1、2018 届河北省定州中学高中毕业班上学期期中考试数学试题（解析版）一、选择题1. 设向量 满足 ， ， ，则 的最大值等于（ ）a,b,c |a|=|b|=2 ab=-2 a-c,b-c=60 |c|A. 4 B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】由 ， ， ，可得 |a|=|b|=2 ab=-2 (a-c,b-c)=60，如图所示，设 则cosa,b=12,a,b=120， A,O,B,C 四点共圆, AOB+ACB=180,由三角形的正弦定理得外接圆的直径|AB|=23,当 OC 为直径时,它的模 最大,最大为 4,故选 A.2R=ABsinACB=4 |c|2. 已知定义在 上的奇
2、函数 的导函数为 ，当 时， 满足， ，则 在 上的f(x) x0 (x0,y0)， ，所以 ，解得 ，所以 ，故选 Alnx0=aex01 1x0=aex0 lnx0=1x01 x0=1,a=1e 00,6Sn=an2+3an(nN*)恒成立，则 的最小值是（ ）nN*,kTn kA. B. C. D. 17 149 49 8441【答案】B【解析】当 时， ，解得 或 ，由 得 ，由 ，得n=1 6a1=a21+3a1 a1=3 a1=0 an0 a1=3 6Sn=a2n+3an，两式相减得 ， ，6Sn+1=a2n+1+3an+1 6an+1=a 2n+1an2+3an+13an (an
3、+1+an)(an+1an3)=0，即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，an0an+1+an0,an+1an=3 an 3 3， ，an=3+3(n1)=3nbn= 2an(2an1)(2an+11)= 8n(8n1)(8n+11)=17( 18n1 18n+11)，要使 恒成立，只需 ，即 的Tn=17(1811821+ 18211831+.+ 18n1 18n+11)=17(17 18n+11)Tn k149 k最小值是 ，故选 B.149【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：
4、；1n(n+k)=1k(1n1n+k) ； ；1n+k+n=1k( n+kn) ；此外，一些有关三角函数、等比数列的求和题型，也可以利用裂项相消1n(n+1)(n+2)=12 1n(n+1) 1(n+1)(n+2)法求解.9. 已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 （是自然对数的底数） ，f(x) f(x) x f(x)=ex(2x+3)+f(x)，若不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是（ ）f(0)=1 f(x)k0 x(e,+) g(x)b0),A,B AB x P(x0,0) x0取值范围是_ （用 表示）a,b【答案】 (a2b2a,a2b2a)【解析】设 的坐标
5、分别为 和 因线段 的垂直平分线与 轴相交，故 不平行A、B （x1，y1） （x2，y2） AB x AB于 轴，即 又交点为 ，故 ，即 y x1x2 P（x0，0） |PA|=|PB| （x1x0）2+y12=（x2x0）2+y22 A、B在椭圆上， y21 b2b2a2x21，y22 b2b2a2x22将上式代入，得 2（x2x1）x0=(x22x21)a2b2a2，可得 x1x2 x0x1+x22 a2b2a2且 ，ax1a，ax2a， x1x22a x1+x2 2a，a2b2a x0 a2b2a即答案为 (-a2-b2a ,a2-b2a )14. 已知圆 与曲线 有唯一的公共点，且
6、公共点的横坐标为 ，若 ，C:x2+(y1)2=r2 y=sinx 2sin24cos=则 _=【答案】 4【解析】由题，圆 与曲线 有唯一的公共点得到这两条曲线相切，则对两条曲线求C:x2+(y-1)2=r2 y=sinx导得 ，由此可得 ，则2x+2y(y1)=0,y=cosx =(1sin)cos由 可得 2sin2-4cos= =2sin24cos =4sincos4cos(1sin)cos =4cos(sin1)(1sin)cos=4故答案为 -415. 已知 ，若关于 x 的方程 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数f(x)=x|lnx| (f(x)2(2m+1)f(x)+m2+m
7、=0m 的取值范围是_ .【答案】 (e1,e)【解析】 f(x)=x|lnx|f(x)=xlnx，01 f(x)=1lnxln2x，01 当 或 时， ，当 时，0e f(x)0 1e f(x)=t关于 的方程 ，恰好有 4 个不相等实数根x f2(x)(2m+1)f(x)+m2+m=0关于的方程 在 和 上各有一解t2(2m+1)t+m2+m=0 (0，e) (e，+) ，解得 ，故答案为m2+m0e2(2m+1)e+m2+m0)（1）当 在 处取得极值时，若关于 x 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数y=f(x) x=12 f(x)b=0 0,2b 的取值范围.（2）若对任意的
