1、2018 届江苏省苏州市第五中学校高三上学期期初考试数学（文）试题一、填空题1已知集合 ，则 的子集个数为_【答案】4【解析】【分析】先求出 A 与 B 的交集，从而得到其子集的个数.【详解】集合 ， ，则 ，则 的子集是： ， ， ， ，共 4 个.故答案为：4.【点睛】本题考查了集合的运算，考查了集合中的概念问题，是一道基础题. 若有限集 A 中有n 个元素，则 A 的子集个数为 2n个，非空子集个数为 2n1 个， 真子集有 2n1 个2若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点处于第_象限.【答案】一【解析】【分析】直接利用复数的除法运算把给出的复数化简为 的形式，则
2、答案可求.【详解】，复数 对应的点为 ，位于第一象限 .故答案为：一.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与几何意义，是基础题.3命题“ ”的否定形式为_【答案】【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题来求解.【详解】命题是特称命题， 根据特称命题的否定是全称命题，命题“ ”的否定形式为： .故答案为： .【点睛】要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论” 4已知双曲线 的一条渐近线方程为 则 _【答案】【解析】 渐近线方程为 ,所以 5函数 的定义域为_【答案】【解析】【分析】直
3、接由根式内部的代数式大于等于 0，然后求解对数不等式得答案 .【详解】由 ，得 ，函数 的定义域为 .故答案为： .【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.6若曲线 在点 P 处的切线平行于直线 则点 P 的坐标为 .4()fx30,xy【答案】 （1，0）【解析】试题分析：设点 的坐标为 ，则由 ;解得：p0(,)xy30()1Kfx代入 得 ； .0,x4()fx)f1p【考点】导数的几何意义.7已知 ，则 的值是 . tan3sinco【答案】 10【解析】试题分析： .222sincotan3sinco190【考点】同角三角函数的基本关系式.8在等差数列
4、an中，a13a8a15120，则 3a9a11 的值为_【答案】48【解析】【分析】先根据等差中项的性质根据 求得 ，进而根据 求得答案.【详解】，即 ，故答案为：48.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，特别是利用了等差中项的性质和等差数列的通项公式.9已知圆锥和圆柱的底面半径均为 ，高均为 ，则圆锥和圆柱的表面积之比是_【答案】【解析】【分析】分别求出圆锥和圆柱的表面积.【详解】圆锥的母线长 ， ，.故答案为： .【点睛】本题考查了旋转体的表面积计算，属于基础题.10已知 ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性和取值范围，结合一元二次不等式
5、的解法进行求解即可.【详解】当 时， ，则函数在 上为增函数；当 时， ，则函数在 上为增函数 .作出函数图象，如图：，不等式 等价为 ，则 ，即 ，得 ，则 ，即 .故答案为： .【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键.11若将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象，则| |的最小值为_.【答案】4【解析】【分析】根据：“左加右减” 法则和条件，列出方程 ，进而由 的取值范围求出 的最小值.【详解】由题意得， ，则当 时， .故答案为：4.【点睛】本题主要考查函数 的图象变换原则：“左加右减，上加下减”
6、，注意左右平移时必须在 的基础进行加减，这是易错的地方.12已知 ，若直线 上总存在点 ，使得过点 的 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设两个切点分别为 A、B，则由题意可得四边形 PAOB 为正方形，根据圆心 O 到直线的距离 ，进行求解即可得 的范围.【详解】圆心为 ，半径 ，设两个切点分别为 A、B，则由题意可得四边形 PAOB 为正方形，故有 ，圆心 O 到直线 的距离 ，即 ，即 ，解得 或 .故答案为： .【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.13设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且
7、 f(1)0，当 x0 时，(x21)f(x)2xf(x)0，则不等式 f(x) 0 的解集为_【答案】(，1)(0,1)【解析】因为 ，而(x 21)f(x)2xf(x)21fx221fxf0，所以 0，令 g(x) ，则函数 g(x)在(0，)单调递减，且21fx21fx也为奇函数，g(1)g(1)0，作出函数 g(x)的大致示意图，由图可知 g(x)0的解集为(，1)(0,1)，即为不等式 f(x)0 的解集14已知三次函数 在 R 上单调递增，则 的最小值为_【答案】3【解析】【分析】由题意得 在 R 上恒大于或等于 0，得 ，将此代入，将式子进行放缩，以 为单位建立函数关系式， 最后
8、构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决.【详解】由题意得 在 R 上恒成立， 则 ，令 ，（当且仅当 ，即 时取“ ”）.故答案为：3.【点睛】本题考查利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题.二、解答题15已知函数 (1)求 的周期和最值；(2)求 的单调增区间；(3)写出 的图象的对称轴方程和对称中心坐标【答案】 （1） ， ， ；（2） ；（3）对称轴方程是，【解析】【分析】（1）化简函数 ，由 即可得到周期；当与当 时取得最值，从而求得答案；（2）由 即可得到 的单调增区间；（3）由 得 的图象的对称轴方程；由 可得 的图象的对称中心坐标.【详解】(1
