1、2018 届广东省珠海市高三 3 月质量检测数学理试题（解析版）第卷 选择题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1. 复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得 = ,故选 D.2. 命题“ ，使得 ”的否定是（ ）A. ，都有 B. ，都有C. ，都有 D. ，都有【答案】D【解析】由特称命题的否定得命题“ ，使得 ”的否定是 ，都有 . 故选 D.3. 是正项等比数列 的前 项和， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得 ，故选 A.4.
2、将一个长、宽、高分别为 、 、 的长方体截去一部分后，得到的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得几何体原图就是在一个长 3 宽 4 高 5 的长方体的上面割去了一个底面是直角三角形的棱柱,所以 .故选 B.5. 设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的ABC，当直线 经过点 B（2,4）时，直线的纵截距最大，z 的值最小，所以 ，故选 B.6. 进位制转换： （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得 ，故选 C.7. 将 个不同的球
3、放入 个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种A. B. C. D. 【答案】C【解析】第一步：先从 4 个盒子中选一个盒子准备装两个球，有 4 种选法；第二步：从 5 个球里选出两个球放在刚才的盒子里，有 种选法；第三步：把剩下的 3 个球全排列，有 种排法，由乘法分步原理得不同方法共有 种，故选 C.8. 执行如图的程序框图，如果输入 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】运行程序如下：故选 B.9. 已知双曲线 ： ，其焦点 ，右顶点 到双曲线 的一条渐近线距离为 ，以点 为圆心，为半径的圆在 轴所截弦长为 ，则双曲线 的方程为（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】A【解析】因为右顶点 到双曲线 的一条渐近线距离为 ，所以 .圆的方程为 ，令 x=0 得， 又因为，故选 A.10. 如图，在直四棱柱 中，四边形 为梯形， ， ， ，则直线 与 所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，过点 C 作 CE| ,连接 ,则 就是直线 与 所成的角或其补角，由题得 ,由余弦定理得 ,故选 A.点睛：本题的难点在于如何作出直线 与 所成的角，一般利用平移的方法，这种技巧再求异面直线所成的角中经常要用到，大家要理解掌握并做到灵活运用.11. 定义在 上的连续函数 ，其导函数 为奇函数，且 ， ；当 时， 恒成立
5、，则满足不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为其导函数 为奇函数，所以原函数 是偶函数，因为当 时， 恒成立，所以所以函数 在 x0 时，是减函数，在 x0 时，是增函数.因为 ，所以 ，所以 ,，故选 D.点睛：本题的难点在于结合已知条件分析出函数 f(x)的单调性和奇偶性. 遇到函数的问题，一定要想方设法朝函数的奇偶性、单调性和周期性等方面去分析. 这种命题技巧大家要理解和灵活运用.12. 函数 的一个对称中心为 ，且 的一条对称轴为 ，当 取得最小值时， （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得，所以 ，两式相减得 . 此时 .所以 ，故选 C
6、.点睛：本题的难点在于如何求出 w 的表达式，再求它的最小值. 中不要把 写成 k,因为后面还有一个 k, 中不要把 写成 k，否则不好研究 w 的最小值.它们本身就不一定相等 .第卷 非选择题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.请将答案填在答题卡相应位置.13. 设向量 ， ，满足 ，则 _【答案】【解析】由题得 =（3,2m）, =(-1,4m),由题得-3+ ，所以 m= .故填 .14. 已知 ， 均为锐角， ， ，则 _【答案】【解析】因为 ， 均为锐角，所以 ，所以 ，故填 .15. 过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 ， 两点，若 是线段 的中点
7、，则椭圆 的离心率为 _【答案】【解析】设 ，由题得故填 .16. 在 中，角 、 、 所对边的边长分别为、 、 ，若 ， ，则 面积的最大值为_【答案】【解析】 ,所以|AB|=3, 因为 ,所以由余弦定理得 .所以. 故填 .点睛：本题难点在用如何求函数的最大值. 一般情况下，大家要首先考虑函数的方法，所以要想到，再想如何利用已知条件把它化简，直到能求出函数的最大值. 化简已知得到 ，代进去消去三角函数，再借助基本不等式求解.三、解答题：本题共有 5 个小题，满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程. 17. 已知数列 的前 项和为 ，满足 ， .（1）求数列 的通项 ；（2）令 ，求
8、数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用项和公式求数列的通项. (2)第（2）问，一般利用错位相减求数列 的前 项和 .试题解析：（1） ， ，-得 ， ， ， ， 时， ， ，即 时， ，数列 是 为首项， 为公比的等比数列， .（2） ，则 ， ， ，-得 .18. 某兴趣小组进行“野岛生存”实践活动，他们设置了 个取水敞口箱.其中 个采用 种取水法，个采用 种取水法.如图甲为 种方法一个夜晚操作一次 个水箱积取淡水量频率分布直方图，图乙为种方法一个夜晚操作一次 个水箱积取淡水量频率分布直方图.（1）设两种取水方法互不影响，设 表示事件
