1、2天津一中 20172018 学年度高三年 级三月考 试卷数 学（文史类 ）第卷 一选择题：在每小题给出的四个选项 中，只有一项 是符合题目要求的每小题 5 分，共40 分1已知集合 A x Z | x 1 | 3 ， B x | x2 2x 3 0 ，则 A (C B) （ ）A 2,1 B 1, 4 C 2, 3 D 1, 02若从集合 1, 2, 3, 5 中随机地 选出三个 元素，则 满足其 中两 个元素的和 等于第三 个元素的概率为（ ）A 14 B 12 C 34 D 133下列说法 正确的是 （ ）A若 a R ，则 “ 1 1 ”是“ a 1 ”的必要不 充分条件aB “ p
2、q 为真命题”是 “ p q 为真命题”的必 要不充分 条件C若命题 p ：“ x R ， sin x cos x 2 ”，则 p 是真命题D命题“ x0 R ， x0 2 x0 3 0 ”的否定 是“ x R ， x 2x 3 0 ”4执行如右 图所示的 程序框图 ，则输出 S 的值为（ ）A lg9 B 1 C lg11 D 15直线 y kx 3 被圆 x 22 y 32 4 截得的弦 长为 2 3 ，则直线的倾 斜角为（ ） 5A 或6 6 B 或 3 3 C 或 D 6 6 60 6若 f x 2cos 2x ( 0) 的图像关于直线 x 3 对称，且 当 取最小值时， x 0, ，
3、使得 f x0 a ，则 a 的取值范 围是（ ）2 A 1, 2 B 2, 1 C 1,1 D 2,17已知 f x 是定义在 R 上的奇函数， 对任意两 个不相 等的 正数 x1 , x2 ，都有x2 f x1 x1 f x2 f 4 .10.2 f 0 .42.1 f log 4.1 0 ，记 a ， b ， c 0.2 ，则x1 x2（ ）4.10.2 0.42.1 log0.2 4.1A a c b B a b c C c b a D b c ax2 x 3, x 1,8已知函数 f ( x) x 2 , x 1.x设 a R ，若关于 x 的不等式 f ( x) | x a | 在
4、 R2 上恒成立，则 a 的取值范围是 （ ）A 47 , 216 B 47 , 39 16 16 C 2 3, 2 D 2 3, 39 16第卷二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知复数 z 满足 (1 2i)z i ,其中 i 为虚数单位，则 复数 z 的虚部 为 10已知函 数 f (x) 2 f (1) ln x x ，则 f (x) 的极大值为11某几何 体的三视 图如右图 所示，则 该几何体 的体 积为12已知 双 曲线 C : x2 y 2 1 (a 0, b 0) 的右焦点为 F ，抛物线 E : x 2 4 y 的焦点a2 b2B 是双曲线虚 轴上的
5、一 个顶点， 若线段 BF 与双曲线 C 的右支 交于点 A ，且 BA 3AF ，则双曲线 C 的离心率 为 13对任意 的 (0, ) ，不等式2是 1 sin 2 4 cos2 | 2 x 1 | 恒成立，则实数 x 的取值 范 围14在平 行 四边形 ABCD 中，已知 AB 6 ， BAD 600 ，点 E 是 BC 的中点， AE 与 BD 相交于点 P ，若 AP PC 15 ，则 BC 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边 分别为 a, b, c 已知 a s
6、in A 4b sin B ，ac 5 (a2 b2 c 2 )（）求 cos A 的值（）求 sin(2B A) 的值某营养学家 建议：高 中生每天 的蛋白质 摄入量控 制在 60 ， 90 （单位： 克），脂 肪的摄入量控制在 18 ， 27 （单位： 克）某学 校食堂提 供的伙食 以食 物 A 和食物 B 为主，1 千克食 物 A 含蛋白质 60 克，含 脂肪 9 克，售价 20 元；1 千克 食物 B 含蛋白质 30 克，含脂肪 27 克，售价 15 元（）如果 某学生只 吃食物 A ，判断他的 伙食是否 符合 营养学家 的 建议，并 说明理由（）为了 花费最低 且符合营 养学家的 建
