1、第2章：流体力学 （Mechanics of fluid),汽车阻力来自前部还是后部？,汽车发明于19世纪末，当时人们认为汽车的阻力主要来自 前部对空气的撞击，因此早期的汽车后部是陡峭的，称为箱型车，阻力系数CD很大，约为0.8。,(2) 实际上汽车阻力主要来自后部形成的尾流，称为形状阻力。,20世纪30年代起，人们开始运用流体力学原理改进汽车尾部 形状，出现甲壳虫型，阻力系数降至0.6。,(4) 20世纪5060年代改进为船型，阻力系数为0.45。,80年代经过风洞实验系统研究后，又改进为鱼型，阻力系 数为0.3。,以后进一步改进为楔 型，阻力系数为0.2。,(7) 90年代后，科研人员研制
2、开发的未来型汽车，阻力系数仅为 0.137。,目前，在汽车外形设计中流体力学性能研究已占主导地位，合理的外形使汽车具有更好的动力学性能和更低的耗油率。,Introduction,主题:,方法:,(1) 从理想化流体模型到实际流体.,(2) 以功能原理或能量守恒求解问题.,连续性原理与伯努利方程.,流体: 具有流动性的物体。液体和气体都是流体。由连续分布的流体质量元组成的。,流体力学,流体质量元,微观上看为无穷大，不必深入研究流体分子的无规则热运动；,宏观上看为无穷小的一点，有确定的位置 、速度 、密度 和压强 等；,流体动力学（用 P、V、h 、 等物理量描述）,流体静力学（用 P、F浮、 等
3、物理量描述）,2.1 流体力学简介,2.2 理想流体的定常流动,2.3 伯努利方程及其应用,2.4 黏性流体的定常流动,本章内容：,2.5 泊肃叶定律 斯托克斯定律,2.6* 生物流体力学简介,2.1 流体力学简介,一、流体力学发展史,第一时期：,18世纪以前,公元前250年 阿基米德 论浮体,流体力学第一部著作,古希腊数学家、力学家，静力学和流体静力学的奠基人。,达芬奇 ,沉浮、孔口出流、物体的运动阻力以及管道、明渠中水流等问题。,实验方法了解水流性质；,水力学,意大利文艺复兴时期杰出代表，画家、科学家。,1612年 伽利略 ,潜体的沉浮原理,并首先提出：运动物体的阻力随着流体介质密度的增大
4、和速度的提高而增大。,在流体静力学中应用了虚位移原理,1643年 托里拆利 ,孔口泄流公式,1650年 帕斯卡 ,液体中压力传递定律,1686年 牛顿 ,黏性流体内摩擦定律,英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。,第二时期：,古典流体力学成为一门独立学科,18世纪 20世纪初,1738年 伯努利,伯努利方程,流体动力学基本公式,瑞士科学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大贡献，是理论流体力学的创始人。,1755年 欧拉,理想流体平衡微分方程,理想流体运动微分方程,瑞士数学家、力学家、天文学家、物理学家，变分法的奠基人，复变函数论的先
5、驱者，理论流体力学的创始人。,纳维 斯托克斯,NS方程,（黏性流体运动微分方程）,流体动力学的理论基础,儒科夫斯基,机翼理论 升力公式,1904年 普朗特,边界层理论,德国力学家，现代流体力学的创始人之一。边界层理论、风洞实验技术、机翼理论、紊流理论等方面都作出了重要的贡献，被称作空气动力学之父。,第三时期：,三元流动理论,计算流体力学,多相流体力学,环境流体力学,磁流体力学,非牛顿流体力学,生物流变学,近代,流体力学在中国,大禹治水,4000多年前，说明我国古代已有大规模的治河工程。,(公元前256-210年),秦代，期间修建了都江堰、郑国渠、灵渠三大水利工程，说明当时对明槽水流和堰流流动规
6、律的认识已达相当水平。,龙首渠(公元前156 -前87),西汉武帝时期，为引洛水灌溉农田，在黄土高原上修建了龙首渠，创造性地采用了井渠法，即用竖井沟通长十余里的穿山隧洞，有效地防止了黄土的塌方。,水利风力机械,东汉杜诗任南阳太守时(公元37年)曾创造水排(水力鼓风机)，利用水力，通过传动机械，使皮制鼓风囊连续开合，将空气送入冶金炉，较西欧约早了1100年。,钱学森 (19112009),浙江省杭州市人， 他在火箭、导弹、航天器的总体、动力、制导、气动力、结构、材料、计算机、质量控制和科技管理等领域的丰富知识，为中国火箭导弹和航天事业的创建与发展作出了杰出的贡献。,1957年获中国科学院自然科学
