1、2018 届江苏省苏州市第五中学高三上学期期初考试数学（理）试题（解析版）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上1. 命题:“ ”的否定是_【答案】【解析】【分析】根据“ ”的否定是“ ”得结果 .【详解】命题:“ ”的否定是 .【点睛】对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；对原命题的结论进行否定.2. 已知 ，为虚数单位， ，则 _【答案】2【解析】由复数的运算法则： ，结合复数相等的充要条件有： ，即 ，则 2.3. 已知向量 ，则“ ”是“
2、m=1”的_条件【答案】必要非充分【解析】【分析】先根据向量平行坐标表示得 m 取值范围，再根据包含关系判定充要关系.【详解】因为 ，所以 或 ，因此 是“m=1”的必要非充分条件【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件4. 已知平行直线 ，则 与 之间的距离为_【答案】【解析】【分析】根据两平行直线之间距离
3、公式求结果.【详解】 即所以 与 之间的距离为【点睛】两平行直线 之间距离等于 ，注意运用此公式需将两直线的 系数化为一样.5. 已知向量 ，若 ，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据 求最小值.【详解】因为 ，所以 ，即 的最小值为 .【点睛】利用向量不等式 求最值，运用的条件一般已知两向量的模.6. 若 的二项展开式的各项系数之和为 729，则该展开式中常数项的值为_【答案】160【解析】【分析】先根据赋值法求 n，再根据二项展开式通项公式求常数项.【详解】令 x=1，则所以因此常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，
4、再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.7. 从集合 中随机选取一个数，从集合 中随机选取一个数 ，则的概率是_【答案】【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求结果.【详解】从集合 中随机选取一个数，有 5 种方法；从集合 中随机选取一个数 ，有 3 种方法，共有 53=15 种方法，其中 有 1+2+3=6 种方法，因此 的概率是【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图
5、法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8. 设正三棱锥 的底面边长和侧棱长均为 4，点 分别为棱 , , , 的中点，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】先求正三棱锥 体积，再比较三棱锥 与正三棱锥 高与底面积的关系得结果.【详解】因为正三棱锥 的底面边长和侧棱长均为 4，所以正三棱锥 体积为又三棱锥 的底面积为正三棱锥 底面积四分之一，三棱锥 的高为正三棱锥 的高二分之一，因此三棱锥 的体积为【点睛】求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已
6、知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法的前提是几何图形(或几何体) 的面积(或体积)通过已知条件可以得到.9. 用数学归纳法证明“ ”从 到 左端需增乘的代数式为_【答案】【解析】【分析】比较 与 左端项的关系，确定增乘的代数式.【详解】 左端等于;左端等于 ;所以需增乘的代数式为【点睛】本题考查数学归纳法，着重考查观察比较能力.10. 集合 中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为 ，如：；则 =_ （写出计算结果）【答案】546【解析】试题分析：由 归纳得出 ，则 ，又， 考点：归纳与推理【知识点睛】根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推
7、理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法11. 设椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在该椭圆上，则使得 F1F2P 是等腰三角形的点 P 的个数是_【答案】6【解析】【分析】根据顶点分类讨论等腰三角形，结合椭圆对称性确定等腰三角形个数.【详解】若 P 为顶点，则 P 为短轴端点时满足条件，有两个， （不是等边三角形）若 F1 为顶点，则满足条件的也有两个，若 F2 为顶点，则满足条件的也有两个，因此满足条件的点 P 的个数是 6.【点睛】本题考查椭圆几何性质，考查分类讨论思想方法.12. 在平面
8、直角坐标 xOy 中，已知 A(1，0) ，B(4，0)，直线 xy+m=0 上存在唯一的点 P 满足 ，则实数m 的取值集合是_【答案】【解析】【分析】先根据 得 P 的轨迹为一个圆，再根据题意得此圆与直线 xy+m=0 相切得结果.【详解】设 P(x,y),则由 得 ，根据题意得此圆与直线 xy+m=0 相切，即即实数 m 的取值集合是【点睛】本题考查圆的第二定义，考查直线与圆相切位置关系.13. 已知圆 与圆 相交于 两点，且满足 ，则 _【答案】【解析】试题分析：两圆公共弦 所在直线方程为 ，设其中一圆的圆心为 ， ， ，得 考点：圆与圆的位置关系.方法点睛：本题形式上考查了圆圆的位置
