1、2017 届北京市西城区第八中学高三上学期 12 月月考数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 如图，在复平面内，点 对应的复数为，则复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意 ，所以 故选 2. 当向量 ， 时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】 时， ， 时， ，时， ， 时， ，时， ，此时 ，所以输出 故选 点睛:本题考查的是算法与流程图,对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.要先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视
2、循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.3. 数列 的前 项和 ，若 ，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，且 ， ， ， ， ， ， 故选 4. ” ”是” ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令 ，则 ， 单调递增，且 ，“ ”是” ”的必要条件故选 5. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：解：F（2 ，0）K（-2，
3、0） ，过 A 作 AM准线，则|AM|=|AF|，|AK|= |AM|， AFK的高等于|AM|，设 A（m 2，2 m） （m0）则AFK 的面积 =42 m =4 m 又由|AK|= |AF|，过 A 作准线的垂线，垂足为 P，三角形 APK 为等腰直角三角形，所以 m= AFK 的面积=42 m =8 故答案为 B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握6. 如图，点 为坐标原点，点 ，若函数 （ ，且 ）及 （ ，且 ）的图象与线段 分别交于点 ， ，且 ， 恰好是线段 的两个三等分点，则， 满足（ ） A. B. C. D. 【
4、答案】A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以 ， ，点 为坐标原点，点 ，直线 为 ， 经过点 ，则它的反函数 也经过点 ，又 （ ，且 ）的图象经过点 ，根据对数函数的图象和性质可知： ， 故选 7. 已知 若函数 只有一个零点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意可得函数 的图象和直线 只有一个交点，直线 经过定点 ，斜率为 ，当 ， ，当 时， ，如图所示，故 故选 8. 已知点 在曲线 上， 过原点 ，且与 轴的另一个交点为 ，若线段 ， 和曲线 上分别存在点 、点 和点 ，使得四边形 （点 ， ， ， 顺时针排列）是正方形，则称点 为曲线
5、的“完美点”那么下列结论中正确的是（ ） A. 曲线 上不存在”完美点”B. 曲线 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于C. 曲线 上只存在一个 “完美点” ，其横坐标大于 且小于D. 曲线 上存在两个 “完美点” ，其横坐标均大于【答案】B【解析】如图 ，如果点 为“完美点”则有 ，以 为圆心， 为半径作圆（如图中虚线圆）交 轴于 ， （可重合） ，交抛物线于点 ， 当且仅当 时，在圆 上总存在点 ，使得为 的角平分线，即 ，利用余弦定理可求得此时 ，即四边形是正方形，即点 为“完美点”，如图，结合图象可知，点 一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在 使得 ， 也一定是上方的点，否则， ，
6、， ， 不是顺时针，再考虑当点 横坐标越来越大时，的变化情况：设 ，当 时， ，此时圆与 轴相离，此时点 不是“ 完美点”，故只需要考虑 ，当增加时， 越来越小，且趋近于 ，而当 时， ；故曲线 上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于 故选 二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)9. 若双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 _【答案】-3【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为 ，其中一条渐近线的倾斜是 ， ，故 10. 在 中，角 ， ， 的对边分别为， ， 若 ， ， ，则 _，_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 ，由正弦定理可得： ， ， ， 11. 已知直线 ，