7、一等奖，1979年获美国加州理工学院杰出校友奖，1985年获国家科技进步奖特等奖。1989年获小罗克维尔奖章和世界级科学与工程名人称号，1991年被国务院、中央军委授予“国家杰出贡献科学家”荣誉称号和一级英模奖章。,江苏宜兴人，理论学家、流体力学家。主要从事物理学的基础理论中难度最大的两个方面即爱因斯坦广义相对论引力论和流体力学中的湍流理论的研究与教学并取得出色成果。,1952年发表的在轴流式、 径流式和混流式亚声速和超声速叶轮机械中的三元流普遍理论和在1975年发表的使用非正交曲线坐标的叶轮机械三元流动的基本方程及其解法两篇论文中所建立的叶轮机械三元流理论，至今仍是国内外许多优良叶轮机械设计
8、计算的主要依据。,周培源 (19021993),吴仲华 (1917 1992),2.2 理想流体的定常流动,理想流体：绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体。,流体受压缩程度极小，其密度变化可忽略时，可看作不可压缩流体。,流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。,一、 理想流体,实际流体，除流动性以外，还具有可压缩性和黏滞性。,实际流体流动时，相邻流层之间存在着沿分界面切向的摩擦力，这种力称为黏滞力，流体具有这种性质称为黏滞性。,说明,二、 定常流动,流体流经的空间称为流体空间或流场 。,定常流动：流体流经空间各点的速度不随时间变化。,流体质量元在不同地点的速度可以各不相同。,流体在
9、空间各点的速度分布不变。,“定常流动”并不仅限于“理想流体”。,1,2,3,说明,流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方 向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。,流场中流线是连续分布的；,空间每一点只有一个确定的流速方向，所以流线不可相交。,流线密处，表示流速大，反之则稀。,三、流线,四、流管,流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。,流管内流体的质量是守恒的。,通常所取的“流管”都是“细流管”。细流管的截面积 ，就称为流线。,流速大,说明,说明,两截面处的流速分别为 和 ，,取一细流管，任取两个截面 和 ，,五、连续性原理,描述了定常流动的理想流体任一流管中流体元在不同截面
10、处的流速 v 与截面积 S 的关系。,流体密度分别为 和 。,经过时间 ，流入细流管的流体质量,同理，流出的质量,流体作定常流动，故流管内流体质量始终不变，即,或,上式称为连续性原理或质量守恒方程，其中 称为质量流量。,S1,S2,v1,v2,对于不可压缩流体， 为常量，故有,上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程，其中 称为体积流量。,是对细流管而言的。物理上的“细”，指的是截面上各处速度一样，不论多大，均可看成“细流管”。,对同一流管而言，Q 一定。截面积 S 小处则速度大，截面积 S 大处则速度小。,例,求,解,一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为 41 ， 已知水管粗
11、处水的流速为 2 ms-1 。,水管狭细处水的流速,由连续性原理知,得,说明,如图是一种自动冲水器的结构示意图，进水管A 管口截面积为 3 cm2 ，出水管B 管口截面积为 22 cm2 ，出水时速度为 1.5 ms-1 ，该冲水器每隔 5 min 能自动持续出水 0.5 min 。,例,求,解,进水速度,D,h,A,B,出水管的体积流量,0.5 min 出水量,进水管的体积流量,5.5 min 进水量,因,所以,伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或截面上 p 、v 及地势高度 h 之间的关系。,2.3 伯努利方程及其应用,一、 伯努利方程的推导,如图，取一细流管，经过短暂时间 t
