2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考数学（理）试题.doc

1、2018 届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考数学（理）试题一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1已知集合 ， ，则 （ ）|lgAxy2|30BxABA. B. C. D. 0,31,0,1,32. 已 知 ( 是 虚 数 单 位 ),那 么 的 共 轭 复 数 对 应 的 点 位 于 复 平 面 内 的 ( )23izi zA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 若 、n 是互不相同的空间直线 ,、 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是（ ）lA. 若 ，则 B. 若 ，则/,ln

2、/ln,llC. 若 则 D. 若 ，则l/4.已知等差数列 的前 项和为 ，则数列 的前 100 项的和为（ ）na34,10nSa1nSA. B. C. D. 20110 2015. 若 ，且 ，则 的最小值为（ ）,xy28xyxyA. B. C. D. 81416646. 是 所在平面内一点， ，则 是点 在DABC ,ADBCR01,D内部（不含边界）的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要7. 已知 的三个内角 的大小依次成等差数列，角 的对边分别是 ，并且函数,ABC,AB,abc的值域是 ，则 的面积是 （ ）2fxac0A.

3、B. C. 3433 D. 38. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. 32B. 532C. D. 7329. 设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）0.6a1.5b0.6c,abcA. B. C. D. cabbca10.已知函数 是定义域为 R的偶函数. 当 时， .若关于 x的()yfx0x5sin() 01)42()1 xxf方程 （ ）,有且仅有 6 个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）2()()0fafbaaA B 59,49(,1)4C D()(,1)25211. 已知函数 是定义在 的可导函数， 为其导函数，当 且 时， fx0,fx0x1x,若曲线 在

4、 处的切线的斜率为 ,则 （ ）1fyfx1341fA. 0 B. 1 C. D. 38512.已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ）alnfxax12,()xA. B. 12,fxf10,ffC. D. 102x二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13. 在等比数列 中， ，则 _na32,a1207a14. 在平面内, ，若动点 满足 ，则 的最小值6ABCAB,PM2,APMCB是_15. 已知区域 ，则圆 与区域 有公共点，则实数 的取值范2:01yDx22:CxayDa围是_.16. 在三棱锥 中， 是边长为 3 的等边三角形， ，二面角S

5、ABAB3,2SAB的大小为 120，则此三棱锥的外接球的表面积为_C三、解答题(本大题共 70 分=10 分+125 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. （本题满分 10 分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知ABCBCabcBcos4)cosin3)(cosin3( （）求角 的大小；（）若 ，且 是锐角三角形，求实数 的取值范围psiiABp18.（本题满分 12 分） 如图， ABC的外接圆 OA的半径为 5， CDOA所在的平面， /BECD，4CD， 2B，且 1E， tan2（1）求证：平面 平面 ABD（2）试问线段 上是否存在点 ，使得直线

6、与平面 所成角的正弦值为 27？若存在，确定点MACD的位置，若不存在，请说明理由M19. （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 ，设 ，向cos,ine,(0)OAe量 cos,sin2OB（1）若 ，求向量 与 的夹角；6OAB（2）若 对任意实数 都成立，求实数 的取值范围AB,20. （本题满分 12 分）如图，已知四棱锥 PABCD的底面的菱形， 60BCD，点 E是 BC边的中点， ACDE与 交于点 O， 平 面（1）求证： PBC；（2）若 63,2PAC， 求 二 面 角 的大小；（3）在（2）的条件下，求异面直线 B与 DE所成角的余弦值。21. （

7、本题满分 12 分）已知数列 的前 项和 满足： .nanS21na（1）数列 的通项公式；na（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： .1nnbnbnT3n22. （本题满分 12 分）已知函数 .21lnfxmx（1）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；fx（2）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值.12,()fx7212fxf南昌二中 20172018 学年度上学期第五次考试高三数学（理）试卷参考答案1已知集合 ， ，则 （ ）|lgAxy2|30BxABA. B. C. D. 0,31,0,0,1,【答案】A2.已知 （ 是虚数单位） ，那么 的共轭复数对应的点位

