1、2017 届北京朝阳重点高中高三上学期 12 月月考数学（理）试题（解析版）一、本大题共 8 小蹶，每小题 5 分，共 40 分 1集合 21log3,AxxZ， 9Bx ，则 AB（ ） A25,e)B ,7C 5,67D 5,678【答案】C【解析】集合 2l,3,4xx， 9x ， ,67B故选 2如果点 0(2,)Py在以点 F为焦点的抛物线24yx上，则 |PF（ ） A 1B 2C 3D 4【答案】C【解析】抛物线24x的准线方程为： 1， 到焦点 的距离等于 P到准线的距离，点 0(2,)y， P到焦点 F的距离 |13+故选 3命题 :pxR， 220ax ；命题 :qxR，
2、sinco2x+，则下列命题中为真命题的是（ ） A qB pC ()pqD ()pq【答案】B【解析】 22430a ，命题 :px， xa+是真命题sincosin+，命题 :qR， co2是假命题由复合命题真值表得： pq是假命题，故 A错误；p是真命题，故 B正确；()是假命题，故 C错误；q为假命题，故 D错误故选 4已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 1(5,0)F，点 P在双曲线上，且线段 1PF的中点坐标为 (0,2)，则此双曲线的方程是（ ） A21xyB24yxC213xyD23xy【答案】B【解析】由双曲线的焦点可知 5c，线段 1PF的中点做标为 (0,)设右焦点为 2
3、F，则有 2Px轴，且 2|，点 在右支上， 1|(5)436P+， 1|642a， 1， 22bca，双曲线的方程为21yx故选 B5 算法通宗是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的 2倍，已知这座塔共有 381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A 3B 4C 5D 6【答案】A【解析】依题意，这是一个等比数列，公比为 2，前 7项和为 381，71(2)8a，解得 13a故选 6对于直线 m， n和平面 ， ，使 m成立的一个充分条件是（ ） A ， B ， C
4、 ， ， D n， ，【答案】C【解析】 选项， n， ，则 或 相交或 ，故 A错误；B选项， ， ，则 m， 或 与 相交，故 错误；选项， m， ， ， n，又 ， m，故 C正确；D选项， ， ， ，则 ， ， 与 相交都可能，故 D错误故选 C7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ） A 9182+B 1893+C 1832+D 9【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，其中底面是底边长为 6，高为 3的等腰三角形，棱锥高是 3，所以该几何体的表面积是： 116326329182S故选 8点 P是棱长为 1的正方体 1ABCD的底面 1ABCD上一点，则
5、1PAC的取值范围是（ ） A,4B,24C ,0D,02【答案】D【解析】zyxC BAD A1B1D1C1P如图，以 1为原点，以 1C， 1DA， 方向为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，则 (0,1)A，1(,0)， (,0)Py， (,)xy， 1(,0)PC，22ACx， （其中 0x， 1y） ， 1的取值范围是1,故选 D二填空题共 6 小题每小题 5 分，共 30 分9已知数列 na的前 项和 nS，对任意的 *nN都有 21nSa，则 1的值为_，数列na的通项公式 _【答案】 1； 2【解析】当 时， 1a， 1 nS，式， 1a，式， 得， 12nna，2n，
6、数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，数列 na的通项公式是1n10已知 O是坐标原点，点 1()2,A，若点 (,)Mxy为平面区域10xy +，上的一个动点，设2zxy，则 z的最大值为_【答案】 3【解析】21122112x+ y1=0 y+1=0x y+1=0x yO作出不等式对应的平面区域如图所示，则 2zxy，得 2xz，平移直线 2yxz，由图象可以知道当直线 z的截距最大时，此时 z最大此时直线经过点 (,)A，故 z的最大值为 1311直线 k与圆24y+相交于 O， A两点，若 |2，则实数 k的取值范围是_【答案】3【解析】由圆2()4xy可得：圆心 (2,0)C，半径
