1、2018 届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考数学（理）试题（解析版）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1. 已知集合 ， ，则 （ ）A=x|y=lgx B=x|x22x30求解一元二次不等式可得 ，B=x|10,y0 2x+8yxy=0 xyA. B. C. D. 8 14 16 64【答案】D【解析】 （1） ，且 ， ， ， ，当且仅当 时x0,y0 2x+8y-xy=0 xy=2x+8y216xy xy8 xy64 x=4y=16取等号，故 的最小值为 64，故选 D.xy点睛：本题主要考查了基本不等式.
2、基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定”“等”的条件6. 是 所在平面内一点， ，则 是点 在 内部（不含边界）D ABC AD=AB+AC(,R) 0b=0.61.5 y=x0.6(0,+)，综上 ，故选 C.c=1.50.6a=0.60.6 b1) x（ ）,有且仅有 6 个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）f(x)2+af(x)+b=0 a,bRA. B. (52,94) (9
3、4,1)C. D. (52,94)(94,1) (52,1)【答案】C【解析】作出 的图象如下，f(x)=54sin(2x)(0x1)(14)x+1(x1) 又函数 y=f（x）是定义域为 R 的偶函数，且关于 x 的方程 ，a，bR 有且仅有 6 个不同实数根，f(x)2+af(x)+b=0x2+ax+b=0 的两根分别为 或 ；x1=54,10 x12f(x)+xf(x)x1 0在 处的切线的斜率为 ,则 （ ）y=f(x) x=1 34 f(1)=A. 0 B. 1 C. D. 38 15【答案】C【解析】当 且 时， ，可得：x 0 x12f(x)+xf(x)x-1 0时， x 1 2
4、f（ x） +xf（ x） 0；时， 1 x 0 2f（ x） +xf（ x） 0令 可得：g（ x） =x2f（ x） ， x（ 0， +） g（ x） =2xf（ x） +x2f（ x） =x2f（ x） +xf（ x） 时， ； 时， x 1 g（ x） 0 1 x 0 g（ x） 0可得：函数 在 处取得极值， g（ x） x=1f（ 1） =12(34)=38故答案为3812. 已知为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ）f(x)=x(lnxax) x1,x2(x10, f(x2)12 f(x1)0, f(x2)12【答案】D【解析】求导得: .易得 在点 P（1，0）处的切线为 .当
5、 时，直线f(x)=lnx2ax+1 y=lnx y=x1 01ln112 =12D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13. 在等比数列 中， ，则 _an a2= 2,a3=33 a11+a2011a17+a2017=【答案】89【解析】依题意知等比数列 的公比 ，an q=a3a2=332故 .a11+a2011a17+a2017= a11+a2011q6(a11+a2011)=1q6=8914. 在平面内, ，若动点 满足 ，则 的最小值是_ABAC=BABC=CACB=6 P,M |AP|=2,PM=MC |BM|【答案】2【解析】由 得三角形
6、ABC 为等边三角形，且边长为 ，以 AC 所在直线为 x 轴，ABAC=BABC=CACB 23AC 中点为坐标原点建系，则 ，因此 ，所以 |BM|31=215. 已知区域 ，则圆 与区域 有公共点，则实数的取值范围是_.D: y2x+y20xy10 C:(xa)2+(y2)2=2 D【答案】 a2,5【解析】先在坐标系中作出区域 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，所以只需确定圆心的取值范围即可，通D C (a,2) 2过左右平移圆可观察到圆 与直线 和 相切是取值的临界条件。当圆与 相C l1:x+y2=0 l2:xy1=0 l1:x+y2=0切时，则 ，由圆心位置可得 ；当圆与 相切时，dC
7、l1=|a|2= 2a=2 a=2 l2:xy1=0，所以 dCl2=|a3|2= 2a=5 a2,5点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义16. 在三棱锥 中， 是边长为 3 的等边三角形， ，二面角 的大小为 120，SABC ABC SA= 3,SB=23 SABC则此三棱锥的外接球的表面积为_【答案】 21【解析】由题可得：球心 O 在过底面 的中心 G 的垂直底面的直线上，又二面角 的大小为ABC S-AB-C120，取 AB 的中点为 M，SB 的中点为 N，故 ,又NM
8、G=120,过 M 做 MH=GO，且 MH 垂直底面，所以 ， ,故NMG=120NM=32,CM=332MG=32,NG=32 MH=32 GO=32球的半径为 ,所以球的表面积为R2=( 3)2+(32)2=214 21三解答题(本大题共 70 分=10 分+125 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 在三角形 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 已知 ( 3sinBcosB)( 3sinCcosC)=4cosBcosC（）求角 A 的大小；（）若 ，且三角形是锐角三角形，求实数 的取值范围sinB=psinC p【答案】(1) ;(2) .A=3 1