9、关系，但本质上还要转化为直线与圆的位置关系问题，考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题.本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“ ”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了 两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了.14. 已知函数 在(0,e) 上是增函数，函数 =| |+ 在0,ln3上的最大值 M 与最小值 m 的差为 ，则 a=_【答案】【解析】【分析】先根据 单调性确定 a 取值范围， 再根据 a 大小讨论 最值取法，最后根据条件解出 a 的值.【详解】因为函数
10、在(0,e)上是增函数，因为 ，所以 ；所以当 时 =| |+ = + ，即 + + ,不合题意，舍去；因此；由 .【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等） ，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.二、解答题：本大题共 6 小题；共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在斜三棱柱 中， ，平面 底面 ，点 、D 分别是线段 、BC 的中点、（1）求证： ； （2 ）求证：AD/平面 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意证得 AD平面
11、 ，结合线面垂直的定义可得 ADCC 1(2)利用题意可得 EM / AD，结合题意和线面平行的判断法则即可证得结论.试题解析：证明：（1）AB AC，点 D 是线段 BC 的中点，ADBC又平面 底面 ，AD 平面 ABC，平面 底面 ，AD平面 又 CC1 平面 ，ADCC 1 （2）连结 B1C 与 BC1交于点 E，连结 EM，DE在斜三棱柱 中，四边形 BCC1B1是平行四边点 E 为 B1C 的中点点 D 是 BC 的中点，DE/B 1B，DE B1B 10 分又点 M 是平行四边形 BCC1B1边 AA1的中点，AM/B 1B，AM B1BAM/ DE，AM DE四边形 ADEM
12、 是平行四边形EM / AD又 EM 平面 MBC1，AD 平面 MBC1，AD /平面 MBC1点睛：用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“ 形”转“数”的转化思想16. 如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CA4，CB4，CC 12 ， ACB90，点 M 在线段 A1B1 上.(1)若 A1M3MB 1，求异面直线 AM 和 A1C 所成角的余弦值；(2)若直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30，试确定点 M 的位置【答案】 （1） ；
13、（2）见解析【解析】试题分析：本题考查用空间向量法解决立体几何问题，最简单的方法是建立空间直角坐标系，如以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CC 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标， （1）求得相应向量，异面直线 AM 和 A1C 所成角的余弦值就是 cos ， 的绝对值；（2）先求得平面 ABC1 的法向量为 n，因为点 M 在线段 A1B1 上，可设 M(x,4x,2 )，利用法向量 n 与向量的夹角（锐角）与直线和平面所成的角互余可得，即由|cosn， | 可求得 ，从而确定 的位置试题解析:方法一 (坐标法)以 C 为坐标原点，分别以
14、 CA，CB ，CC 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(4,0,0)，A 1(4,0,2 )，B 1(0,4，2 ).(1)因为 A1M3MB 1，所以 M(1,3,2 ).所以 (4,0,2 ), ( 3,3,2 ).所以 cos ， .所以异面直线 AM 和 A1C 所成角的余弦值为 .(2)由 A(4,0,0)，B(0,4,0)，C 1(0,0,2 )，知 ( 4,4,0)， (4,0,2 ).设平面 ABC1 的法向量为 n(a，b，c) ，由 得令 a1，则 b1，c ，所以平面 ABC1 的一个法向量为 n(1,1 ，
15、).因为点 M 在线段 A1B1 上，所以可设 M(x,4x,2 )，所以 (x4,4x,2 ).因为直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30，所以|cosn， | sin 30 .由|n |n| |cosn， |，得|1 (x4)1 (4x) 2 |2 ，解得 x2 或 x6.因为点 M 在线段 A1B1 上，所以 x2，即点 M(2,2,2 )是线段 A1B1 的中点.方法二 (选基底法)由题意得 CC1CA，CACB，CC 1CB，取 ， ， 作为一组基底，则有| | |4，| |2 ，且 0.(1)由 3 ，则 ， ，且| | ，且| |2 ， 4cos ， .即异面直线 AM 与
16、 A1C 所成角的余弦值为 .(2)设 A1MA 1B1，则 .又 ， ，设面 ABC1 的法向量为 nx y z ，则 8z16x0， 16y16x0，不妨取 xy1，z2，则 n 2 且|n|8，| | ， 16，又 AM 与面 ABC1 所成的角为 30，则应有 ，得 ，即 M 为 A1B1 的中点.考点：用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角【名师点睛】1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 所成的角 满足 cos = |cos| .(2)设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面