12、 ，截面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到d ，,流过两截面的体积分别为,由连续性原理得,在b 到一段中运动状态未变，流体经过t 时间动能变化量：,流体经过t 时间势能变化量：,t 时间内外力对该段流体做功：,由功能原理 ：,或,即,上式即为伯努利方程的数学表达式。,t,t,二、伯努利方程的意义,(1) 伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用,表示单位体积流体流过细流管 外压力所做的功；,表示单位体积流体流过细流管 重力所做的功；,表示单位体积流体流过细流管 后动能的变化量；,(2) 伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理。,(3) 注意统一单位，为国际单位。适用
13、于理想流体的定常流动。,(4) P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。,(5) 它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v 之间的关系。,如图所示。,由,选取 B 处为参考点，其 hB = 0, hA= h 得,三、伯努利方程的应用,1、小孔流速,由伯努利方程：,可知，,因 PA = P0 ，PB = P0 ，所以,即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。,SA,SB,- 托里拆利公式,SB SA，以 A、B 两点为参考点,左图是利用虹吸管从水库引水的示意图。,虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点。,虹吸管,水库表面远大于虹吸管截面，由
14、连续性原理可知 ，所以此例实质为小孔流速问题,如果 hAhC 0 ，管内流速没有意义。,A,C,B,如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。,2、喷雾原理,因 SA 很小，vA很大；使 PA小于大气压，容器内流体上升到 A 处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。,水流抽气机,当水从喉管的细口流出，由于流速很大，在附近形成低压区；,该压强小于容器中的气体压强，使得容器中的气体在这里集中，被流水吸入带走。,最终使容器中气体的压强降至大气压强的十分之一左右。,由伯努利方程，得：,从 U 形管中左右两边液面高度差可知,为 U 形管中液体密度， 为流体密度。,3、皮托管
15、,由上两式得,上式较适合于测定气体的流速。,A,B,（流速计）,选取 A、B 作为参考点,常用如图示形式的皮多管测液体的流速,A,B,4、文丘里流量计,（测量管道中液体体积流量）,当理想流体在管道中作定常流动时，A、B 作为参考点，由伯努利方程得：,由连续性原理,又,所以,若待测管道中横截面积为 S ，则管道中的流速为：,计示压强,文丘里流量计中利用连通器原理测量压强的方法被工程技术上广泛应用。测出的管道或容器中的压强 p 称为绝对压强。,而竖直细管中的液柱产生的压强 ，为1标准大气压为基准零点显示的压强，称为计示压强。,水从图示的水平管道 1 中流入，并通过支管 2 和 3 流入管 4 。如
16、管 1 中的流量为 900 cm3.s-1 。管 1、2、3 的截面积均为 15 cm2 ，管 4 的截面积为 10 cm2，假设水在管内作稳恒流动，,例,求,解,(1) 管 2、3、4 的流量;,(2) 管 2、3、4 的流速;,(3) 管 1、4 中的压强差。,v1,v2,v3,v4,(1) 由连续性原理知,而,所以,以 1、4 处为参考点，由伯努利方程得,得,(2) 由连续性原理，得：,(3) 由于,因为 d1d2 =21，所以 S1S2 = 41；且 v 1= 1ms-1,例,求,解,一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为 21 ，已知粗管内水的流速为 1m.s-1 。,细管处水的流速以
17、及粗、细管内水的压强差。,得 v2 = 4v1 = 4 m.s-1,由伯努利方程,由 S1v1 =S2v2,得,例,从一水平管中排水的流量 0.004m3s-1。管的横截面积为0.01m2处的绝对压强是12105Pa。,求,管的横截面积应缩为多少时，使压强减少为1.0105Pa？,解,由连续性原理得：,由伯努利方程得,则,得,所以,水管里的水在压强 p = 4.0105 Pa 作用下流入室内，水管的内直径为 2.0 cm ，引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm 。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水的流速为 4.0 ms-1 。,当水龙头关闭时，v1= v2= 0，由