7、议，学 生需 要每天同时 食用食物 A 和食物 B 各多 少千克？并 求出最低 需要花费 的钱数n 如图，三棱 柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 A1A底 面 ABC，且 各棱长均相 等，D ， E，F 分别为 棱 AB， BC， A1C1 的中点（）证明 EF平面 A1CD（）证明 平面 A1CD平 面 A1ABB1（）求直 线 B1C1 与平面 A1CD 所成角 的正弦值18（本小题满分 13 分）已知数列 an ， bn ， Sn 为数列 an 的前 n 项和， a2 4b1 ， Sn 2an 2 ，nbn 1 n 1 bn n2 n （ n N * ）（ ）求 数 列 an 的通项公
8、式（）证明 bn 为等差数 列 （）若数 列 cn 的通项公式为 cn T2 n anbn , n 为 奇 数2anbn ， n 为 偶 数4，令 Tn 为 cn 的前 n 项的和 ， 求2已知函数 f ( x) x ln x ， g (x) (x 2 1) （ 为常数）（）若函 数 y f ( x) 与函数 y g ( x) 在 x 1 处有相同的切线 ，求实数 的值（）若 1 ，且 x 1，证明： f ( x) g ( x)2（）若对 任意 x 1,) ，不等式恒 f ( x) g ( x) 成立，求实 数 的取值范围20（本小题满分 14 分）在平面直角 坐标系中 ，焦点在 x 轴上的椭
9、 圆 C： x8 y 1 经过点 (b,2e) ，其中 e 为椭圆b 2C 的离心率过 点 T (1,0) 作斜率为 k (k 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点( A 在 x 轴下方)（）求椭 圆 C 的方程（）过原 点 O 且平行 于 l 的直线交 椭圆 C 于点 M， N，求 AT BT MN 2 的值 2 （）记直 线 l 与 y 轴的交 点为 P若 AP 5 TB ，求直线 l 的 斜率 k参考答案：1 D 2 B 3 A 4 B 5 A 6 D7 A 8 A 9 1510 2 ln 2 2 11 8 3 12 17 13 4, 5314 315【答案】（） 5 ；( )
10、 2 5 5 5b2 c2 a25 ac5 5 由 ac 5 (a2 b2 c 2 ) 及余弦定理，得 cos A 2bc ac 5（）由（）可 得 sin A 2 5 ，代入 a sin A 4b sin B ，得 sin B a sin A 5 5 4b 5由（）知 A 为钝角 ，所以 cos B 1 sin 2 B 2 5 54 3于是 sin 2B 2 sin B cos B ， cos 2 B 1 2 sin 2 B ，5 5故 sin(2B A) sin 2B cos A cos 2B sin A 4 ( 5 ) 3 2 5 2 5 5 5 5 5 5（）解：如果学 生只吃食物 A
11、 ，则蛋白质的摄 入量 在 60 ， 90 （单位：克） 时，食物 A 的重量在 1 ， 1.5 （单位：千克）， 其相应的脂肪 摄入 量在 9 ， 13.5 （单位： 克），不符合营养 学家的建议； 当脂肪的摄入 量在 18 ， 27 （单位：克）时 ，食物 A 的重量在 2 ， 3 （单位：千克），其 相应的蛋白质 摄入 量在 120 ， 180 （单位： 克），不符合营养 学家的建议 .（）设学生每天 吃 x 千克食物 A ， y 千克食物 B ，每天的 伙食费为 z 20x 15 y ，60 60 x 30 y 90 2 2 x y 3由题意 x ， y 满足 18 9 x 27 y
12、27 ，即 2 x 3 y 3 ，x 0, y 0 x 0, y 0可行域如图所示，把 z 20x 15 y 变形为 y 4 x 1 z ，得到斜率为 4 ，3 15 3在 y 轴上截距为 1 z 的一族平行直线 .由图可以看出 ，当15直线 z 20x 15 y 经过可行域 上 的点 B 时，截距 1 z 最大 .152 x y 2 4 2解方程组 ，得点 B 的坐标为 ( ， ) ， x 3 y 2 5 5所以 z 20x 15 y 20 0.8 15 0.4 22 元，答：学生每天吃 0.8 千克食物 A ， 0.4 千克食物 B ，既能符合营 养学家的建议又花 费最 少.最低需要花费
