1、银川市 2018 年普通高中教学质量检测数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于集合 A 和集合 B 中都有元素 0,1,2,根据交集的定义得,故选 B.2. 已知为虚数单位，则复数 等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得，故选 A.3. 已知向量 ，且 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以由向量垂直的性质得 故选 B.4. 已知等差数列 的公差为 ，若 成等比数列，则 （ ）
2、A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意， ， ，因为 成等比数列，所以 ，即，所以 ，故选 .5. 已知双曲线的方程是 ，则其离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得 ，所以双曲线的离心率为 ，故选 C.6. 定义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ，则 的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得 f(x-2)f(-2),由于函数 f(x)是偶函数，所以 x-2 到原点的距离小于等于-2 到原点的距离，所以|x-2|-2|=2，所以-2x-22，解之得 0x4，故选 D.7. 若 满足 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【
3、答案】B【解析】不等式组对应到可行域就是图中的阴影部分区域，当直线 y=-x+z 经过点 A（ ）时，直线的纵截距 z 最大，所以 ，故选 B.8. 如图所示，网络纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示：三棱锥 即为所求.故选 A.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解9. 函数 的部分图象如图所示，则该函数图象的一
4、个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得由于曲线经过点 ，所以令 ，当 k=-3 时， .所以函数图像的一个对称中心是 ，故选 C.10. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】s=0,n=1,s=0+ +1=3,n=2,335；s=3+ +2=9,n=3,935；s=9+ +3=20,n=4,2035；s=20+ +4=40,4035,s=40. 故选 A.11. 周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁思维同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：甲不在看书，也不在写信；
5、乙不在写信，也不在听音乐；如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ）A. 玩游戏 B. 写信 C. 听音乐 D. 看书【答案】D【解析】由知甲在听音乐或玩游戏，由知乙在看书或玩游戏，由知丙在听音乐或玩游戏，由知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选 D.12. 已知 分别双曲线 的左右焦点，是 抛物线 与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得双曲线的方程为 ，所以 .所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得 .联立双曲线的方程和抛物线
6、的方程得 .由抛物线的定义得 6-a=3a-(-2a),所以 a=1,所以抛物线的准线方程为 x=-2，故选 C.点睛：本题的难点在于如何找到关于 a 的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到 6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】由题得 .所以切点坐标为(1,3),所以切线方程为所以切线方程为 .故填 .14. 如图是我国三国时期著名数学家赵爽弦图，图中大正方形的面积是 ，四个全等直角三
7、角形组成的一个小正方形，直角三角形的较短边长为 ，现向大正方形内随机抛一粒绿豆，则绿豆落在小正方形的概率为_【答案】【解析】设直角三角形的较长的边长为 a,则小正方形的边长为 a-3,由于四个直角三角形的面积和小正方形的面积和等于大正方形的面积，所以 .所以绿豆落在小正方形的概率为 .故填 .15. 把边长为 的正方形 沿对角线 折起，当以 四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积的大小等于_【答案】【解析】设 AC 中点为 O,由于 OA=OB=OC=OD,所以点 O 就是球心.由于底面ABC 面积是一定的，所以当三棱锥 D-ABC 高最大时，三棱锥体积最大,所以当平面 ADC
8、平面 ABC 时，三棱锥体积最大. 所以球的半径为故填 2.点睛：解答几何体的外接球有关的问题，关键是两心三边一方程，两心是截面圆的圆心和球心，三边是圆心和球心的距离、球的半径、圆的半径，一方程指的是通过勾股定理得到的关于球的半径 R 的方程. 这种技巧，大家要理解掌握熟练运用.16. 已知 是首项为 的等比数列，数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和为_【答案】【解析】由题得 ，所以 是等差数列.所以数列 的前 n 项和 .故填 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .（1）求角 ；（2）若 的