7、 2r，圆心 C到直线 k的距离|1kd弦长 |23OA， 2rd，即241k，解得3k12已知函数 21,()()log04xfx+若关于 x的方程， ()fxk有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是_【答案】 (,2)【解析】作出函数 ()fx的图象，如图所示，321123421 x yO当 4x 时，()fx单调递减，且412x，当 04x时， 2()logfx单调递增，且2()logf，所以函数 ()fx的图象与直线 yk有两个交点时，有 1k13已知 A、 B、 P是双曲线21yab上不同的三点，且 A、 B两点关于原点 O对称，若直线 PA、PB的斜率乘积 12PABk，则该双曲
8、线的离心率 e_【答案】62【解析】根据题意，设 1(,)xy， 2(,)Py，则 1(,)Bxy，212112PABykx21ab，2ab，两式相减可得212yx PABk， 2a，故22261cbea14曲线 C是平面内到定点 (0,)F和定直线 :1ly的距离之和等于 4的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线 关于 y轴对称；若点 (,)Px在曲线 上，则 |2y ；若点 在曲线 上，则 14P 其中，所有正确结论的字号是_【答案】【解析】点 (,)xy在曲线 C上，则有22(1)|4xy，化简得：214()yy将 x换为 ，表达式不变，故正确2(1)4， 2y ，yy， 1 ， |2 ，故
9、正确2(1)PFx，当 时，22| 11144xx，当 1y时，2x，222| 34xPF |4PF ，故正确综上所述，正确结论的序号是三、解答题（共 6 题，满分 80 分）15 （本题满分 12分）己知函数 ()cosin1fxx+（）求函数 的最小值（）若5()16f，求 cos2的值【答案】【解析】 （ ）2221()in1siinsi4fxxx+，又 sin1,x，当 2时，函数 ()fx的最小值为 4（ ）由（ 1）得215sin6，29sin6，i（舍去）或1sin4，故2217co1si4816 （本小题满分 分）在锐角 ABC中， a， b， c分别为内角 A， B， C所对
10、的边，且满足32sin0abA（）求角 B的大小（）若 5c，且 ac， 7b，求 的值【答案】【解析】 （ 1）因为 32sin0A，所以 3sin2isn0AB因为 sin0A，所以iB又 B为锐角，则3（ 2）由（ 1）知， 7b，由余弦定理得27cos3a，整理得2()3ac 5， 6，又 ，解得 ， 2c，2749cos1bA7|cos214BCAb17 （本小题满分 14分）如图， BCD是边长为 3的正方形， DE平面 ABC， FDE， 3AF，E与平面 AD所成角为 60DA BCEF（）求证： 平面 E（）求二面角 FD的余弦值（）设点 M线段 上一个动点，试确定点 M的位
11、置，使得 A平面 BEF，并证明你的结论【答案】【解析】 （ 1）证明： 平面 ABC， 平面 BCD， DEAC B是正方形， 又 ， 平面 （ 2） A， C， DE两两重叠，建立空间直角坐标系 Dxyz如图所示zx yFE CBAD BE与平面 C所成角为 60，即 60DBE，3D由 A，可知 31Z， AF，则 (3,)， (,6)F， (0,36)E， (,0)B， (,3)C (0,6)F， (,026)E，设平面 B的法向量为 nxyz，则0nE，即3260，令 6，则 (4,26)n AC平面 D， 为平面 B的一个法向量， (3,0)CA，1cos,|326nA二面角 FE