9、“ 法取水箱水量不低于 ， 法取水箱水量不低于 ”，以样本估计总体，以频率分布直方图中的频率为概率，估计 的概率；（2）填写下面 列联表，并判断是否有 的把握认为箱积水量与取水方法有关.箱积水量 箱积水量 箱数总计法法箱数总计附： 【答案】 （1） ；（2）见解析 .【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用互斥事件的概率公式求解. (2)第（2）问，一般直接利用独立性检验的公式求解.试题解析：（1）设“ 法取水箱水量不低于 ”为事件 ， “ 法取水箱水量不低于 ”为事件 ， ，故 发生的概率为 .（2） 列联表：箱积水量 箱积水量 箱数总计法法箱数总计， ，有 的把握认为箱积水量与取水方法
10、有关.19. 如图，四棱锥 中， ， ， ， ， ， ，点 为 中点.（1）求证： ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般转化成证明 平面 . (2)第（2）问，一般利用空间向量线面角的公式求解.试题解析：（1）证明：取 中点 ，连接 、 ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ，又 ， .（2）解：过 做 于 ， 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 .过 做 交 于 ，则 、 、 两两垂直，以 、 、 分别为 、 、轴建立如图所示空间直角坐标系 ， ， ， ， ，点 为 中点， ， ， ， ， ， ， . ， ，
11、， ，四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 为 中点， ， ， ， .设平面 的法向量 ，由 ，得 ，令 ，得 ，则 ，则 与 所成角设为 ，其余角就是直线 与平面 所成角，设为 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 .20. 已知抛物线 ： ，圆 ： ，直线： 与抛物线 相切于点 ，与圆 相切于点 .（1）若直线的斜率 ，求直线和抛物线 的方程；（2）设 为抛物线 的焦点，设 ， 的面积分别为 ， ，若 ，求的取值范围.【答案】 （1）： ， ： ；（2） .【解析】试题分析：（1）第一问，一般先设出直线的方程 ，再根据直线和圆相切得到 b 的值. 再利用直线和抛物线方程组的判别式等于零，得到
12、P 的值. (2)第（2）问，一般利用函数的思想求的取值范围.先要分别计算出 ， ，从而得到函数 ，再选择合适的方法求取值范围.试题解析：（1）由题设知： ，且 ，由与 相切知， 到的距离 ，得 ，： .将与 的方程联立消 得 ，其 得 ， ： .综上，： ， ： .（2）不妨设 ，根据对称性， 得到的结论与 得到的结论相同.此时 ，又知 ，设 ， ，由 消 得 ，其 得 ，从而解得 ，由与 切于点 知 到： 的距离 ，得 则 ，故.由 得 ，故 .到： 的距离为 ， ，又 ， .当且仅当 即 时取等号，与上同理可得， 时亦是同上结论.综上，的取值范围是 .点睛：本题的难点在选择什么方法求的取
13、值范围.本题一般想到函数的方法，所以先要想办法得到的一元函数表达式，再根据 选择基本不等式求函数的取值范围. 函数的思想是高中数学很重要的一种数学思想，要理解掌握并灵活运用.21. 函数 .（1）若 ，试讨论函数 的单调性；（2）若 有两个零点，求的取值范围 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般求导后，求函数的单调性. (2)第（2）问，一般要利用第一问的结论同时要对 a 分类讨论，结合函数的图像和性质分析求出 a 的取值范围.试题解析： .（1）若 ，则 在 时恒成立， 的增区间是 .（2）若 ，由（1）知 在 上单增，故 不可能有两个零点 .若 ，令 ，
14、则 ， 在 上单减， ， ， ，使得 ，即 ，当 时， ，即 ；当 时， ，即 .故 在 上单增，在 上单减， .若 有两个零点，首先须 ，令 ，则 在 上单增， ，须 即 ， 且 ，得到 ，此时， （1） ， ， .（2）取 且 ，则 ， 在 和 各一个零点，综上， 有两个零点，的取值范围是 .点睛：本题的难点在第（2）问，如何分析通过函数有两个零点得到 a 的取值范围. 这种题目一般考查函数的图像和性质，所以先要对 a 讨论，求出函数的单调性，再根据单调性得到函数的基本图像，再对函数的极值最值分析，从而得到函数有两个零点的条件，得到关于 a 的不等式，得到 a 的取值范围.选考题：共 10
15、 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数）.若以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 的极坐标方程为 .（1）写出曲线 和直线的直角坐标方程；（2）求曲线 上的点到直线距离的最大值.【答案】 （1）直线的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般直接利用消参法得到直线的直角坐标方程，利用极坐标化直角坐标的公式求曲线 C 的直角坐标 . (2)第（2）问，利用函数法求函数的最大值.试题解析：（1）直线的直
16、角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 .（2）设曲线 上的任一点 ， 到直线的距离为 ，当 时， 得到最大值 .曲线 上的点到直线距离的最大值为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式 ；（2）已知 ，若不等式 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用零点讨论法解双绝对值的不等式.（2）第（2）问，一般先求左边的最大值 利用柯西不等式求 的最小值 2，再解不等式 .试题解析：（1） 等价于 ，当 时原不等式转化为 ，即 ，此时空集；当 时原不等式转化为 ，即 ，此时 ；当 时原不等式转化为 ，即 ，此时 .综上可得，原不等式解集为 .（2） .又 由柯西不等式，得 ，由题意知 ，解得 .