18、伯努利方程：,即,例,求,解,浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。,当水龙头完全打开后，,即,对 S1、S2 ，由伯努利方程：,打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。,例,求,解,a、b、c、d 各处压强及流速。,h1,h2,a,b,c,d,如图所示为一虹吸装置，h1 和 h2 及流体密度 r 已知，,由题意可知，va = 0， pa = pd = p0,选 d 点所在平面为参考平面，对a 、d 两点应用伯努利方程，有,得,因 b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以,由连续性原理，有,对于a、b 两点，有,对于a、c 两点，有,得：,例,一个顶部开口得圆筒容
19、器，高为20cm ，直径为10cm ；在圆筒底部中心，开一横截面积为 1cm2 得小圆孔，水从圆筒顶部以140cm3s-1 的流量由水管注入圆筒。,求,圆筒中的水面可以升高到多高？,定性分析该过程：,刚开始注水时，容器中水的高度很小，流速很小，流出的流量小于注入流量（为定值），水面升高；,随着高度的上升，流速逐渐增大，流出流量逐渐趋近于注入流量，最后二者相等，容器内水的体积不再发生变化，处于动态平衡。,处于动态平衡时，由于液面高度不再变化，液面处流速为0，该问题可看成小孔流速问题，应用托里拆利公式。,解,设达到动态平衡时水面可以升高到 h （假设 h 20 cm ），则注入流量等于流出流量：,
20、以圆筒底为参考面，则对A、B 两点，由伯努利方程得,而已知,所以得,则,(托里拆利公式),5、 马格努斯效应,香蕉弧线球,球体在流体中转动，两者存在摩擦力，流体会在球体周围形成同心圆环的流线分布。,球体转动的同时还做平动，球体旋转造成环流和平流叠加，使得环流和平流同方向一侧的流体流速加快，反方向一侧流速减慢。,由伯努利方程，流速加快的一侧压力减小，流速减慢的一侧压力变大，两侧的压力差使球体受到侧向的作用力，即马格努斯力。,6、 机翼的升力,由于物体形状不对称或相对流速有冲角时，物体就会受到向上的升力。,机翼上侧的气流要通过较长的路程，粘性力使其损失的能量较大。机翼下侧的气流通过的路程较短，粘性
21、力使其损失的能量较小。,上、下两股气流在尾部汇合时流速不同，于是在尾部形成图示的漩涡。,为保持角动量守恒，则另外流体必然形成绕机翼的环流。,环流速度与原来速度叠加，导致上方流速大、压强小，下方流速小、压强大，因而产生了飞机的升力 。,2.4 黏性流体的定常流动,所有流体在流动时具有黏滞性，因此会有能量的损耗。当能量损耗必须考虑时，将其作黏性流体处理。,一、牛顿黏性定律,(1) 层流：,当黏性流体流速较小时，保持分层流动，各流层之间只作相对滑动，彼此不相混合。流体的这种运动称为层流。,水渠中缓缓的流水,(2) 湍流：,当黏性流体流速较大时，容易产生径向流动(垂直于管轴方向的速度分量)，各流层相互
22、掺合，整个流体作无规则运动，称为湍流。,例如：,浓云滚滚、海水咆哮、龙卷风等,(3) 速度梯度:,流速在与速度垂直方向上的变化率，即,在流动的黏性流体中，如果相邻的流体质量元速度不同，它们之间存在着阻碍它们相对运动的力，称为黏性阻力。,(4) 牛顿黏性定律 :,1687年，牛顿发现作层流的黏性流体中，流层间的黏性阻力,这种黏性流体称为牛顿流体。,其中比例系数 称为黏度系数，在IS制中单位为Pa s ；,x,y,s,s,说明,h 与流体的属性、温度有关，与流体的运动形式无关。,一般液体的h 随 T 的升高而减小，气体的 h 随 T 的升高而增大。,二、黏性流体的伯努利方程,牛顿流体除了外压力和重
23、力做功外，还有黏性阻力做功。,假设单位体积流体流过细流管黏性阻力做功为-A21 ，则伯努利方程变为：,理想流体作定常流动时，对同一流管中的任意两点，伯努利方程变形得：,即,得,牛顿流体在粗细均匀的水平管道中作定常流动：,必须使管道左右两端保持足够的压强差才能维持牛顿流体的定常流动,牛顿流体在横截面积相同的敞口渠道中作定常流动：,得,必须使渠道有足够的倾斜度才能维持牛顿流体的定常流动,三、湍流,能量耗损 E 与速度 v 的关系为：,（流体作湍流时，阻力大、流量小，能量耗损增加）,式中 k 是比例系数，它与管道的形状、大小以及管道的材料有关，式中的 v 是平均流速。,“哈勃”抓拍到的气体湍流风暴,