9、面积为 ，求的值.【答案】 （1） ；（2）3【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用正弦定理把 边化角，再化简即得解.（2）第（2）问，化简 的面积为 得到 ，再利用余弦定理求出 a 的值.试题解析：（1）由 得又 ，所以 ，得 ，即 ，所以 （2）由 及 可得 又在 中， ，即 ，得18. 如图四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，其它四个侧面是侧棱长为 的等腰三角形，为 的中点， 为 的中点.（1）证明： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析；（2）试题解析：（1）取 的中点为 ，连 、 ， 为 的中点， 为正方形， 为 的中点， ， 四边形 是 ， 又 ，故 平面 （2
10、） 为 的中点， ， ， 为正四棱锥， 在平面 的射影为 的中点 ， ， ， ， ， 19. 某养殖的水产品在临近收获时，工人随机从水中捕捞 只，其质量分别在（单位：克） ，经统计分布直方图如图所示.（1）求这组数据的众数；（2）现按分层抽样从质量为 的水产品种随机抽取 只，在从这 只中随机抽取 只，求这只水产品恰有 只在 内的概率；（3）某经销商来收购水产品时，该养殖场现还有水产品共计约 只要出售，经销商提出如下两种方案：方案 A：所有水产品以 元/只收购；方案 B：对于质量低于 克的水产品以 元/只收购，不低于 克的以 元/只收购，通过计算确定养殖场选择哪种方案获利更多？【答案】 （1）7
11、5；（2） ；（3）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接观察统计分布直方图得到这组数据的众数.（2）第（2）问，利用古典概型概率公式得这 只水产品恰有 只在 内的概率.(3)第（3）问，先分别计算出两种方案的获利，再比较.试题解析：（1）该样本的众数为 275. （2）抽取的 6 只水产品中，质量在 和 内的分别有 4 只和 2 只.(3)方案 A： 元；方案 B：低于 300 克： 元，不低于 300 克： 元，总计 元.由 ，故 B 方案获利更多，应选 B 方案.20. 已知动点 到定点 和到直线 的距离之比为 ，设动点 的轨迹为曲线 ，过点作垂直于 轴的直线与曲线 相交于两点，
12、直线 与曲线 交于 两点，与 相交于一点（交点位于线段 上，且与 不重合）.（1）求曲线 的方程；（2）当直线与圆 相切时，四边形 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.【答案】 （1） ；（2） 直线【解析】试题分析：（1）第（1）问，设点 P(x，y)，由题意可得， 曲线 E 的方程.（2）第（2）问，先求出 ，再利用基本不等式得到 m、n 的值，最后得到直线的方程.试题解析：（1）设点 P(x，y)，由题意可得， ，得 .曲线 E 的方程是 （2）设 ，由条件可得 .当 m0 时，显然不合题意.当 m0 时，直线 l 与圆 x2y 21 相切， ，
13、得 .联立 消去 y 得 ,则 ， .，当且仅当 ，即 时等号成立，此时代入 得 .经检验可知，直线 和直线 符合题意.点睛：本题第（2）问，探究四边形 的面积是最大值，采用了函数的方法，先求出 ，再想方法求面积的最大值.处理最值，函数的方法是一种常用方法.21. 已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 在 处取得极值，对任意 恒成立，求实数 的最大值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用导数求函数 的单调区间.（2）第（2）问，先分离参数得到对任意 x(0，)， 恒成立，再利用导数求函数 的最小值得解.试题解析：（1）f(x)的定义域为(0，
14、)， ，当 a0 时，由 0，得 ，f(x)在 上递减，在 上递增.(2) 函数 f(x)在 x1 处取得极值， a10，则 a1，从而 f(x)x 1ln x， x(0，).因此，对任意 x(0 ，)，f(x)bx 2 恒成立 对任意 x(0，)， 恒成立，令 ，则 ，令 0，得 xe 2，则 g(x)在(0，e 2)上递减，在(e 2，) 上递增，g( x)ming(e 2) ，即 ，故实数 b 的最大值是 1 .点睛：本题的第 2 问，用到了分离参数求最值的方法，这是处理恒成立问题的常用的一种技巧.处理含参的恒成立问题，常用的方法有分离参数和分类讨论，如果好分离参数，就选分离参数，否则选
15、择分类讨论.22. 已知曲线 的极坐标方程为 .（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线 的直角坐标方程；（2）若 是曲线 上的一个动点，求 的最大值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据椭圆参数方程得 ，再根据三角函数有界性得最大值试题解析：(1)由 2 ，得42cos29 2sin236，曲线 C 的直角坐标方程为 1.(2)设 P(3cos ，2sin )，则3x4y9cos 8sin sin( )R，当 sin( )1 时，3x 4y 取得最大值，最大值为 .23. 已知函数 ，集合 .（1）求 ；（2）若 ，求证： .【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义，将函数化为分段函数的形式，画出图像，根据图象即可求得 ；（2）结合（1）得 ，作差 ，化简即可得证.试题解析：(1)函数首先画出 与 的图象如图所示：可得不等式 解集为： .(2) . ,故 .