8、于复平面内的( )23izizA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ， 3i23iz， 的共轭复数对应的点的坐标是ii2i 63i1i=2z z， 对应的点在第二象限，故选 B.13,2z3.若 、n 是互不相同的空间直线， 、 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）lA. 若 ，则 B. 若 ，则/,ln/ln,llC. 若 则 D. 若 ，则l,/l【答案】D【解析】对于 A，由 可得 或 与 异面，故 A 不正确；/,lnlnl对于 B，由 可得 与 的位置关系有相交、平行、在 内三种，故 B 不正确；,l对于 C，由 可得 与 的位置

9、关系不确定，故 C 不正确；/l对于 D，由 ，设经过 的平面与 相交于直线 ，则 ，又因为 ，故 ，又因为 ，l cllcc所以 ，故 D 正确.故选 D.4.已知等差数列 的前 项和为 ，则数列 的前 100 项的和为（ ）na34,10nSa1nSA. B. C. D. 2011021【答案】A【解析】 143414232, , 5,2aaSaa所以等差数列 的公差 ，通项公式为 n312,ddn，则其前 项和为 1=,2nnSSn则数列 的前 项的和为 故选 A1n01120.2301 5.若 ，且 ，则 的最小值为（ ）,xy280xyxyA. B. C. D. 81464【答案】D

10、【解析】 （1） ，且， ， ， ，当且仅当时取等号，故 的最小值为 64，故选 D. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“ 定”“等”的条件6. 是 所在平面内一点， ，则 是点 在DABC ,ADBCR01,D内部（不含边界）的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】若 ，点 在 内部，则

11、 ，反之不成立，例,ADBCRDABC01,如 时，点 为边 的中点， 是点 在 内部， （不含边界）的必1201,DABC要不充分条件，故选 B.7.已知 的三个内角 的大小依次成等差数列，角 的对边分别是 ，并且函数ABC,ABC, ,abc的值域是 ，则 的面积是 （ ） 2fxac0ABA. B. C. D. 343【答案】A【解析】在 C 中， ，角 依次成等差数列， ，解得 ，BAC、 、 1802ABC 60B函数 的值域是 ，即函数 的最小值 2fxac0,fx4,acac则 的面积 ABC13sin4SB故选 A8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. B

12、. C. D. 3253232732【答案】D【解析】由三视图可知，几何体为下面一个直三棱柱，上面一个三棱锥三棱柱的底面面积为： ，侧面积为： ；12212三棱锥的侧面积为： .334该几何体的表面积是 .72故选 D.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何

13、体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图9.设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）0.6a1.5b0.6c,abcA. B. C. D. caa【答案】C【解析】因为 是减函数，所以 ，又 是 上的增函数，故0.6xy0.61.5ab0.6yx,，综上 ，故选 C.0.6.15cabc点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁

14、”作用，来比0,1较大小10.已知函数 是定义域为 R的偶函数. 当 时， .若关于 x的()yfx0x5sin() 01)42()1 xxf方程 （ ）,有且仅有 6 个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）2()()0fafbaaA B C D59,49,1)459(,)(,1)245(,1)2【答案】C【解析】试题分析：作出 的图象如下，5sin() 01)42()1 xxf又函数 y=f（x）是定义域为 R 的偶函数，且关于 x 的方程 ， a，bR 有且仅有 6 个不同实数根，2()()0fafxx 2+ax+b=0 的两根分别为 或 ；451,2451,2x由韦达定理可得 ，x21

15、若 ，则 ，即 ；45,1x9a92a若 ，则 ，即 ；02x41从而可知 或 ；a1故选 C考点：根的存在性及根的个数判断11.已知函数 是定义在 的可导函数， 为其导函数，当 且 时， fx0,fx0x1x，若曲线 在 处的切线的斜率为 ，则 （ ）21fyfx1341fA. 0 B. 1 C. D. 3815【答案】C【解析】当 且 时， ，可得：x 201fxf时， 1 20ff（ ） （ ） ；时， 0x x（ ） （ ） 令 可得： 时，2gf（ ） （ ） ， （ ， ） 2 gxfxffxf（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 1x； 时， x（ ） 10x 0（ ） 可得：