7、 若 ，则实数 _【答案】-1【解析】若 ，则 ，且 ，解得 12. 若直线 上存在点 满足约束条件 则实数 的取值范围为_【答案】【解析】试题分析：由题意，由 ，可求得交点坐标为 ，要使直线 上存在点 满足约束条件 ，如图所示，可得 ，则实数 m 的取值范围 考点：线性规划13. 如图，线段 ，点 ， 分别在 轴和 轴的非负半轴上运动，以 为一边，在第一象限内作矩形， 设 为原点，则 的取值范围是_【答案】【解析】令 ，则 ， ， ， ， 的取值范围是 点晴:平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用向量数量积的定义式，二是利用向量数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当
8、的平面直角坐标系，表示出相关点的坐标,本题中表示并化简可得 ,进而可得 的取值范围是 .14. 对于函数 ，若在其定义域内存在 ，使得 成立，则称函数 具有性质 （ ）下列函数中具有性质 的有_ （ ）若函数 具有性质 ，则实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 或【解析】 （ ）在 时， 有解，即函数具有性质 ，令 ，即 ， ，方程有一个非 实根，故 具有性质 的图象与 有交点，故 有解，故 具有性质 令 ，此方程无解，故 ， 不具有性质 的图象与 的图象有交点，故 有解，故 具有性质 综上所述，具有性质 的函数有：（ ） 具有性质 ，显然 ，方程 有根， 的值域为 ， ，解得 或
9、三、解答题(共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15. 函数 的部分图象如图所示（）写出 及图中 的值（）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值【答案】 （） ， （）最大值 ，最小值 【解析】试题分析：（1）将点 代入，由已给条件可求得 ；由 并结合图象可求得.（2）由（1）可得到 ，由 ，得 ，可得在 和时，函数 分别取得最大值和最小值。试题解析：（）图象过点 ， ，又 ， ，由 ，得 或 ， ，又 的周期为 ，结合图象知 ， （）由题意可得 ， ， ，当 ，即 时， 取得最大值 ，当 ，即 时， 取得最小值 点睛: 三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1
10、）一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦” ；（3）三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.16. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击 局，每局射击 次，射击命中目标得 分，未命中目标得 分，两人局的得分情况如下：甲乙（）若从甲的 局比赛中，随机选取 局，求这 局的得分恰好相等的概率（）如果 ，从甲、乙两人的 局比赛中随机各选取 局，记这 局的得分和为 ，求 的分布列和数学期望（）在 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同
11、，且乙的发挥更稳定，写出 的所有可能取值 （结论不要求证明）【答案】 （） （）见解析（） 的可能值为 ， ， 【解析】试题分析：（1）从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局的情况有 种情况，然后分析得分情况相同的情况，即可求出其概率；（2）分析出 的所有可能取值，然后分别求出其概率即可求出分布列和数学期望；(3)由甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,能写出 x 的所有可能.试题解析：（）由已知可得从甲的 局的比赛中，随机选取 局的情况有 种，得分恰好相等的有 种，所以这 局的得分恰好相等的概率为 （）当 时， 的可能取值有 ， ， ， ，所以 ， ， ，所以 的分布列为：（） 的可能
12、值为 ， ， 点晴:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等） ，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.17. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为梯形， ， ，且， （）若点 为 上
13、一点且 ，证明： 平面 （）求二面角 的大小（）在线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由【答案】 （）见解析（） （） 上存在点 使得 ，且 【解析】试题分析：（）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知平行线是过 的平面 与平面 的交线，由已知过点 作 ，交 于 ,连接 , 就是要找的平行线；（）求二面角，由于图中已知 两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，可用向量法求得二面角，只要求得两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得（需确定二面角是锐二面角还是钝二面角） ；（3）有了第（2）小题的空间直角坐标系，因此解决此题时，假设