9、) ；当 即 时， ；当 即 时， (2)由 解得 故 的单调增区间为： (3)由 得 故 的图象的对称轴方程是 ；由 得 的图象的对称中心坐标是 【点睛】函数 yAsin(x)(A0 ，0)的性质(1)奇偶性：k (kZ) 时，函数 yAsin(x)为奇函数；k (kZ)时，函数 yAsin(x )为偶函数(2)周期性：yA sin(x)存在周期性，其最小正周期为 .(3)单调性：根据 ysin t 和 tx (0)的单调性来研究，由 2k x 2k (kZ)得单调增区间；由 2kx 2k(kZ)得单调减区间(4)对称性：利用 ysin x 的对称中心为(k，0)(kZ)来解，令 xk(kZ
10、)，求得其对称中心利用 ysin x 的对称轴为 xk (kZ)来解，令 x k (kZ)得其对称轴16如图，已知直三棱柱 的侧面 是正方形，点 是侧面1ABC1ACO的中心， ， 是棱 的中点1AC2MA CBMOA1 C1B1（1 ）求证： 平面 ；/O1A（2 ）求证：平面 平面 CB【答案】 （1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发进行论证：而线线平行，一般结合平面几何条件，如中位线给予论证（2）证明面面垂直，一般利用线面垂直给予证明：即证 面 而线面垂直证明，一般1ACB要多次利用线面垂直性质及判定定理进行论证：先由
11、平面几何条件 是正方形1AC得 ，再由 （已知） ， （直棱柱性质推导）得 面11ACB1 B因而有 ，这样就论证了 面 1ACAC1B试题解析：（1）在 中，因为 是 的中点， 是 的中点，O1M所以 1/OMB又 平面 ， 平面 ，所以 平面 1A1AB/1AB（2）因为 是直三棱柱，所以 底面 ，所以 ，CCC又 ，即 ，而 面 ，且 ，BA1,11所以 面 1而 面 ，所以 ，1ACBC1又 是正方形，所以 ，而 面 ，且 ，1A,1AC1B1CA所以 面 1ACB又 面 ，所以面 面 1AC1B1ACB【考点】线面平行判定定理，面面垂直判定定理17已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一
12、个端点与两2:(0)xyab63个焦点构成的三角形的面积为 .523（1 ）求椭圆 的方程式；C（2 ）已知动直线 与椭圆 相交于 两点 .1ykxCBA、若线段 中点的横坐标为 ，求斜率 的值；AB2k已知点 ，求证： 为定值.7,03MM【答案】 （1） 125xy（2 ） 见解析3【解析】试题分析：（1）解：因为椭圆 C 满足 ，根据椭圆短22abc， 3ba轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，可得 ，据此53152即可求出椭圆 C 的标准方程；（2）设 将 代入12AxyB， ， ， ， 1ykx中，消元得 ，然后再利用韦达定理和中2153xy22136350kk点坐标公式即
13、可求出结果；由知 ， ，所以21231xk2135kx代入韦达定理化简即可证明结果.121273MABxy试题解析：（1）解：因为椭圆 C： 满足 21(0)xyab22abc，3ba根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，523可得 15223bc从而可解得 ，2a，所以椭圆 C 的标准方程为 2153xy（2 ） 解：设 12AxyB， ， ， ，将 代入 中，yk253消元得 ，221360xk， ，42226548kk212631kx因为 AB 中点的横坐标为 ，所以 ，解得 123证明：由知 ， ，2126kx215kx所以 1221212777333MAByyxy
14、， ，21212xkx2221127493kk2222563k42231649k【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.18已知数列 、 是正项数列， 为等差数列， 为等比数列， 的前 项和为 ，且 ， 2（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）令 ，求数列 的前 项和 ；（3 ）设 ，若 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ， ；（2） ；（3）【解析】【分析】（1）设公差为 ，公比为 ，利用 ， 计算可知 ，进而计算可得答案；（2）通过（1）可知 ，裂项可知 ，并项相加即得结论；（3）通过（1）可知 ，利用作差比较法判断数列的单调性，进而计算可得结论.【详解】（1）设公差为 ，
15、公比为 ，由已知得 ， ，解之得： ， 又因 0，故 （2） ，所以 ，（3） ，当 时， ，当 时， ， 又因为 ，所以 的取值范围为 【点睛】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查运算求解能力，涉及利用作差比较法判断数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题.19设函数 ，其中 N ， 2，且 R（1 ）当 ， 时，求函数 的单调区间；（2 ）当 时，令 ，若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求的取值范围；（3 ）当 时，试求函数 的零点个数，并证明你的结论【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析【解析】【分析】（1）将 ， 代入解析式，求出函数的导数，从而即可得到函数 的单调区间；
16、（2）由题意知 ，求导，从而可得 ，由方程有两个不相等的正数根 ， （ ）可得 ，由方程得，且 ，由此分析整理即可得到答案；（3）求出函数的导数，得到 的单调性，求出 的最小值，通过构造函数结合零点存在性定理判断函数的零点即可.【详解】（1）依题意得， ， ， 令 ，得 ；令 ，得 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增 （2）由题意知： 则 ， 令 ，得 ，故方程 有两个不相等的正数根 ， （ ） ，则 解得 由方程得 ，且 由 ，得 ， ，即函数 是 上的增函数，所以 ，故 的取值范围是 （3）依题意得， ， ， 令 ，得 ， ， ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 令 （ ） ，则 ， ， ，即 ， ，又 ， ，根据零点存在性定理知函数 在 和 各有一个零点【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题.