16、函数 在 处取得极值， gx（ ） 1 312104gff（ ） （ ） （ ） ， （ ） ，31248f（ ）故答案为 812.已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ） alnfxax12,()xA. B. 1210,fxf120,ffC. D. x【答案】D【解析】求导得: .易得 在点 P（1，0）处的切线为 .当 时，ln21fxalnyx1yx02a直线 与曲线 交于不同两点（如下图） ，且 ，21yay 2x. 11111ln20fxaxax.选 D222222lnlln1l 2xf 点睛：比较函数值大小,一般作差,利用条件等量代换,将差转化为一元函数,再利用导数研究差函数单

17、调性或最值,根据单调性或最值确定差的符号,即大小关系.13.在等比数列 中， ，则 _na32,a1207a【答案】 89【解析】依题意知等比数列 的公比 ，na32qa故 .120120667189aaqq14.在平面内, ，若动点 满足 ，则 的最小值ABCAB,PM2,APMCB是_【答案】2【解析】由 得三角形 ABC 为等边三角形，且边长为 ，以 AC 所在直线ABAB 23为 x 轴，AC 中点为坐标原点建系，则 ，3,0,0,3,2CBMxyPxy设因此 ，所以 222231yxy115.已知区域 ，则圆 与区域 有公共点，则实数 的取值范:01Dxy22:aDa围是_.思路：先

18、在坐标系中作出区域 ，圆 的圆心为 ，半C,2a径为 ，所2以只需确定圆心的取值范围即可，通过左右平移圆可观察到 圆 与直线C和 相切是 取值的临界条1:20lxy2:10lxy 件。当圆与相切时，则 ，12Clad由圆心位置可得 ；当圆与 相切时，a2:l，所以 235Cld,5答案： ,a16.在三棱锥 中， 是边长为 3 的等边三角形， ，二面角SABABC3,2SAB的大小为 120，则此三棱锥的外接球的表面积为_C【答案】 21【解析】由题可得：球心 O 在过底面 的中心 G 的垂直底面的直线上，又二面角 的大小SC为 120，取 AB 的中点为 M，SB 的中点为 N，故 ,又12

19、0M,过 M 做 MH=GO，且 MH 垂直底面，所以33120, ,2NGC， ,故球的半径为 ,所以球的表面积为32MHGO22314R2118. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知ABCBCabcCBosc4)osin3)(cosin3( （）求角 的大小；（）若 ，且 是锐角三角形，求实数 的取值范围pBsiiAp【答案】 （I） ；（II ） 3A21p【解析】试题分析：（）由已知及三角函数中的恒等变换应用得 ，从而可求得)cos(3)sin(3CB，即可解得 的大小；（）由已知得 ，由3)tan(CBA 21tan3i120iCp是锐角三角形， ，可求得 的取值范围

20、，即可解得实数 的取值范围ACtanp试题解析： （） 由题意得 BBCB cos4sinco3si3cossin3 )()(32ta3A（） 21tansin)120(si CCBp为锐角三角形，且3Atan261p考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理18.（本题满分 12 分） 如图， ABC的外接圆 OA的半径为 5， CDOA所在的平面， /BECD，4CD， 2B，且 1E， tan25AB（1）求证：平面 平面 ADCBE（2）试问线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 27？若存在，确定点EMACD的位置，若不存在，请说明理由M【答案】 （1）答案详见解析；

21、（2）存在，且 13E【解析】试题分析：（1）由已知中 CDO 所在的平面，BECD，易得 BE平面 ABC，则 BEAB，由BE=1， tan25AEB，易得 AB 是O 的直径，则 ACBC 由线面垂直的判定定理可得 CD平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面 ADC平面 BCDE；（2）方法一：过点 M 作 MNCD 于 N，连接 AN，作 MFCB 于 F，连接 AF，可得MAN 为 MA 与平面 ACD 所成的角，设 MN=x，则由直线AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 27，我们可以构造关于 x 的方程，解方程即可求出 x 值，进而得到点M 的位置方法二：建立如图所示空间直

