1、2018 届江苏省无锡市普通高中高三上学期期中基础性检测考数学试题一、填空题1已知集合 ，集合 ，且 ，则实数 _.0,12A1,BxAx【答案】【解析】因为 ，则 ， B2x12若复数 （ 为正实数）的模为 2，则 _.zaia【答案】 3【解析】由题意， ，所以2133 菲波那切数列（Fibonacci,sequence ）,又称黄金分割数列，因数学家列昂 纳多斐波那契（Leonadoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列” ，指的是这样一个数列：1,2,3,5,8,13,21， ，则该数列的第 10项为_.【答案】89【解析】按要求，将数列列出来：1，2，3
2、，5，8，13，21，34，55，89， 所以第 10 项为 89。4若函数 ，则 _.1,03xff5f【答案】2【解析】 5212fff5已知函数 的单调递减区间为 ，则实数 的值为xa,1a_.【答案】 2【解析】由题意， ，则 。126若变量 满足 ，且 恒成立，则 的最大值为,xy236 0yxxya_.【答案】 4【解析】所以过 时， 的最小值为-4，所以 的最大值为-4.0,2xya7将函数 的图象向右平移 个单位长度，若所得图象过点 ，siny01,32则 的最小值是_.【答案】 4【解析】移动后 ，过点 ，sin2sin2yxx1,32则 ，所以 或 ，21sin336k56
3、k所以 或 ，4k2k所以 的最小值为 。8已知函数 ，则 的解为_ .1xf210faf【答案】 ,0【解析】 ， ，1221xxf1221xxf所以 ，为奇函数，ff又 在 上单调递减，12xR所以 ，2 201faffafa所以 ，解得 ，即 。1,09已知 ，则 _.22sinicos3xxcos2x【答案】0 或 45【解析】由题意得 ，得 或 ，2tant30xtan1xt3当 时，得 ，则 ，tan1xsi2cosi0当 ，得 ，则 ，t33in10x241sin5xx所以 或 。cos204510在等差数列 中，已知 ，则数列 的前 10 项和na13240,a12na是_.【
4、答案】 526【解析】 ，则 ； ，则 ，1320a2a2432a31a所以首项 ， ，所以 ，1d1nn，0122nnS，所以 ，012122n nnS所以 ，1n所以 。09526S点睛：由等差数列求得通项公式 ，所以 求和考察错位相减法的应2na1na用，根据错位相减法的解题格式，由 写出 ，则 ，所以解得nSn2nS，则 。12nS09526S11已知实数 满足 ，则 的最小值为 _.,xy2logx1y【答案】 2【解析】 ，则 ，4yx,0xy，即最小值为 。12x 212如图所示，在平行四边形 中， 为垂足，且 ，则ABCD,APBD1AP_.APC【答案】2【解析】如图，延长
5、，过 作延长线的垂线 ，APCCE所以 在 的方向投影为 ，又 ，A1,2P所以 。2E点睛：本题中采用向量数量积的几何意义解题，作出 在 的方向投影 ，由APAE为 中点，可知 ，所以根据数量积的几何意义可知， OAC1,P。2P13关于 的方程 有 3 个不同的实数解，则实数 的取值范围为xxaea_.【答案】 1ln2,【解析】由题意，则临界情况为 与 相切的情况，2yxaxye，则 ，所以切点坐标为 ，2xyelnln2,则此时 ，1a所以只要 图象向左移动，都会产生 3 个交点，2yxa所以 ，即 。1lnal,点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题，画出图象，我们可以知道在 处x
6、a有一个交点，则在 处必须有两个交点，所以我们先求出临界情况相切的位置，xa解得 ，所以求出答案 。l21ln2,14已知正项数列 的首项为 1，前 项和为 ，对任意正整数 ，当 时，n nS,mn总成立，若正整数 满足 ，则 的最小值为2mnnSS ,pq61pqS_.【答案】 7【解析】由题意， ，则 ，21S213S，则 ，312S37同理可知， ， ，45所以 ， ， ，153S2415S3127S所以最小为 。7点睛：由题意，对任意正整数 ， 总成立，则令 ，可知,mn2mnnS 1m递推关系 ， ，由递推关系我们可以求出 ，求112nnSS2345S， ， ，出 的最小值即可。本题
7、的切入点就是由数列定义正确的赋值。pq二、解答题15已知 3,1,21,.abc（1）求 与 的夹角的大小;（2）若 ，求 的值./ck【答案】 （1） （2） 3443【解析】试题分析：（1）利用数量积公式 ，求得夹角；（2）cosab利用平行公式 ，求出 的值.3,12,akbk 121xyk试题解析：（1）设 与 的夹角为 ，因为 ， 所以， 32cos05ab.34（2） 因为 ，即 ， 解得,12,akbk/cakb123k.316如图，在四棱柱 中，底面 为等腰梯形， 1ABCDABCD为边 的中点， 底面 ./,2,ADM1（1）求证： 平面 ；1/1（2）平面 平面 . BAC
8、B【答案】 （1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由图得到四边形 为平行四边形，所以 ，1BCMA1/CMBA所以 平面 ；（2） ， ，所以 平面/CM1AB1B，所以平面 平面 .1ABS1试题解析：证明：因为四棱柱 为四棱柱，1DC所以 且 ，又 为边 的中点，1/C1BMAD所以 ，即 ，BA/又 ，所以 ，2D即 ，所以四边形 为平行四边形，1CM1BCA则 ，又 平面 ， 平面 ，1/CMBA11AB1CM1AB所以 平面 .(2)由（1）知四边形 为平行四边形，且 ，所以四边形 为菱CCMA形，所以 ，BA又 底面 ，所以 ，1CD1BM因为 ，所以 平面 ，11A
