1、河北武邑中学 2017-2018 学年下学期开学考试数学（理科）试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 1|02xA， 1,02B，则 AB( ）A 1,0B ,C ,1D 1,2 2.设常数 aR，集合 |(1)20x， |xa，若 ABR，则 a的取值范围为（ ）A (,1)B (,C (,)D 2,) 3.我国古代数学算经史书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）A104 人 B108 人
2、 C112 人 D120 人 4.在 BC中，角 A， ， 所对的边分别为 a， b， c，若 oscaAbB，则 AC为（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 5.若 2cos3sin2()4，则 si（ ）A 13B C 23D 13 6.已知函数 2()log|fxx，则不等式 (1)(0fxf的解集为（ ）A (0,2B (1,)C ,2D (1,) 7.设向量 a， b满足 |2， |b，且 ()ab，则向量在向量 2ab方向上的投影为（ ）A 1B C 12D 8.四面体 CD的各条棱长都相等， E为棱 A的中点，过点 A作平面 BCE平行的平
3、面，该平面与平面B、平面 的交线分别为 1l、 2，则 1l， 2所成角的余弦值为（ ）A 63B 3C 3D 2 9.已知函数 2()3xfe与 ()lngxa，设 |()0xRf， |()0xRg，若存在 ， ，使得 |1，则实数 的取值范围为（ ）A ln31,eB l0,3C 10,eD 1,e 10.已知抛物线 C： 28yx上一点 P，直线 1l： 2x， l： 350xy，则 P到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）A 2B 34C 645D 1847 11.过双曲线2196xy的右支上一点 P，分别向圆 1： 2()xy和圆 2C： 22(5)xyr（0r）作切线，切点分别为
4、M， N，若 22|N的最小值为 58，则 r（ ）A 1B 2C 3D 12.已知函数31,0()axfe在 2,上的最大值为 5，则实数 a的取值范围是（ ）A 2ln,B ,lnC (,0D ln2,) 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知231()m， 4xn，则 4logm ；满足 log1nm的实数 x的取值范围是 14.三棱锥 ABCD中，底面 是边长为 3 的等边三角形，侧面 ACD为等腰三角形，且腰长为13，若 2，则三棱锥 ABC外接球表面积是 15.已知双曲线 ：21xyab的右焦点为 F，过点 向双曲线的一条渐近线
5、引垂线，垂足为 M，交另一条渐近线于 N，若 73FMN，则双曲线的渐近线方程为 16.已知函数 2()lnfxx， a， R，若不等式 ()fx对所有的 (,0b， 2(,xe都成立，则 a的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 22()sini()6fxx， R（1）求函数 y的对称中心；（2）已知在 ABC中，角 、 、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且 ()26Bbcfa， ABC的外接圆半径为 3，求 周长的最大值18.设 2|40,xxR， 22|(1)0,BxxxR，若 ，求 的取值范围19.如
6、图四棱锥 PACD中， 平面 ACD，底面 B是梯形， /ACD， B，4AB， 2， ， M为 的中点， N为 P上一点，且N（ 01） （1）若 4时，求证： /MN平面 PAD；（2）若直线 A与平面 BC所成角的正弦值为 25，求异面直线 AD与直线 CN所成角的余弦值20.如图，已知椭圆 ：21(0)xyab，其左右焦点为 1(,0)F、 2(,)，过点 1F的直线交椭圆 C于 A， B两点，线段 A的中点为 G， AB的中垂线与 x轴和 y轴分别交于 、 E两点，且 1|A、12|F、 2|构成等差数列（1）求椭圆 C的方程；（2）记 1GFD的面积为 1S， OED（ 为原点）的
7、面积为 2S，试问：是否存在直线 AB，使得12S？说明理由21.已知函数 2()lnfxx（1）若函数 m在 (0,)上恒成立，求实数 m的取值范围；（2）设函数 ()gxa（ 且 1） ，若函数 ()()1Fxgfx的图象与 x轴交于点1(,0)Ax， 2,B两点，且 0x是函数 ()y的极值点，试比较 12， 0， 2的大小请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 2cos,3inxy（ 为参数， 2） ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C的极坐标