22、角坐标系 C-xyz，求出平面 ABC 的法向量和直线 AM 的方向向量（含参数 ） ，由直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 27，根据向量夹角公式，我们可以构造关于 的方程，解方程即可得到 值，进而得到点 M 的位置试题解析：（1）CD 平面 ABC，BE/CD BE平面 ABC，BEABBE=1， tan25AEB 21AE，从而 O的半径为 ，AB 是直径，ACBC又CD 平面 ABC，CD BC，故 BC平面 ACDBC平面 BCDE，平面 ADC平面 BCDE（2）方法 1：假设点 M 存在，过点 M 作 MNCD 于 N，连结 AN，作 MFCB 于 F，连结 AF平面

23、ADC平面 BCDE，MN平面 ACD，MAN 为 MA 与平面 ACD 所成的角设 MN=x，计算易得，DN= 32x，MF= 342x故 2 22316(4)AMFACFMx22sin 7316(4)Nx解得： 8（舍去） 43x，11 分故 23CB，从而满足条件的点 存在，且 23DE方法 2：建立如图所示空间直角坐标系 Cxyz，Ox yzA BDECM则：A（4，0，0） ，B（0，2，0） ，D（0，0，4） ，E （0，2，1） ，O （0，0，0） ，则 (0,23)DE易知平面 ABC 的法向量为 (,2)，假设 M 点存在，设 (,)abc，则 4Mabc，再设,(0,1

24、DME434aabbcc，即 (,243)，从而 (,2)A10 分设直线 BM 与平面 ABD 所成的角为 ，则：22sinco, 7164(3)MOBA解得 423或 ，其中 0,1应舍去，而 2(0,13故满足条件的点 M 存在，且点 M 的坐标为 (0,)考点：1、面面垂直的判定；2、直线和平面所成的角19.在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 ，设 ，向量cos,ine,(0)OAecos,sin2OB（1）若 ，求向量 与 的夹角；6OAB（2）若 对任意实数 都成立，求实数 的取值范围A,【答案】 （1） （2）3【解析】试题分析：（1）根据向量夹角公式 得 ,再将 代入cos

25、OABcosin6得 ,即得向量 与 的夹角为 .（2）先根据向量的模化简 得1cosin62OAB32ABO,分类变量得 ,根据恒成立条件得 ，解不等式得实2i302sin31数 的取值范围试题解析：解：（1）由题意， ， ，cos,i(0)OA sin,coOB所以 ， ，OA1B设向量 与 的夹角为 , 所以 .cosinsicocos sin1AB 因为 ，即 ，所以 . 66si62又因为 ，所以 ,即向量 与 的夹角为 . 0,3OAB3（2）因为 对任意实数 都成立，而 ,2AB1所以 ，即 任意实数 都成立. . 424,因为 ，所以 任意实数 都成立.O30OAB 所以 任意

26、实数 都成立. 2sin,因为 ，所以 任意实数 都成立.023sin,所以 ，即 ， 2120又因为 ，所以0320.如图，已知四棱锥 PABCD的底面的菱形， 60BCD，点 E是 BC边的中点， ADE与 交于点O， 平 面（1）求证： PDBC；（2）若 63,2APADC， 求 二 面 角 的大小；（3）在（2）的条件下，求异面直线 B与 E所成角的余弦值。【答案】 （1） （2） （3） 4【解析】试题分析：（1）因 为 平 面 ， 所 以 是 在 平 面 内 的 射 影 ， 要 证 ，POABCDEPABCDPDBC只 要 证 ， 连 结 ， 由 题 设 易 知 三 角 形 为

27、正 三 角 形 ， 而 是 其 边 上 的 中 线 ， 所 以DEBC E.（2）由（1）知， ,而且 ，可以发现 为二面角 的平,E/POA面角，再利用直角三角形 求其大小；PO（3）取 中点 ，连结 易证 ， 与 所成的角就是 与 的ADH,B/HBDEBDEPB成的角；先利用勾股定理求出 ,再用余弦定理求解.试题解析：解答一：（1）在菱形 AC中，连接 ,则 C是等边三角形。点 是边 的中点EBCD平面POA是斜线 在底面 内的射影ODPABCD（2） DEBC由 （ 1） 知菱形 中,AB/又 平面 , 是 在平面 内的射影POPABCDD为二面角 的平面角AD在菱形 中, ，由（1）