17、所成的角 满足 sin = |cos| .(3)求二面角的大小如图 ,AB,CD 是二面角 -l- 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 =如图,n 1,n2 分别是二面角 -l- 的两个半平面 , 的法向量,则二面角的大小 满足 cos = cos或-cos .17. 已知圆 O： 与 轴负半轴的交点为 A，点 P 在直线 l： 上，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 T（1 ）若 a8，切点 ,求直线 AP 的方程；（2 ）若 PA=2PT，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由于 ,因此关键求点 P 坐标，这可利用方程组求解，一是由 OT
18、PT 得，二是根据点 P 在直线上，即 ，解得 最后根据两点式求直线 AP 的方程；（2）由 PA2PT ，可得点 P 的轨迹是一个圆 ，因此由直线 与圆有交点得 ，解得试题解析：（1）由题意，直线 PT 切于点 T，则 OTPT，又切点 T 的坐标为 ，所以 ，故直线 PT 的方程为 ，即 .联立直线 l 和 PT， 解得 即，所以直线 AP 的斜率为 ，故直线 AP 的方程为 ，即，即 .（2）设 ，由 PA2PT，可得 ，即 ，即满足 PA2PT 的点 P 的轨迹是一个圆 ，所以问题可转化为直线 与圆 有公共点，所以 ，即 ，解得.考点：直线方程，直线与圆位置关系18. 某篮球运动员每次
19、在罚球线投篮投进的概率是 0.8，且各次投篮的结果互不影响（1 ） 假设这名运动员投篮 3 次，求恰有 2 次投进的概率（结果用分数表示） ；（2 ） 假设这名运动员投篮 3 次，每次投进得 1 分，未投进得 0 分；在 3 次投篮中，若有 2 次连续投进，而另外一次未投进，则额外加 1 分；若 3 次全投进，则额外加 3 分，记为该篮球运动员投篮 3 次后的总分数，求的分布列及数学期望 （结果用分数表示） 【答案】 （1）0.384；（2）见解析【解析】【分析】(1)先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果， （2）先确定随机变量取法，再求对应概率，列表可得分布列，最后根据数
20、学期望公式求期望.【详解】 （1）设 为该运动员在 3 次投篮中投进的次数，则 . 在 3 次投篮中，恰有 2 次投进的概率;（2）由题意可知，的所有可能取值为 0,1,2,3,6., ; ;.所以的分布列是0 1 2 3 6P 0.008 0.096 0.128 0.256 0.512.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取
21、每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19. 已知函数 （1 ）若函数 的图象在 处的切线经过点 ，求的值；（2 ）是否存在负整数，使函数 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2 ）不存在【解
22、析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，最后根据切线过点 ，求的值；（2）先根据导函数确定极值点 范围，再根据极大值条件以及极大值为正数条件列不等式组，得，最后根据导数求 最小值，得到 a 的取值范围，但无整数解，所以不存在负整数满足条件【详解】 （1） , 函数 在 处的切线方程为： ，又直线过点 ，解得： （2 ）若 ， ，当 时， 恒成立，函数在 上无极值；当 时， 恒成立，函数在 上无极值； 在 上，若 在 处取得符合条件的极大值 ，则 ，则 ，由（3 ）得： ，代入（2 ）得： ，结合（1）可解得： ，再由得： ，设 ，则 ，当 时， ，即 是
23、增函数，所以 ，又 ，故当极大值为正数时， ，从而不存在负整数满足条件【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20. 已知矩阵 ，A 的逆矩阵 ，求 A 的特征值【答案】3 和 1【解析】【分析】先根据 求 a，再根据特征多项式求 A 的特征值【详解】 则 解之得的特征多项式令 ，解之得的特征值为 3 和 1【点睛】本题考查逆矩阵定义以及特征值，考查基本求解能力.21. 已知，点 在变换 : 作用后，再绕原点逆时针旋转 ，得到点 若
24、点 的坐标为，求点 的坐标【答案】【解析】【分析】先根据伸缩变换以及旋转变换得 ，再根据对应点关系求结果.【详解】 设 ，则由 ，得 所以 ，即 【点睛】本题考查伸缩变换以及旋转变换，考查基本求解能力 .22. 已知点 P 在曲线 C： （为参数）上，直线 l： （t 为参数） ，求 P 到直线 l 距离的最小值【答案】【解析】【分析】先根据加减消元法消参数得直线 l 化为普通方程，再根据点到直线距离公式得 P 到直线 l 距离，最后根据三角函数有界性求最小值.【详解】将直线 l 化为普通方程为：x y60 则 P(4cos，3sin) 到直线 l 的距离 d ，其中 tan 所以当 cos(
25、)1 时，d min ，即点 P 到直线 l 的距离的最小值为 【点睛】利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程： ， 圆参数方程： ，直线参数方程：.23. 若以直角坐标系 的 为极点， 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 的极坐标方程是 （1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2 ）若直线的参数方程为 （为参数） ，当直线与曲线 相交于 两点，求线段 的长【答案】 （1）见解析；（2）8【解析】试题分析：(1)将极坐标方程化简为直角坐标方程可得曲线是以原点为顶点， 为焦点的抛物线；(2)利用弦长公式可得线段 的长为 8.试题解析：（1）曲线是以原点为顶点， 为焦点的抛物线.（2） ，化简得 ，则所以