8、方程为 sin()4t（1）求曲线 1C与 2的直角坐标方程；（2）当 与 有两个公共点时，求实数 t的取值范围23.选修 4-5：不等式选讲设函数 ()|2|2|fxx（1）求不等式 f的解集；（2）若 xR， 27()t恒成立，求实数 t的取值范围河北武邑中学 2017-2018 学年下学期开学考试数学（理科）试卷答案一、选择题1-5: ABD 6-10:CBD 11、12： BD二、填空题13. 13； (,0) 14.16 15. 102yx 16.2,)e三、解答题17.解：由 ()1cos2cs()cos()cos63fxxxxx13s2incos2x3sin2in()（1）令 6
9、xk（ Z） ，则 21kx（ Z） ，所以函数 ()yf的对称中心为 (,0)（ ） （2）由 62Bbcfa，得 sin62bcBa，整理得 31sincos22bBa，即3sinosa，由正弦定理得： 3insicosinAC，整理得 3sinsicosinABA，又因为 si0B，所以 si1，整理得 1si()62A，由 A，得 566A，所以 ，即 3，又 C的外接圆的半径为 3，所以 23sina，由余弦定理得： 222cosabAbc2()bc 2223()()()44bcbc，即 6c，当且仅当 时取等号，所以周长的最大值为 918.解： 4,0A，由 B，得 ，当 2(1)
10、()a，即 1a时， B，符合题意；当 2(1)4()0a，即 1a时，若 ，则 B，符合题意；当 时，由 A，且 4,，可知 12a， ，满足 B的实数 a的取值范围为 1a或 19.（1）证明：若 14时， PNB，在 PA上取 14E，连接 EN， D， ， 4E， ， /AB，且 1A， M为 C的中点， 2， 12DMC，又 /D， /EN，四边形 是平行四边形， /E，又 平面 PA， 平面 PA， /M平面 （2）如图所示，过点 D作 HB于 ，则 DHC，则以 为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，点 (0,)， (,10)， (,2)C， (,0)， (2,0)A， (,4)
11、P， (2,0)CB，24CP， (,4)(,)(,)ANAPB，设平面 B的法向量为 ,nxyz，则 0,CnP即 240,xyz令 1，则 2y， 0x， (0,21)n，设直线 AN与平面 PC所成的角为 ，则 222| 85si|co, 5()()(4)ANn ，解得 13，则 28(,)3， 24,3， ,0AD，设直线 AD与直线 C所成角为 ，则 42cos|,| 123ADCN，所以直线 与直线 所成角的余弦值为 420.解：（1）因为 1|AF、 2|、 2|AF构成等差数列，所以 122|4a，所以 a，又因为 c，所以 3b，所以椭圆 C的方程为214xy（2）假设存在直
12、线 AB，使得 12S，显然直线 AB不能与 x， y轴垂直设 AB方程为 ()ykx（ 0） ，将其代入2143，整理得 22(43)8410kxk，设 1(,)Axy， 2(,)B，所以212，故点 G的横坐标为 1243xk，所以243(,)kG，设 (,0)Dx，因为 GAB，所以2341Dkx，解得243Dk，即2(,0)43k 1RtGF和 tOE相似，且 12S，则 |3|GO， ，2222()()3|4344kkk，整理得 290，因此 ， ，所以存在直线 AB，方程为 3(1)yx 21.解：（1） ()lnfx，令 lnhx，则 1()xh，当 0时， 0h， ()x单调递
13、增；当 2x时， ()x， 单调递减， ()1h， 0fx，即 ln0x， ()在 ,2单调递减， lmf（2） ()n()0xFa，则 lnx或 0a，不妨取 1x， 2a，又 l1x，令 1(，则 2()0， ()在 0,)上单调递增又 12ln(1(ln1)axa，由式可知 l（ 0，且 ） ，所以 ()0a，即 12()x，又212 21lnxaa22(ln1)a，由式知，取 21，则 0x且 ，得 22l0，221ln0a， 12()0x，又 0x是 ()F的极值点， 0F，即 0(， 12120()x，又 ()x在 ,)上单调递增， 12120x22.解：（1）曲线 1C的参数方程
14、为 2cos,3inxy（ 为参数， 2） ，曲线 1的普通方程为： 22()()4（ 0x， 13y） ，曲线 2的极坐标方程为 sincost，曲线 2C的直角坐标方程为 0xyt（2）曲线 1的普通方程为： 22()(3)4（ 0x， 13y）为半圆弧，由曲线 2C于1有两个公共点，则当 2与 1C相切时，得 |t，整理得 |2t， 2t或 5（舍去） ，当 C过点 (4,3)时， 0t，当 1与 2有两个公共点时， 121t23.解：（1）4,()3,.xf当 x时， 2x， 6， x；当 1时， 3， ， 23；当 2时， 4， ， 综上所述，不等式的解集为 |6x或（2）易得 min()(1)3fxf，若 R， 21()fxt恒成立，则只需 2min7()3fxt，即 260t，整理得 32t，综上所述 2t