13、22 元 .【答案】（）详 见解析；（ ）详见解析； （ ） 55【解析】(1) 证明：如 图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，A C A1C1，且 AC A1C1，连接ED，在 ABC 中， 因为 D，E 分别为 AB，B C 的中 点，1所以 DE2AC 且 DE AC，又因为 F 为 A1C1 的中点，可得 A1FDE ，且 A1F DE，即四边形 A1DEF 为平行四边形，所以 EF DA1.故 BG平面 A1CD. 由此得 BCG 为直线 BC 与 平 面 A1CD 所成的角n2n设棱长为 a，可得 A1D 5a ， 由 A1AD BGD，易得 BG 5a .2 2在 Rt BG
14、C 中，si n BCG BG BC5 . 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值 为55 .518【 答案 】 （ 1） a 2n （2 ）见解析（ 3） T 7 12n 7 4nn 2 n 9 9Sn 2an 2 an试题解析：（ 1）当 n 1 时， Sn 12an1 2 an 2an 2an1 2an 1当 n 1 时， S1 2a1 2 a1 2 ，综上， an 是公比为 2，首项为 2 的等比数列， an 2（2 ） a2 4b1 ， b1 1 ， nbn 1 n 1 bn n n ， bn 1n 1 bn 1n综上， bn 是公差为 1，首项为 1 的等差数列， bn
15、1 n 1 b n2 . n （3 ）令 pn c2 n1 c2 n2n 12 22 n1 2n2 22n 4n 1 22n 2 4n 1 4n12 4T2 n 3 40 7 41 11 42 4n 1 4n 4T2n 3 41 7 42 11 43 4n 5 4n 4n 1 4n 1 ，得 3T2 n 3 40 4 41 4 42 4 4n 1 4n 1 4 n16 4 4n 3T2 n 3 4n 1 41 4T2 n 7 1 2 n 7 4n9 919【答案】（1） 1 （2 ）详见解析 （ 3） 12 2【解析】解：（1） f ( x) ln x 1 ，则 f 1 1 且 f 1 0 .
16、所以函数 y f ( x) 在 x 1 处的切线方程为： y x 1 ， 从而 g (1) 2 1 ，即 1 .2（ 2）由 题意知：设函数 h x x ln x 1 x2 1 ，则 h x ln x 1 x .2设 p x ln x 1 x ，从而 p x 1 1 0 对任意 x 1， 恒成立，x所以 p x ln x 1 x p 1 0 ，即 h x 0 ，因此函数 h x x ln x 1 x2 1 在 1， 上单调递减，即 h x h 1 0 ，2所以当 x1 时， f ( x) g (x) 成立 .设函数 H x x ln x x2 1 ，.当 0 1 时，设 q x H x ln
17、x 1 2 x ，2则 q x 1 2 0 x 1 1x 2x 1, 1 q x 1 2 0 q x H x ln x 1 2 x 单调递增，2 时， x ，此时当所以 H x ln x 1 2 x H 1 1 2 0 ，x 1, 1 H ( x)故当 时，函数 单调递增 .2 x 1, 1 H (x) 0于是当 时， 成立，不符合题意；2 综上所述，实数 的取值范围为： 12202 y2 b2 4e2解： （1 ）因为 椭圆 x 1 经过点(b ，2 e)，所以 1 8 b2 8 b22 c2 b2 2 因为 e2 c a 8，所以 8 c2b21 1 2 1 2 1 2 2，2 8b 2因为 a2b 2 c2，所以 b 8 2b2 1 整理得 b41 2b23 20 ，解得 b24 或 b28 (舍) x2 y2所以椭圆 C 的方程为 8 4 1 因为 (1x )(x 1 ) x x (x x )1 7 ，2k 132 (xM xN)24 x2 2k212 2 所以 AT BT (1x 1) (x21 ) 7 k 1 7 MN 2 (x x )2 k2132 2M N 2 3（3 ）在 yk(x1 )中，令 x0 ，则 yk，所以 P(0，k)，