14、存在点 ，设，由 求得即可试题解析：（）过点 作 ，交 于 ,连接 ,因为 ，所以 又 ， ，所以 所以 为平行四边形, 所以 又 平面 ， 平面 ,（一个都没写的，则这 1 分不给）所以 平面 （）因为梯形 中， ， ,所以 因为 平面 ，所以 ,如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,所以 设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ,因为所以 ，即 ，取 得到 ,同理可得 ,所以 ,因为二面角 为锐角，所以二面角 为 （）假设存在点 ，设 ，所以 ,所以 ，解得 ，所以存在点 ，且 考点：空间的角平面法向量的求法平行18. 已知函数 （为实常数） （）若 为 的极值点，
15、求实数的取值范围（）讨论函数 在 上的单调性（）若存在 ，使得 成立，求实数的取值范围【答案】 （） （）见解析（） 【解析】试题分析：(1) ，由题， 为 的极值点，可得 ，即 (2) ， ，分 ， ， 三种情况讨论函数的单调性即可.(3)结合(2)的单调性,分别求 和 以及 时 a 的范围,综合取并集可得.试题解析：（） ， 为 的极值点， ， （） ， ，当 ，即 时， ， ，此时， 在 上单调增，当 即 时， 时， 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，当 即 时， ， ，此时， 在 上单调递减（）当 时， 在 上单调递增， 的最小值为 ， ，当 时， 在 上单调递减，在 上单调
16、递增， 的最小值为 ， ， ， ， ， 当 时， 在 上单调递减， 的最小值为 ， ， ， ，综上可得： 19. 已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，短轴长为 ，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点 与 轴不垂直的直线交椭圆于 ， 两点（）求椭圆的方程（）当直线的斜率为 时，求 的面积（）在线段 上是否存在点 ，使得经 ， 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】 （） （） （） 【解析】试题分析：(1)由短轴长为 得 ，由两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点得，由此求出，即可求出椭圆方程；(2) 先写出直线的方程，将
17、直线方程与椭圆方程联立，求出 的坐标，从而求出 ，由点到直线的距离公式求出点 到到直线的距离即可求三角形的面积；(3) 设在线段上存在点 ,使得以 为邻边的平行四边形是菱形，设出直线方程，与椭圆方程联立，由韦达定理计算 ，即可求出 的取值范围.试题解析：（1）设椭圆方程为 ，根据题意得 所以 ，所以椭圆方程为 ；（2 ）根据题意得直线方程为 ，解方程组 得 坐标为 ， 计算 ，点 到直线 的距离为 ， 所以， ；（3 ）假设在线段 上存在点 ,使得以 为邻边的平行四边形是菱形因为直线与 轴不垂直，所以设直线的方程为 坐标为 ，由 得， ，计算得： ，其中 ，由于以 为邻边的平行四边形是菱形，所
18、以 ，计算得 ， 即 ， ， 所以 .（可以设点，也可以设直线得到 和 的函数关系式）考点：1.椭圆的标准方程与几何意义；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点晴】本题考查椭圆的标准方程、几何性质与直线与椭圆的位置关系，属中档题；求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于 a，b，c 的方程组，解出 a2，b 2，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题20. 设函数 ， 为曲线 在点 处的切线（）求 的方程（）当 时，证明：除切点 之外，曲线 在直线 的下方（）设 ， ，
19、 ，且满足 ，求 的最大值【答案】 （） （）见解析（） 【解析】试题分析：（）先求导,再求 的值, 根据导数的几何意义可知切线的斜率即为 .由点斜式可得直线方程.（）即证明 ， 恒成立.变形可得即证恒成立即可.令 求导,讨论导数的正负,根据导数的正负可得函数 的单调性.根据单调性可求其最值,其最大值小于 0 即可.（）当 且时由（）可知 .当 中至少有一个大于等于 时,可用配方法求各自值域再相加. 试题解析：解：（） .所以 .所以 L 的方程为 ，即 3 分（）要证除切点 之外，曲线 C 在直线 L 的下方，只需证明 ，恒成立.因为 ，所以只需证明 ， 恒成立即可 5 分设则 .令 ，解得 ， . 6 分当 在 上变化时， 的变化情况如下表所以 ， 恒成立. 8 分（） （）当 且 时，由（）可知： ， .三式相加，得 .因为 ，所以 ，且当 时取等号 11 分（）当 中至少有一个大于等于 时，不妨设 ，则 ，因为 ， ，所以 综上所述，当 时 取到最大值 . 14 分考点：1 导数的几何意义;2 用导数研究函数的性质.