24、四、雷诺数,1883年，英国物理学家雷诺通过实验得到一个公式，作为层流与湍流的指标判据。,流体是作层流还是作湍流与一个无量纲的数 的大小有关， 其称为雷诺数。,对于圆形管道：,流体的流动状态由雷诺数决定。流体由层流向湍流过渡的雷诺数，叫做临界雷诺数，记作Re*。,层流,流动类型不定,湍流,说明,流体为湍流时，阻力大流量小，流能耗显著增加。,通过雷诺数可以得到流体相似率。,粘滞系数越大的流体越不易形成湍流。,人体大动脉的直径为 2.010 -2 m，血液的密度为 103kgm-3、黏度系数为 3.510-3 Pas，其平均流速为 2810-2ms-1。,血液的雷诺数。,例,求,解,由,得:,人和
25、各种动物的大动脉正常生理情况下为层流。由于贫血、心脏、动脉堵塞等疾病都会引起粘度系数及流速变化，动物循环系统可能会发生湍流。持续的湍流可以引发严重的病理反应。,说明：,2.5 泊肃叶定律 斯托克斯定律,一、泊肃叶定律,(如何计算牛顿流体的流量),若理想流体，横截面上各点流速相同,若黏性流体，流速沿径向变化，须用积分法求解 Q,(1) 求 v(r),如图，在管内选取一半径为 r ，长度为 l ，并与管同轴的圆柱体流体元。,该流体元受到来自其后面的流体和前面的流体的压力为：,由牛顿黏性定律，得流体元所受的黏性阻力的大小为：,稳定流动时，流体元的流速不变，则得：,积分,圆管中牛顿流体的流速随半径的分
26、布规律,(2) 求流量,(将圆盘截面分割成系列圆环截面),通取半径为 r ，厚度为 dr 的微元，则,泊肃叶定律,所以,Qv 与 成反比；,Qv 与 (p1-p2)/l（单位长度上的压强差）成正比；,说明,测量流体粘度系数的实验方法，,Qv 与R 4成正比，R 对Qv 的影响非常大；,如奥氏粘度计。,令,得,达西定理,设筒内机油的温度维持在 20，将一毛细管水平插入筒内，如图所示。由于筒径比毛细管半径大得多，毛细管 A 端的压强在实验过程中可视为保持不变，其压强为1.018105Pa，毛细管 B 端与大气相接触。毛细管长度为1m ，内径为 2 mm 。实验测出，机油在 2 min 内通过毛细管
27、的体积为 30.39 cm3 。,解,由题已知，体积流量为：,由于油的黏滞性，从 A 点到 B 点压强降低了，而已知,例,求,该种机油在 20 时的粘度系数。,由泊肃叶定律,可得：,粘度系数的单位在历史文献或手册中经常用到泊，记做 P。1 P = 0.1 PaS,牛顿流体中作低速运动的小球所受阻力的大小：,式中h 为牛顿流体的黏度，r 为小球半径，v 为小球相对于流体的速度。,二、斯托克斯定律,（牛顿流体中的小球作低速运动的规律）,测定流体的黏度系数、进行沉降分离和离心分离。,沉降分离,悬浮性流体中的颗粒在重力作用下将产生沉降现象，使溶质颗粒与溶剂分离。,r溶质越大，沉降速度越快；,r溶质越小
28、，沉降速度越慢；,若r溶质r溶剂，溶质颗粒将上浮。,三力平衡时有,终极速度,黏度系数,颗粒半径,流体的黏度系数为 h ，密度为 r ；颗粒半径 r ，密度为 r,颗粒在向下加速运动，,（收尾速度）,离心分离,因生物大分子半径很小，收尾速度 vT 太小，无法实现沉降分离。必须通过增大力场的办法使其的收尾速度达到要求。,以离心场替代重力场，此时球形颗粒所受到的水平作用力有,A,O,C,B,三力平衡时有,得出颗粒的分离速度为,离心加速度经常用重力加速度的倍数来表示，以此表明离心机离心能力的大小。,IS 制中单位为秒（s），常用斯威德伯（S）.,沉降系数,S 是单位离心加速度引起的沉积速度。,1 S
29、= 10-13 s,如果土壤颗粒匀速下沉的距离 s = 0.150 m ，所用时间 t = 67 s ， 80时土壤颗粒的密度= 2.65103 kgm-3 ，水的密度r0 = 9.982102 kgm-3 ，粘滞系数h = 1.005103 Pas ，,例,求,解,土壤颗粒半径。,收尾速度为,土壤颗粒半径,2.6* 生物流体力学简介,一、生物流体力学的基本概念,生物流体,与生命现象有关的流体的总称。,生物流体力学研究对象,生物体内流体的流动,外部流体对生物体运动的影响,如植物体内水和糖分的输送过程；动物体内血液流动、呼吸气流、淋巴循环、胆汁分泌、肠道蠕动及吸收、排泄、细胞分裂中的流动与变形规