8、 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.a(1,2) x012,1 f(x)m(a2+2a3)【答案】(1) ;(2) .34m(a2+2a-3) h(a) h(a) m h(a)单调性，即可求出 的取值范围 .m试题解析：（1） ，即 ，又 所以 ，此时f(x)= a1+ax+2x-a,f(12)= a1+12a+1-a=0 a2-a-2=0 a0 a=2，所以 上递减， 上递增，f(x)=2x(2x-1)1+2x x0,12 x12,2又 ，所以f(0)=ln12,f(12)=-34,f(2)=ln52 -34m(a2+2a-3)设 ，h(a)=ln(12+12a)+1-a-m(
9、a2+2a-3)(10 (a+1)24a若 ，可知 在区间 上单调递增，在此区间上有 满足要求m-18 h(a) (1,2) h(a)h(1)=0若 ，可知 在区间 上递减，在此区间上有 ，与 恒成立相-180矛盾，所以实数 的取值范围是 .m (-,-18点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.18. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆
10、，如图所示，斜率为 且不过原点的直线交椭圆xOy C:x23+y2=1 k(k0)于两点 ，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，交直线 于点 .C A,B AB E OE C G x=3 D(3,m)（1）求 的最小值；m2+k2（2）若 ，求证：直线过定点.|OG|2=|OD|OE|【答案】(1)2;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）设 ，联立直线和椭圆方程，消去 ，得到关于的 一元二次方程，利用韦达定理，求出点 的坐标和 所在直线方程，求点 的坐标，利用基本不等式即可求得 的最小值；（2）由（1）知 所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点 的坐标，并代入 ，得到 ，因此得证直线过定点
11、；试题解析：（1）设直线的方程为 ，由题意， ，y=kx+t(k0) t0由方程组 ，得 ，y=kx+tx23+y2=1 (3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0由题意 ，所以 ，0 3k2+1t2设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)由根与系数的关系得 ，所以 ，x1+x2=-6kt3k2+1 y1+y2= 2t3k2+1由于 为线段 的中点，因此 ，E AB xE=-3kt3k2+1,yE= t3k2+1此时 ，所以 所在直线的方程为 ，kOE=yExE=-13k OE y=-13kx又由题意知 ，令 ，得 ，即 ，D(-3,m) x=-3 m=1k mk=1所以 ，当且仅当 时上式
12、等号成立，m2+k22mk=2 m=k=1此时由 得 ，因此当 且 时， 取最小值 .0 00 G(-3k3k2+1, 13k2+1)又 ，E(-3kt3k2+1, t3k2+1),D(-3,1k)由距离公式及 得t0， ，|OG|2=(- 3k3k2+1)2+( 13k2+1)2=9k2+13k2+1 |OD|= (-3)2+(1k)2=9k2+1k，|OE|=(- 3kt3k2+1)2+( t3k2+1)2=t9k2+13k2+1由 ，得 ，|OG|2=|OD|OE| t=k因此直线的方程为 ，所以直线恒过定点 .y=k(x+1) (-1,0)19. 已知函数 ，且 f(x)=m2xx2m
13、 m0（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；m=1 (0 ， 0)（）求函数 的单调区间；f(x)（）若函数 有最值，写出 的取值范围 （只需写出结论）f(x) m【答案】 （1） 在 处的切线方程为 ；（2）当 时， 的单调递减区间为f(x) x=0 x+y=0 m0 f(x)；当 时，故 的单调递减区间为 ， ，单调递增区(,m),(m, m),( m,+) m0 (-,- m)(- m, m)( m,+)且 f(x)=-m2x2+m(x2-m)20 f(x)当 时，故 的单调递减区间为 ， ，m0) M C M于第一象限内时， 外接圆的圆心到抛物线 准线的距离为 .OFM C32（1）
14、求抛物线 的方程；C（2）过 的直线交抛物线 于 两点，且 ，点 为 轴上一点，且 ，求K(1,0) C A,B G x |GA|=|GB|点 的横坐标 的取值范围.G x0【答案】 （1） （2） 。C:y2=4px 134,113【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义与圆的性质，可求出圆心 到准线的距离用 表示，可得 值； Q p p（2）设 ，再由向量间关系可得坐标间关系，令直线 与抛物线方程联立，A(x1,y1),B(x2,y2), l:x=my-1利用韦达定理，可得 中点坐标，求出直线 的垂直平分线方程，可求得 点横坐标，进一AB AB G步求出其取值范围试题解析：根据题意，点 在 的垂直平分线上，Q FO所以点 到准线的距离为 ，Qp4+p2=32p=2所以 .C:y2=4px（2）设 ，A(x1,y1),B(x2,y2),KA=KBy1=y2设直线 代入到 中得 ，l:x=my-1 y2=4px y2-4my+4=0所以 ，y1+y2=4m=(1+)y2,y1y2=y224m=(1+)2 +1+292,163又 中点 ，AB (2m2-1,2m)所以直线 的垂直平分线的方程为 ，AB y-2m=-mx-(2m2-1)可得 .x0=2m2+1134,113
