1、江西省临川一中 2018 届高三年级教学质量检测（二）数学（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以 ，故选 C。2. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，所以 ，故选 A。3. 已知等差数列 的前 项和为 （ ） ，若 ，则 （ ）A. 6 B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以 ，所以 ，故选 B。4. 已知函数 的图象关于原点对称，且周期为 4，当 时， ，则 （ ）参考数据：
2、 A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选 B。5. 已知直线将圆 ： 的周长平分，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，直线过圆心 ，因为直线不过第三象限，则倾斜角范围为 ，故选 A。6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，闽南语称作“干乐” ，北方叫做“冰尜”或“打老牛”陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制.玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为 1，
3、则该陀螺模型的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，该几何体由一个四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组成，所以 ，故选 D。7. 将函数 的图象向右平移 个单位后，所得函数图象关于原点对称，则的取值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，右移 个单位后，得到 ，因为关于原点对称，则 ，得 ，所以可能的取值为 ，故选 A。点睛：本题考查学生对三角函数的应用能力。首先考查对二倍角公式、诱导公式、和差公式的综合应用能力，得到 ，之后考查函数移动，得到 ，由图象的对称性可知，其本质是正弦型的函数，则 ，得到答案。8. “ ”是“ ”的（ ）参考公式： ， A. 充分不
4、必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 ，则 或 ，则 或 或 ，则 ，所以是必要不充分条件。故选 B。9. 已知正方体 的体积为 1，点 在线段 上（点 异于 、 两点） ，点 为线段 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为四边形，则线段 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，当 时，截面为四边形，当 时，截面为五边形，故选 B。10. 已知 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意， ，令 ，则原式化为 ，解得 舍去） ，故 ，则 ，即 ，即 ， ，解得或 ，则 ，故选 D.11.
5、 已知函数 现有如下说法：函数 的单调递增区间为 和 ；不等式 的解集为 ；函数 有 6 个零点则上述说法中，正确结论的个数有（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】C【解析】如图，单调递增区间为 ，所以正确；作 ，交函数图象于 ，由图知，正确；令 ，则 时， ，则 ，由对勾函数图象可知，只有四个解，则错误。所以正确的有 2 个，故选 C。点睛：本题考查函数的图象解法。本题通过函数图象解题，首先画出函数的图象，通过图象可以得到正确，中令 ，得到 ，由对勾函数性质可知，只有四个解。本题考查学生对函数图象的应用能力。12. 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， ，
6、则 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，则 ，即 ， ，又 ，则 ，所以 ，易知 时， ，所以 时， ，所以 在 单调递增，又 ，则 的解集是 ，故选 D。点睛：本题考查导数的应用。首先需要针对条件，进行构造函数，得 ，则 ，所以，通过观察得 ，求导得 在 单调递增，所以解得不等式。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数 ， 满足 则 的最大值为_【答案】6【解析】则过点 时， 的最大值为 6 。14. 已知圆 过点 ， ， ，则圆 的圆心到直线： 的距离为_【答案】【解析】由题知，圆心坐标为 ，则 。15. 在 中，角 ， ，
7、所对的边分别为， ，且 ， ， ，则 的面积为_【答案】【解析】由题知， ，则 ， ，得 ，又 ， ，则 ，所以 ，则 ，所以 。16. 已知数列 的通项公式为 ，记数列 的前 项和为 ，则在 ， ， 中，有_个有理数【答案】43【解析】 ，所以 ，则当 为完全平方数时， 为有理数，又 ，所以当 ，所以有 43 个有理数。点睛：本题考查数列求和中的裂项相消求和。首先需要对 化简，得 ，则，本题需要 为有理数，则 为完全平方数，通过列举得到有 43 个有理数。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. 已知函数 （ ， ）的大致图象如图所
8、示，其中 ， ， 为函数 的图象与轴的交点，且 （1）求 ， 的值；（2）若函数 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值【答案】 （1） ， （2）最大值为 ，最小值为 【解析】试题分析：（1） ，故 ， ；（2） ，所以得到最大值为 ，最小值为 试题解析：（1）依题意， ，故 ，故 ，因为 ，故 ，故 （2）由（1）知 ，依题意， 当 时， ， ，故 ，故 ，故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 18. 已知数列 的前 项和为 （ ） ，且 ，数列 是首项为 1、公比为 的等比数列（1）若数列 是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列 的前 项和 【答案】 （1） （2）见解析试题
9、解析：（1）当 时， ；当 时， ，故 （ ）因为 是等差数列，故 ， ， 成等差数列，即 ，解得 ，所以 ，所以 ，符合要求（2）由（1）知， （ ），所以 ，当 时， ；当 时， 19. 已知 中，角 ， （1）若 ，求 的面积；（2）若点 ， 满足 ， ，求 的值【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）由正弦定理，得 ，则 ，所以；（2）由题意得 ， 是线段 的两个三等分点，由余弦定理解得 ，所以。试题解析：（1）在 中，设角 ， ， 所对的边分别为， ，由正弦定理 ，得 ，又 ，所以 ，则 为锐角，所以 ，则 ，所以 的面积 （2）由题意得 ， 是线段 的两个三等分点，设 ，
10、则 ， ，又 ， ，在 中，由余弦定理得 ，解得 （负值舍去） ，则 ，所以 ，所以 ，在 中， 20. 已知等差数列 满足 ，其前 6 项和为 36，等比数列 的前 项和 （1）求数列 、 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 【答案】 （1） ， （ ）（2） 【解析】试题分析：（1）由基本量法求得 ，利用 型公式求得 ；（2）利用错位相减法求得。试题解析：（1）设等差数列 的公差为 ，由已知得解得 所以 对数列 ，因为 ，当 时， ，当 时， ，综上所述， （ ）（2）由（1）得 ，所以 ， 得： ，所以 21. 在如图所示的五面体 中， ， ， ，四边形 是正方形，二面角 的大小为 （
11、1）在线段 上找出一点 ，使得 平面 ，并说明理由；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）当点 为线段 的中点时， 平面 ，利用线面平行的判定定理证明；（2）利用空间向量法求线面角。试题解析：（1）当点 为线段 的中点时， 平面 ；取 的中点 ，连接 ；因为 ， ，所以 ，又四边形 是正方形，所以 ， ，故四边形 为平行四边形，故 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）因为四边形 是正方形，二面角 的大小为 ，所以 平面 ，在 中，由余弦定理得 ，所以 如图，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ，轴建立空间直角坐标系，则 ， ，
12、 ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，由所以 取 ，则 ， ，得 ，故所求正弦值为 22. 已知函数 ，其中为自然对数的底数（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数的取值范围【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）利用导数的意义求得切线方程为 ；（2） ，设 ，通过求导，分类讨论，得到的取值范围为 试题解析：（1）依题意， ， ，故 ，而 ，故所求方程为 ，即 （2） ，依题意，当 时， ，即当 时， ；设 ，则 ，设 ，则 当 时， ， ，从而 （当且仅当 时，等号成立） ， 在 上单调递增，又 ，当 时， ，从而当 时， ， 在 上单调递减，又 ，从而当 时， ，即 ，于是当 时， ；当 时，令 ，得 ， ，故当 时， ， 在 上单调递减，又 ，当 时， ，从而当 时， ， 在 上单调递增，又 ，从而当 时， ，即 ，于是当 时， ，不符合题意综上所述，实数的取值范围为
