n（） 122nnban 12 1134nnT 11)22n（ 35=42n18在 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ABC, ,abcsin3cos0A, .7ab（1）求 ；c（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ,求 的面积.ADCB【答案】 （1） .（2） .43【解析】 （1）先根据同角的三角函数的关系求出 ，再根据余弦定理即可求出 ；Ac（2 ）先根据夹角求出 ，再由 可得 的长，根据勾股定理求出cosD的长，然后利用三角形面积公式即可求出 的面积.A（

15、1 ）由 得 ，又 ，得 .sin30Atan30,23由余弦定理 .又22cosab 127cosbA代入并整理得 ，故 . 15c4（2 ） ，2,7,ACBA由余弦定理 . 2cosabc ，即 为直角三角形，DA ，得 .sC7C由勾股定理 .23又 23A ，则 .6DB1sin326ABDS点睛：在解决三角形问题中，面积公式最常用 ，因为公式中既有边又有角 ，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.19在四棱锥

16、 中， 平面 ， 是 的中点， PABCPABCDEP， ， .90D602A（1）求证： ；E（2）求二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .64【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 ，则 ，先根据线面垂直PCF,EA|FCD的性质证明 ；进而可得 ，再由线面判定定理即可证明 平面DP，从而可得 ；（2）建立空间坐标系， 分别求出平面 与平面 的AEFAEE的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，即可求二面角 的余弦值.试题解析：（1）取 的中点 ，连接 ，则 .,|因为 ，所以 .CPCF因为 平面 ， 平面 ，所以 又BDBDPACD所以 平面 A因为 平面 ，所以

17、；又 ，所以 ；P|EF又因为 , ，所以 平面FEF因为 平面 ，所以 .ECA（2）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .BBxyz则 ， ， ， ， ， 0,0,13,023,0D3,21E1P， .3,AC,2CE设平面 的法向量为 ，则 所以1,nxyz10, .ACnE30, 2.xy令 ，所以 .1x1,32由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 .CDPAFPDAF同理 ，所以 平面FC所以平面 的一个法向量 .E231,2n所以 ，12126cos,4n由图可知，二面角 为锐角，ACEP所以二面角 的余弦值为 .ACEP64【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质、利用

18、空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20 已知动圆 与圆 外切，又与直线 相切 .C21:1xy:1lx（1）求动圆 的圆心的轨迹方程 ；E（2）若动点 为直线 上任一点，过点 的直线与曲线 相交 两点.Ml,0PE,AB求证： .2ABPkk【答案】(1) ;(2) 见解析.8yx【解析】试题分析：(1)由题意结合抛物线的定义可

19、得：动圆圆心 的轨迹方程为： .C2y8x(2)由题意可设直线 的方程为 ，联立直线与抛物线的方程，结合根与系ABxmy1数的关系可得： ， ，所以 成立.MP2ktAMBktMABMPk2k试题解析：(1)依题知，动圆 的圆心到点 的距离等于到直线 的距离，所以由C2,0x抛物线的定义可知：动圆 的圆心轨迹是以 为焦点， 为准线的抛, 2物线，所以动圆圆心 的轨迹方程为： .28yx(2)由题知当直线 斜率为 时，不符合题意，所以可设直线 的方程为AB0AB，联立 ，消去 ，得 恒1xmy218xy2 20,6430m成立，所以可设 ，则12,1,Mt，而 ，122 28,yyxx21MPt

20、k12111222MAByytxtttkx，12212122848ytxtmtx所以 成立.MABMPkk21已知左、右焦点分别为 的椭圆 与直线 相12F、 2:10xyCab1y交于 两点，使得四边形 为面积等于 的矩形.AB、 12AB（1 ）求椭圆 的方程；C（2 ）过椭圆 上一动点 （不在 轴上）作圆 的两条切线 ，1Px2:1OxyPCD、切点分别为 ，直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，求D、 1CEG、的面积 的取值范围.OEGOEGS【答案】 （1） （ 2）, 214xy306,8【解析】试题分析：（1）由矩形 为面积等于 可得 ，故椭圆方程12ABF2c可化为 ，又由

21、题意可得 ,代入椭圆方程可解得 ，从而21xya24a可得椭圆的方程；（2）设 ，根据相交两圆的公共弦所在直线方程0,Pxy的求法得到直线 的方程为 ，用代数方法求出弦长 ，从而可得CD1EG的面积，最后根据函数的知识求范围。OEG试题解析：（1 ） 四边形 为面积等于 的矩形，12ABF2 ，故 ，2cc椭圆方程化为 ，且点 ，21xya2,1A点 A 在椭圆上， ，21整理得 ，4250a解得 。2椭圆 的方程为 ；1C214xy（2 ）设 ，则以线段 为直径的圆的方程为0,POP，222014xyxy又圆 的方程为 ，O21xy两式相减得直线 的方程为 .CD01xy由 消去 y 整理得

22、02 4xy22000x直线 与椭圆 交于 两点，CD1EG、 ，222200006441xyyx设 ， 12,Ey则 2001212|xyxGx又原点到直线 CD 的距离为 ，20dxy 2012204112OEG xySy 2200xx设 ，220014=3ty ，x 182t又 在 上单调递增，2OEGSt1,82t ，3068E所以 的面积 的取值范围为 .OGS306,82点睛：（1）由于解析几何中涉及到大量的运算问题，故在进行计算时要注意方法的选择，如常见的“设而不求” 、 “整体代换”等；另外在计算弦长时还应记住以下结论，即若是一元二次方程 的两根，则 ，以简化运算过程，12,x

23、20axbc12xa减少运算量。（2）解决解析几何中的最值或范围问题的方法， 一是考虑基本不等式，二是利用函数的知识解决，在解题时要根据条件进行选择。 22已知函数 .21fxaxb(1)讨论函数 在区间 上的单调性；gef0,(2)已知函数 ，若 ，且函数 在区间 内有零12xhfhhx0,1点，求 的取值范围.a【答案】 （1）见解析（2） ea【解析】试题分析：（1）先求导数： ，再根据导函数符号是否21xgea变化分类讨论：当 时， ，当 时， ，当3a00gx时，在区间 上单调递减，在区间 上单调32ea0,ln2aln2,1递增.（2）先求函数 导数 ，因为 ，结合（1）结论hx

24、gxh得： ，因此 ， ， ,由于12e10l0ga，所以 恒成立，解 ， 得 的取值范10gln0ga1围.试题解析：解：(1)由题得 ，所以 .21xeab2xgea当 时， ，所以 在 上单调递增；32a0gxg0,当 时， ，所以 在 上单调递减；1ex当 时，令 ，得 ，ln20,1a所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.gx0,ln2a ln2,a综上所述，当 时， 在 上单调递增；3agx,1当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间312e0ln2a上单调递增；ln,当 时，所以 在 上单调递减.eagx,1(2) ， 2112xxhefeabx，21xheabgx设

25、 为 在区间 内的一个零点，则由 ，可知 在区间00, 0hxhx上不单调，则 在区间 内存在零点 ，同理， 在区间,xx0,x1g内存在零点 ，所以 在区间 内至少有两个零点.012g由(1)知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零3ax,1gx0,点，不合题意.当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点，不12eg0, ,1合题意，所以 ，312ea此时 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.gx,lnln2,a因此， ， ，必有 ， 102l,1x01gb.2eab由 ，得 ， .10he102ge又 ， ，解得 .gaa12a点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等） ，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.