9、C又 平面 ，所以平面 平面 .BMS1B17在三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 ，31sin,ta53AB角 为钝角， C5.b（1）求 的值；sin（2）求边 的长.c【答案】 （1） （2） 10iB13c【解析】 （1）由 ，分别求得 ， sinABsincoA，得到答案；（2）利用正弦定理 得到 ，sincoA， iabB310a利用余弦定理解出 。13试题解析：(1)因为角 为钝角， ，所以 ，Csin5A24cos1in5A又 ，所以 ，tan3AB02B且 ，13si,cos1所以 inincoscsinAAB.341500(2)因为 ，且 ，所
10、以 ，sin35aAbB5b310a又 ，9coscosins5CBA则 ，2295231016ab所以 .13c点睛：（1）利用整体思想解决三角函数的求值问题，得到求解；（2）用正弦定理求得 ，再利用角度转化求sinBAB 310a得 ，最后利用余弦定理解出 。cosCc18在一块杂草地上有一条小路 AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形 ABC 内种植花卉.已知 AB 长为 1 千米，设角 AC 边长为 BC 边长的,C倍，三角形 ABC 的面积为 S（千米 2）.1a试用 和 表示 ；S（2）若恰好当 时，S 取得最大值，求 的值.60 a【答案】 （1） （2） 2s
11、incoaS3a【解析】试题分析：（1）设边 ，则 ，由余弦定理求出BCxACx，则面积 ；（2）对22cosxa 211sin2coaSsin进行求导，得到 ，则当 时，面积最大，S2scosaa 06此时 解得 。021cos， 3试题解析：(1)设边 ，则 ，BCxAax在三角形 中，由余弦定理得：，221cosa所以 ，21x所以 ，2sincoaSsin（2）因为 ，22co1sin2aa，22cs1osa令 ，得 0S02cos,1a且当 时， ， ，0S当 时， ， ，002csa所以当 时，面积 最大，此时 ，所以 ，0621a解得 ，23a因为 ，则 .1点睛：解三角形的实际
12、应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。19已知数列 满足 记数列 的前 项和na113, 1nna为 奇 数 ，为 偶 数 ， na为 ， 2,nnSb*.N（1）求证：数列 为等比数列，并求其通项 ；nbnb（2）求 ；n（3）问是否存在正整数 ，使得 成立？说明理由.212nnS【答案】 （1） （2） （3）当 为偶数时， 3nnb4nn都成立， （3）详见解析12nnS【解析】试题分析：（1） ，122 23163nn nbaa
13、b 所以 为等比数列，又 ，所以 ；（2）nb6b，所以 ，分奇偶讨论，当 为奇数时，可212a21n令 ，当 为偶数时，可令21, 4nkkS；（3）22nnk，当 为偶数时， 成立 .213nn212nnSb试题解析：因为 12212136nnnbaa，2 23163n naa即 ，所以 。11,nnbb又 nb（2） ，所以 ，2a211当 为奇数时，可令 *,kN则 212321.nk kkSaa ， 2213.1 4n当 为偶数时，可令 n*2,nkN则 2132121.k kkkkSaaaSb；24n（3）假设存在正整数 ，使得 成立，212nnSb因为 ， ，221nS3所以只要
14、 23nn即只要满足 ： ，和： ，221n对于只要 就可以；n对于，当 为奇数时，满足 ，不成立，2231n当 为偶数时，满足 ，即 n2n213n令 ，213nnc因为 22223181603nnnn 即 ，且当 时， ，2nc2n所以当 为偶数时，式成立，即当 为偶数时， 成立 .212nnSb20已知函数 2ln1.fxmxR（1）当 时，求 的单调区间；f（2）令 ，区间 ， 为自然对数的底数。gxf152,De（）若函数 在区间 上有两个极值，求实数 的取值范围；m（）设函数 在区间 上的两个极值分别为 和 ，gx1gx2求证： .12xe【答案】 （1）增区间 ，减区间 ， （2
15、）详见解析0,【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2） （）函数 在区间 D 上有gx两个极值，等价于 在 上有两个不同的零点，令2ln1gxmx152,e，得 ，通过求导分析得 的范围为 ；（） 0gxlx 5123,e，得 ，由分式恒等变换得2ln1mx122lnl1x，得1212llll x，要证明 ，只需证1122112 2lnlnlnxxx12xe，即证 ，12lnx1212lnx令 ， ，通过求导得到 恒成立，得证。312etxl1tpt0pt试题解析：(1)当 时， ，1m2lnfx所以 21xfx若 ，则 所以的单调区增区间为 00,2若 则 所以的单调区增区间为fx2
16、,（2） （）因为 ，2lngxmx所以 ， ，2l1l1152,xe若函数 在区间 D 上有两个极值，等价于 在 gx lngm152,e上有两个不同的零点，令 ，得 ，02ln1xm设 ，令 2l,xtt0,txex 12e1,xe12152,x52xet 大于 0 0 小于 0tx0 增 12e减 526e所以 的范围为 m5123,e（）由（）知，若函数 在区间 D 上有两个极值分别为 和 ，不gx1gx2妨设 ，则 ，12x12lnl1所以 1212lllnlnxx即 ，1122112 2lnlnlnxxx要证 ，只需证 ，即证 ，12xe12lnx1212lnx令 ，即证 ，即证 ，312etxl1tl1t令 ，因为 ，lntpt2240tptt 所以 在 上单调增， ，所以 ，t3,1e10pt即 所以 ，得证。2ln0,tln2t
