1、第 35 计 符号开门 来意弄懂计名释义数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字：3x+2y+z=100问学生：“这句话的意思是什么？”学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮 3 袋粮食，中马驮 2 袋，小马驮 1 袋，一共驮走了 100 袋粮食.学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3 个未知数 x,y,z.这是个不定方程.学生丙说：这是一个问题：第 1 个数乘 3，第 2 个数乘 2，第 3 个数乘 1，其和为 100.问这 3 个数各为多少？老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字” ，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+ ，= 等数学
2、文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句.典例示范【例 1】 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 09 和字母 AF共 16 个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：E+D=1B，则 AB= ( ) A.6E B.72 C.5F D.B0【分析】 本题破门首
3、先是弄懂数学符号 A，B,C ，D，E，F 的意思.依题意，他们是16 位进制数中后 6 个数字.说它们是第 10，11，12，15 等数字时，则请注意，这是在借用 10 进制说话.这里 11 到 15，在 10 进制中都是十位数，而 A 到 F，在 16 位进制中都是个位数.对于 E+D=1B，有人写成 E+D=14+13=27=1B. 这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里 14，13，1B 中的 1 的意思相同吗？ 【解答】 我们用符号x (10) ,y (16)分别表示 10 进制和 16 进制中的数，依题意，就是16 (10)=10 (16) . 则有 AB=1011 (10)
4、=110 (10) =616+14 (10) =610+E (16)=6E.答案为 A .【插语】 这里，解题人的特殊数学语言（10 进制数和 16 进制数）用特别符号（x(10) 和 y (16) )来与读者“约定” ，使表达式形式准确而简明 .【点评】 高考数学新题型中，往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译：（1）把“新符号”译成“普通话” ；（2）把迁移后（解答后）的“普通话”译成“新符号”.【例 2】 对于任意的两个实数对(a 1，b 1)和(a 2，b 2), 规定：（ a1，b 1
5、)=（a 2，b 2)，当且仅当 a1=a2，b 1=b2，运算“ ”为：（a 1，b 1) (a2，b 2)=(a1a2-b1b2，b 1a2+a1b2)；运算“ ”为：（a 1，b 1) (a2，b 2)=(a1+a2，b 1+b2). 设 p,qR ，若（1，2） （p,q)=(5,0) ，则(1,2) (p,q)= ( 数学破题 36 计) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D .(0,-4)【分析】 本题破门首先是弄清符号 所表示的运算意义：（ 1）运算对象是有序数对（a,b),运算结果也是有序数对（a,b) ；（2）运算法则则是 (翻译）化为普通运算法则进行：a3=a
6、1a2-b1b2，b 3=b1a2+a1b2，同样对符号 进行类似的分析. 于是我们得到如下的解法.【解答】 B 由（1，2） (p,q)=(5，0)得 ，所以21025qpp（1，2） (p,q)=(1,2) (1,-2)=(2,0)，故选 B .【插语】 这里的运算 、 的一种具体形式是复数代数式加法运算和乘法运算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i .由此可以看到，命题人在设计新题型时在如何“推陈出新”. 这里的运算法则 、 设计实际上是把一种具体的（复数）运算法推广到了（有序数对） “一般化”运算.对应训
7、练1.设 是 R 上的一个运算，A 是 R 的非空子集.若对任意 a、 bA,有 a bA，则称 A 对运算 封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 （ ） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集2.定义集合运算：AB =zz= xy( x+y)，xA，y B ，设集合 A=0，1 ，B=2，3 ，则集合 AB 的所有元素之和为 ( ) A.0 B .6 C .12 D .183.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密), 接收方由密文明文（解密）,已知加密规则为：明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4
8、d. 例如，明文 1,2,3,4对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时，则解密得到的明文为 ( ) A .4,6,1,7 B .7,6,1,4 C.6,4,1,7 D. 1,6,4,7参考答案1.【分析】 这里“封闭”的定义，是说集合 A 中的任意两个数经过 运算的结果，仍然是集合 A 中的元素，则称 A 对运算 是封闭的.【解答】 A 中 121 不是自然数，即自然数集不满足条件； B 中 1 20.5不是整数，即整数集不满足条件； C 中有理数集满足条件； D 中 =2 不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案 C .【点评】 本题中的运算 有四个，即
9、加法、减法、乘法和除法（除数不为 0） ，要想这四则运算都封闭，必须经四则运算后的结果，还是所给的数集中的一员.由于是单项选择题，这就需举出反例来说明它的不封闭性.2.【分析】 集合运算 A B 实际上两个集合中元素的积乘以两个集合中元素的和. 所给集合 A 中有一个元素 0，这使问题简化了，因为 0 乘以任何数其结果为 0.【解答】 D 当 x0 时，z0，当 x1，y2 时，z6，当 x1，y 3 时，z12，故所有元素之和为 18，选 D .【点评】 所给集合就是两个元素，我们可以一一把它们的结果列举出来，因为有 0 的存在，使得我们的计算大大地省下了一笔.这也是命题人给考生的照顾吧！3.【解答】 C 依题意，建立方程组解得 d=7，c=1，b=4，a=6，选 C .,2843,91dcba【评说】 由信息的传递迁移到数学中的方程组，这是通过一些数字迁移到另外一些数字上去，可见数学的神密所在.
