1、天津市部分区 20172018 学年度第一学期期末考试高三数学（理）参考答案一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.18CABDC CDB二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 10 11 12 133 14 32i240341,e三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15） （本小题满分 13 分）解：（） 22cosin3sicofxxx2 分4 分12cosin2si6xx所以 ，所以 的最小正周期为 6 分Tf（）由 ，得 ， 7 分,64x22,63x所以当 ，即 时，函数 单调递增
2、；2,fx当 ，即 时，函数 单调递减；9 分,63x,64xf且当 ，即 时， ，此时 ；21sin26x=1fx当 ，即 时， ，此时 ;6x6xi2f当 ，即 时， ，此时 ; 12 分2343sin26x=3fx所 以 当 时 ， 取 得 最 小 值 ； 当 时 ， 取 得 最 大 值 136xfx1f2分（16） （本小题满分 13 分）解：（I）记参加田赛服务工作的志愿者中包含 但不包含 的事件为 ，ABM则基本事件的总数为 ， 1 分510C事件 包含基本事件的个数为 ， 2 分M48则 . 4 分48510P(II)由题意知 可取的值为： . 5 分X,234则 5610,C4
3、1650,2CPX3264510,CPX10 分2364510,PX14650,因此 的分布列为0 1 2 3 4P425051211 分的数学期望是X()01234EPXPXPX= 13 分155234.4（17） （本小题满分 13 分）解：方法一：（I）因为 ，则 ， ，90ACBDACDB所以 为二面角 的平面角，即 ， 1 分BDE60B在 中， ， ， ，21所 以 ， 所 以 ， 即 ，241322CC2 分由 ， ，且 ，可知 平面 ，ACDBDABDz yx EDCB A又 平面 ，所以 ，3BDCABD分又因为 ， 平面 ， 平面 ，ACEACDE所以 平面 4E分（II）
4、由 平面 得 ， ，又 ，即 ， ，BDCBDB两两垂直，E则以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所Exyz示由（I）知 ， 则 ， ， ，3BD0,3,0B,10C由 得 ， 6 分2ACE,2,1A依题意 ， ，30,13,B设平面 的一个法向量为 ，BAE,nxyz则 ，即 ，不妨设 ，可得 ， 0n302yxz33,2n8 分由 平面 可知平面 的一个法向量为 9ACBDC0,3AC分设平面 与平面 所成的角（锐角）为 ，AE所以 ，于是 ， 61cos,432nC =3所以平面 与平面 所成的角（锐角）为 10 分BDAE（III ）若 为 的中点，则由
5、（II）可得 ，所以 ，F31,2F31,02EF11 分依题意 平面 ，可知平面 的一个法向量为 ，CDBEBDE,DC12 分设直线 与平面 所成角为 ，则EFBD，所以直线 与平面 所成角的大小1sinco, 2CEF EFBD13 分6方法二：（I）因为 ，则 ， ，90ACBDACB所以 为二面角 的平面角，即 ，1 分E60D在 中， ， ， ，D21B所 以 ， 所 以 ， 即 ，2413B22CBC2 分由 ， ，且 ，可知 平面 ，ACBDAD又 平面 ，所以 ， 3 分BDAC又因为 ， 平面 ， 平面 ，ECE所以 平面 4 分E（）令 的延长线的交点为 ，连 。则平面
6、平面 ，CDAE, GBDCBAEG二面角 即平面 与平面 所成的角（锐角） 5 分BCDAE ， ， 是 的中位线， ，A212 为正三角形。 6 分CG令 的中点为 ，连 。易知 ，且 7 分BHC,BGH3C在直角 中， ，A132AB在直角 中， ， ， ，8AGC132GCAAGBBH分 是二面角 的平面角。 9 分HB在直角 中， ，A3tanCHAAC60平面 与平面 所成的角（锐角）为 。10 分BCDE60（） ， ， ，即 。DEG又 是正 的边 的中点， ，GB 是平面 内的两条相交直线 平面 。11 分EB, DE 是直线 与平面 所成的角。显然 。12 分DBE30
7、，直线 与平面 所成的角为 13 分FGFD（18） （本小题满分 13 分）解：（）设数列 的公比为 ，则由条件得：naq， 1分324a又 ，则 ，1322241qq因为 ，解得： ， 3分20故 . 4分na（）由（）得： ， 5 分12nnba则 231nS 6 分342n- 得： 23412nnn 12221 4nnn 所以 9 分24nnS则 ，则 10 分97ng27,ngN由 11 分32321791nnngn得：当 时， ； 904N45gg当 时， ；25nn567所以对任意 ，且 均有 ，故 .13 分nk（19） （本小题满分 14 分）解：（）由题意知 ，则 ， 1
8、分12cac圆 的标准方程为 ，从而椭圆的左焦点为 ，即 ，M6)(2yx 1,0F1c所以 ，又 ，得 3 分2bc3b所以椭圆的方程为： . 4 分142yx（）可知椭圆右焦点 5 分2,0F（）当 l 与 x 轴垂直时，此时 不存在，直线 l： ，直线 ，k1x1:0ly可得： ， ，四边形 面积为 12. 7 分3AB8CDACBD（）当 l 与 x 轴平行时，此时 ，直线 ，直线 ，=0k:0ly1:lx可得： ， ，四边形 面积为 . 8 分4338（iii ）当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ，并设 ，ykx1,Axy.2,By由 得 . 9 分,134)(2xk22
9、438410kxk显然 ，且 ， . 10 分021243k2143k所以 . 11 分221()ABx过 且与 l 垂直的直线 ，则圆心到 的距离为 ，2F1:(1)lyxk1l12k所以 . 222434()CD12 分故四边形 面积： .AB211243SABCDk可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为(12, ). 3813 分综上，四边形 面积的取值范围为 14 分AB12,8320.（本小题满分 14 分）解：（）依题意知函数 的定义域为 ，且 . fx0,1fxa1 分（1）当 时， ，所以 在 上单调递增. 0aff,3 分（2）当 时，由 得： ， 4 分0
10、fx1a则当 时 ；当 时 .10,xaf,0fx所以 在 单调递增，在 上单调递减. 5 分f,1,a（） 不是导函数 的零点. 7 分12xgx证明如下：由（）知函数 . 8 分2lnx ， 是函数 的两个零点，不妨设 ，1x2x120 ， 两式相减得：21122 2ln0lnx1211lxx即： 102121nx分又 .21gx则 12121212 12ln44xx x 121212lnx. 11 分设 ， ， ，2t120x0t令 ， . lntt22114ttt12 分又 ， ， 在 上 是 増 函 数 ，01t0tt,则 ， 即 当 时 ， ，t1t21ln0t从而 ，13 分1212ln0xx又 所以 ，12120121212ln0xx故 ，所以 不是导函数 的零点. 14120xgxg分