9、233 1233120) OB=(cos(2+),sin(2)（1）若 ，求向量 与 的夹角；=6 OA OB（2）若 对任意实数 都成立，求实数的取值范围|AB|2|OB| ,【答案】 （1）向量 与 的夹角为 ；（2） 。OA OB3 3【解析】试题分析：(1)由题意结合平面向量的坐标表示，结合平面向量的数量积运算法则可得 . 则向cos=sin6=12量 与 的夹角为 . OA OB3试题解析：（1）由题意， ， ，OA=(cos,sin)(0) OB=(-sin,cos)所以 ， ，|OA|= |OB|=1设向量 与 的夹角为, OA OB所以 .cos=OAOB|OA|OB|=cos
10、(-sin)+sincos1 =sin(-)因为 ，即 ，所以 . =-6 -=6 cos=sin6=12又因为 ，所以 ,即向量 与 的夹角为 . 0, =3 OA OB 3（2）因为 对任意实数 都成立，而 ,|AB|2|OB| , |OB|=1所以 ，即 任意实数 都成立. . |AB|24 (OB-OA)24 ,因为 ，所以 任意实数 都成立 .|OA|= 2-2OAOB-30 ,所以 任意实数 都成立. 2-2sin(-)-30 ,因为 ，所以 任意实数 都成立.02-32sin(-) ,所以 ，即 ， 2-321 2-2-30又因为 ，所以0 320. 如图，已知四棱锥 的底面的菱
11、形， ，点 E 是 BC 边的中点，AC 和 DE 交于点 O，POPABCD BCD=600；面 ABCD（1）求证： ； PDBC（2 ） 求二面角 P-AD-C 的大小。AB=63,PC=62,（3）在（2）的条件下，求异面直线 PB 与 DE 所成角的余弦值。【答案】 （1）见解析；（2）二面角 的大小为 ；（ 3）异面直线 、 所成角的余弦值为 。PADC4 PB DE 24【解析】试题分析：(1)由题意可证得 ，结合射影定理可证得 ； DEBC PDBC(2)由题意找到二面角的平面角，结合三角函数值可得二面角 的大小为 .P-AD-C4(3)利用平移法结合余弦定理可得异面直线 、
12、所成角的余弦值为 .PB DE24试题解析：（1）在菱形 中，连接 则 是等边三角形。ABCD DB, BCD点 是边 的中点 E BCDEBC平面PO ABCD是斜线 在底面 内的射影OD PD ABCD（2）菱形 中,ABCD AD/BCDEAD又 平面 , 是 在平面 内的射影PO ABCDDE PD ABCDPDAD为二面角 的平面角PDO P-AD-C在菱形 中, ，由（1）知， 等边三角形ABCD ADDE BCD点 是 边的中点， 与 互相平分 E BC AC BD点 是 的重心 O BCDAB=63又 在等边三角形 中， BDCOC=OD=6PC=62,PO=6所以在 中，Rt
13、POD tanPDO=PODO=66=1PDO=4二面角 的大小为 . P-AD-C4(3)取 中点 ，连结 ，AD H HB HP则 HB/DE与 所成角 与 所成角HB PB DE PB连结 OH,OB平面 , 、 平面PO ABCDOH OB ABCDPOOH,POOB在 中,RtDOH HD=33,OD=6OH=37在 中,RtDOH PH= PO2+OH2= 99在 中,RtPOB OB=OC=6,PB= PO2+OB2=62由（2）可知， DE=HB=9设 与 所成的角为HB PB 则 cos=HB2+PB2-PH22HBPB =24所以异面直线 、 所成角的余弦值为PB DE24
14、21. 已知数列 的前 项和 满足： .an n Sn 2Sn=1an（1）数列 的通项公式；an（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： .bn=an1+anan+11an+1 bn n Tn Tn 13n+1所以 ， bn=13n+1- 13n+1-13 2ln2+158【解析】试题分析：(1)由题意结合导函数与原函数的单调性之间的关于得到关于实数 m 的不等式组求解不等式组可得实数 的取值范围是 ；m m3(2)结合导函数的解析式令 有 ，结合韦达定理可f(x)=0 x2+(1-m)x+1=0得 换元令 ，其中 构造新函数 ，结合题f(x1)-f(x2)=lnx1x2-12(x1x2-
15、x2x1) x1x2=t 00只需 m-12 0=(1-m)2-40 解得 即 m1，m3或 m3（2）因为 ，令 ，即 ，f(x)=x2+(1-m)x+1x f(x)=0 x2+(1-m)x+1=0两根分别为 ，则 x1， x2 x1+x2=m-1，x1x2=1， 又因为 f(x1)-f(x2)=12x21+(1-m)x1+lnx1-12x22-(1-m)x2-lnx2=12(x21-x22)+(1-m)(x1-x2)+lnx1x2=12(x21-x22)-(x21-x22)+lnx1x2 =lnx1x2-12(x21-x22)=lnx1x2-12(x21-x22x1x2)=lnx1x2-1
16、2(x1x2-x2x1)令 ，由于 ，所以 x1x2=t x1x2 0t1又因为 ， ，m72 (x1+x2)2=(m-1)2254即 即 ，(x1+x2)2x1x2 =x1x2+2+x2x1， t+2+1t254所以 ，解得 或 ，即 4t2-17t+40 t4 t14 0t14令 ，h(t)=lnt-12(t-1t)(0t14)，h(t)=1t-12- 12t2=2t-t2-12t2 =-(t-1)22t2 0所以 在 上单调递减， h(t) (0， 14 h(t)min=h(14)=ln14-12(14-4)=-2ln2+158所以 的最小值为 f(x1)-f(x2) -2ln2+158