30、律，水生植物细胞内以及黏菌体内原生质的运动等。,如动物泳动及飞行等。,生物流体力学,就是在传统流体力学的基础上研究生物流体流动规律的边缘学科。,生物流体力学研究方法,连续介质流体研究,非连续介质流体研究,拉格朗日法,欧 拉 法,微结构连续介质,颗粒在流体中悬浮,除介质外，影响生物流体流动的因素还非常多，如繁杂的管道系统、流动的原始动力、生物系统的高度协调性等。,二、生物流体的分类,流 体,牛顿流体,非牛顿流体,与时间无关的非牛顿流体,与时间有关的非牛顿流体（粘弹性流体）,剪切应力, 表示剪应力,设在两块水平平行薄板之间充满某种粘滞液体，下板固定不动，而上板在力 F 的作用下向右以一定的速度 v
31、 运动,比如空气、水、石油等绝大多数机械工业中常用的流体,F,S,根据 与 的关系，非牛顿流体可分为几大类：,比如凝胶、牙膏等都属于塑性流体。,(1) 塑性流体：它有一个保持不产生剪切变形的初始应力 （称为致流应力），只有克服这个初始应力 后，切向应力 才与 成正比例关系：,0,1,2,1牛顿流体,2 塑性流体,比如泥浆、纸浆、高分子溶液等都属于假塑性流体。,(2) 假塑性流体：当 较小时， 对 的变化率较大，近似于塑性流体有初始应力的情况；但当 较大时， 对 的变化率又逐渐降低：,3,3假塑性流体,一些乳化液、油漆、油墨等都属于涨塑性流体。,(3) 涨塑性流体：当 较小时， 对 的变化率较小
32、；当 较大时， 对 的变化率逐渐变大：,4,4涨塑性流体,约瑟夫 拉格朗日(17361813)：法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献。,他堪称法国最杰出的数学大师，在数学上最突出的贡献是使数学分析、几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。,他的关于月球运动（三体问题）、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。,研究流场中每个流体质量元的运动规律，最后汇总起来得到整个流体的运动规律。
33、,建立坐标系 O-xyz ，所考察的流体质量元在初始时刻 t = 0 时有一组唯一的坐标( x0 = a，y0 = b，z0 = c )与之一一对应，该坐标不随流体元的位置改变而变化。,拉格朗日法：,拉格朗日法以( a，b，c，t ) 为变量来描述整个流体的运动规律：,欧拉(17071783) ，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。 1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。,欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，无穷小分析引论，微分
34、学原理，以及积分学原理都成为数学中的经典著作。除了教科书外，欧拉平均以每年800页的速度写出创造性论文，研究成果多达74卷。,以流场中的固定空间点作为对象观察流体运动，研究所有空间点上流体运动随时间的变化规律。,建立坐标系 O-xyz ，对于所考察的空间点，有唯一的坐标( x，y，z )与之一一对应。欧拉法以( x，y，z，t )为变量描述流体的运动规律：,欧拉法：,第2章 流体力学基础,主要内容 ：,理想流体的定常流动；流线、流管、连续性方程；伯努利方程及其应用；黏滞流体的流动，层流、湍流、雷诺数；伯肃叶定律，斯托克斯定律；生物流体的黏性。,基本要求 ：,学习流体力学研究问题的思路，掌握连续
35、性原理、伯努利方程，了解黏滞流体的运动规律，了解生物流体的特点。,课堂练习,判断题:,(1) 作定常流动的流体，流体元经过的空间各点的流速相同。,(2) 理想流体流动时，同一横截面上各点的流速相同，实际流体流动时，同一横截面上各点的流速不同。,(3) 在一静止的粘滞流体中自由下落的小球，最终会以一恒定的速度匀速下落。,(4) 流线用来形象的描述流体的流动情况，流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。,(1) 伯努利方程适用的条件是 、 、 。,填空题:,(2) 理想流体通过水平细管，已知 A 处的流速大于 B 处的流速，则 A 处的压强与 B 处的压强大小关系是 。,(3) 实际流体流动时，流动的运动状态包括 和 ； 数决定了这两种运动状态的转换条件，其计算公式为 。,