28、知， 等边三角形BCE点 是 边的中点， 与 互相平分EB点 是 的重心O63A又 在等边三角形 中，DC2363DEB6OC2,P所以在 中，Rt6tan1POD4D二面角 的大小为 .PAC4(3)取 中点 ，连结 ，HBP则 /BE与 所成角 与 所成角D连结 ,OHB平面 , 、 平面PACDOBACD,在 中,Rt3,637OH在 中,tD29POH在 中,RB26, 6CBP由（2）可知， 9E设 与 所成的角为HP则22cos4HB所以异面直线 、 所成角的余弦值为PDE2解法二：（1）同解法一；（2）过点 O作 AD平行线交 B于 F,以点 O为坐标原点 ,建立如图的坐标系63

29、,0,3,30,60,CDP06,P设平面 的一个法向量为Asamn则 ,即0sPDA603amn0amn不妨设 ,106OPC2cos,|sPO二面角 AD的大小为 4（3）由已知，可得点 (0,3)E(,6)9.2cos4|PBPBD即异面直线 E、 所成角的余弦值为考点：1、三垂线定理；2、二面角及其平面角；3、异面直线所成的角.21.已知数列 的前 项和 满足： .nanS21na（1）数列 的通项公式；（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： .1nnbanbnT13n【答案】 （1） （2）见解析*3nN，【解析】试题分析：（1）根据当 时， ，得到数列 的递推关系式 ，再1nn

30、aSna13na根据等比数列定义及通项公式求数列 的通项公式；（2）将数列 的通项公式代入 化简得n b,再根据大小关系放缩为 ，最后利用裂项相消法求和13nnb 1133nnb得 2311n nnT试题解析：（）解：当 时， ，所以 ， 112a13a当 时， ，即 ， ， ， 2n1nnaS1nn1n3n所以数列 是首项为 ，公比也为 的等比数列， na13所以 . *13nn N，（）证明： 11 133nnnn nab 由 ， 1133nnn,所以 ， b所以 122311133nn nnTb 因为 ，所以 ，即 103n1nnT点睛：给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转

31、化为 的递推关系，Snaa1,2nnaSna再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式nSn时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合1, 2nnaS1,2在一起.22.已知函数 .21lnfxmx（1）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；（2）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值.12,()xfx72m12fxf【答案】 （1） （2）3m15ln8【解析】试题分析：（1）函数 存在单调递减区间，等价于 在 上有解，即fx0fx，在 上有解，根据实根分布可得 解不等式可得实数 的210x， 21(m)4， ，

32、m取值范围；（2） 为 两根，所以 代入 消 化简12,x10mx12x， 12fxf得 令 ，转化研究函数 最小值，先根据 ，确定自1122ln12tlnhtt7变量取值范围： ，再利用导数研究函数单调性： 在 上单调递减，进而确定函数最104tht104，小值.试题解析：（）因为 ，21lnfxmx所以 ， 1fxm又因为 在 上有解， 0f，令 ，则 ，21gxx01g只需 20(m)4， ，解得 即 13，或 ， 3（）因为 ，令 ，即 ，21xf0fx210mx两根分别为 ，则 12， 12mx，又因为 2 21211 2ln1lnfxfxxx2 211121122 2l lx 21

33、11112222lnlnlnxxxx令 ，由于 ，所以 12tx10t又因为 ， ，7m221514xm即 即 ，2121x， t所以 ，解得 或 ，即 2470t4t1104t令 ，11ln(0)24httt，222 0ttt 所以 在 上单调递减， ht104， min 15l42ln8t所以 的最小值为 12fxfl点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 在该区间yfx0fxyfx为增函数；如果 ，则 在该区间为减函数 .0fx(2)函数单调性问题包括：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.