12、为锐角，二面角 FBED的余弦值为13（ 3）点 M线段 上一个动点，设 (,0)Mt，则 (3,0)At A平面 ， An，即 42t，解得 2，此时，点 坐标为 (2,0)，13BD，符合题意18 （本小题满分 14分）函数 (exf（ 1）求 ()fx的极值（ 2）2kx +在 ,)上恒成立，求 k值的集合【答案】【解析】 （ 1） ()1exf当 x时， 0x；当 时， ()0fx， ()f在 ,上单调递减，在 ,上单调递增， 1为极小值点，()=ef极 小 值， ()f无极大值 【注意有文字】（ 2）令2211() xgxkxk，只需 ()0gx ()e()e若 0k ， 时， 0，
13、 (g在 0,)上单调递减，gx， )gx 不恒成立若 ， (，得 1lnk， 1xln1k，即 ek 时， 时， ()0g， ()x在 1,)上单调递增0x时， )(0gx， 不恒成立l即 时， 1x时， ， 1时， (0gx，()g在 1,)上单调递减，在 (,)上单调递增， ()x为 的最小值2ln2221111eexkk 10，故 综上所述， 值的集合为 19 （本小题满分 14分）已知椭圆2:1(0)xyCab+的离心率为12，且过点31,2若点 0(,)Mxy在椭圆 C上，则点0,xyNab称为点 M的一个“椭点” （ 1）求椭圆 的标准方程（ 2）若直线 :lkm+与椭圆 相交于
14、 A， B两点，且 A， B两点的“椭点”分别为 P， Q，以 为直径的圆经过坐标原点，试判断 O的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【答案】【解析】 （ 1）由 2e，得 ac，又 22abc， 3，椭圆:4xyC点31,2在 c上， 29143c，得 1， a， b，椭圆 C的方程为24xy（ 2）设 1(,)A， 2(,)B，则1,23xyP，2,3xyQ，由以 PQ为直径的圆经过坐标原点，得 0O，即12043xy，由2km，消去 y整理得22(34)84(3)0kxm，由22641(34)0k，得 而 128x，21xk，所以22211123(4)()()kyk
15、mxx，将代入得2243(4)0()kk，即 2m又2221148(3)| kABxx，原点 O到直线 :lykm的距离 2|d，22248(3)1 |12 14AB kmSd k，把 43mk代入上式得 AOBS，故 的面积为定值 20 （本小题满分 1分）已知数列 :nAa， 2， ， (*,2)naN 满足 10na，且当 2(*)knN 时，21()ka，令1()iS（）写出 5()的所有可能的值（）求 n的最大值（）是否存在数列 nA，使得2(3)4nS？若存在，求出数列 nA；若不存在，说明理由【答案】【解析】 （ 1）有题设，满足条件的数列 5A的所有可能情况有： 0， ， 2，
16、 ， 0，此时 5()； ， ， ， ， ，此时 2S； ， ， ， ， ，此时 50； ， 1， ， ， ，此时 ()4A； 0， ， ， ， 0，此时 5； 0， 1， ， ， 0，此时 5()2SA 5()SA的所有可能的值为 4， ， 0， ， 4（ 2） 由21)ka，可设 1kkac，则 1k或 1kc 1nnc， 12nnn +22+ 10n， 21ncc ，且 为奇数， 1c， 21n 是由 2个 1和n个 1构成数列 212()()nSA +1nc则当 c， 2， 1n 的前 项取 ，后 项取 1时 ()nSA最大，此时21()(2)24n nSA +证明如下：假设 1c，
17、21n 的前 项中恰有 t项 1mc， 2， tmc 取 1，则 1c， 2 ， 1nc的后 2项中恰有 t项1n， 2t 取 ，其中 2nt ， in ， in， i， ， t 1 121221()()nnSAccc +()()()2 tnmnm +12()()()tn+2144tiiim ()nSA的最大值为()n（ 3）由（ 2）可知，如果 1c， 2， 1nc 的前 2项中恰有 t项， 1mc， 2， tmc 取 1， c， 2，1nc的后 项中恰有 t项 n， 2， t 取 ，则2()()4tniiiSAn，若()4nSA，则 1()tiiim n是奇数， 2n是奇数，而 1()tiiim是偶数不存在数列 A，使得23()4nS
