1、2018 届福建省霞浦第一中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）一、单选题1. 若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 集合 ，且 ，故 ，故 答案中 满足要求，故选 A.2. i 是虚数单位，则复数 的虚部是（ ）A. 1 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】试题分析：复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为 a+bi 的形式，即可推出结果解： = = = ，所以复数的虚部为： 故选 C考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算3. 平面向量 与 的夹角为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知 ， ，故选 C.
2、4. 若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： 的圆心坐标为 所求直线的斜率 直线方程为,故选 C.考点：直线与圆的位置关系.5. 如果两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 垂直相交【答案】C【解析】在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行,当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行，故这两个平面有可能相交或平行，所以这两个平面的位置关系是相交或
3、平行，故选 C.6. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 中 是奇函数且在 上是减函数； 中 ， 是偶函数，中 在 分别是减函数，但在定义域 上不是减函数， 中 非奇非偶，故选 A.7. 在等差数列 中， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由等差数列的性质可得 ， ，则 ，即 ，也即，所以 ，到直线 ，所以，应选答案 C。8. 已知实数 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出约束条件 表示的可行域，如图， 表示点 与可行域内动点 连线的斜率，由图可知 两点连线
4、斜率最小，由 可得 ，即 的值为 ，故选 D.9. 如图, 均垂直于平面 和平面 ， ，则多面体 的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，多面体 为棱长为 的正方体，切去两个角， 多面体 的外接球的直径为，半径为 多面体 的外接球的表面积为 ，故选 C.10. 如图为体积是 3 的几何体的三视图，则正视图的 值是（ ） A. 2 B. C. D. 3【答案】D【解析】几何体是一个四棱锥，如图， ，故选 D11. 曲线 上的点到直线 的最短距离是（ ）A. B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】设与 平行的直线与 相切，则切线斜率 k=1， ，由 ，得当 时
5、, 即切点坐标为 P(1,0)，则点(1,0)到直线的距离就是线 上的点到直线 的最短距离，点(1,0)到直线的距离为： ，曲线 上的点到直线 l: 的距离的最小值为 .故选：A.12. 已知椭圆的左焦点为 ，右焦点为 .若椭圆上存在一点 ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段 相切于线段 的中点，则该椭圆的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段 相切于 点，连接 分别是 的中点，且 ， ，根据椭圆的定义， ，两边平方得： ， 代入并化简得 ， ， ，即椭圆的离心率为 ，故选 D.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率
6、的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;找出 之间的关系，构造 的齐次式求出离心率；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解二、填空题13. 将函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位所得图象对应函数的解析式是_【答案】【解析】解：结合三角函数的平移变换公式可知，函数平移之后的解析式为：.14. 已知函数 ，且有 g(a)g(b)=2，若 a0 且 b0 且，则 ab 的最大值为_【答案】【解析】由 得 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧
7、，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15. 若向量 、 、 两两所成的角相等，且 、 、 ，则 _.【答案】 或【解析】因为向量、 、两两所成的角相等，所以向量、 、两两所成的角为 或 0因此 或16. 函数 的图象与函数 的图象的公共点个数是_个.【答案】2【解析】试题分析：将 的图像与 的图像画在平面直角坐标系中即可，则由图像可知这两个图像有 2个交点.考点：1.分段函数的图像；2.数形结合思想.三、解答题17. 已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列
8、.（1）求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2 ）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列 前 n 项和。试题解析：（）设等差数列an的公差为 d，由题意得d= = = 3 an=a1+（n1）d=3n设等比数列bnan 的公比为 q，则q3= = =8， q=2，bnan=（b 1a1）q n1=2n1， bn=3n+2n1（）由（）知 bn=3n+2n1， 数列3n 的前 n 项和为 n（n+1） ，数列2n1的前 n 项和为 1 =
9、 2n1，数列 bn的前 n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3. 数列求和。18. 中，内角 的对边分别为 ，已知 （1 ）求 的值； （2 ）设 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）先切化弦化简 得 ，再利用正弦定理得 ，利用平方关系得 ，最后代入求值（2）由向量数量积得 ，再由余弦定理得 a2+c2=b2+2accos B=5，最后根据 解得 的值.试题解析：（1）由 得 ，由 b2=ac 及正弦定理得 于是 （2 ）由 得 ，由 ，可得 ，即 ，由余弦定理 b2=a2+c22accosB 得 a2+c2=b2+2acc
10、os B=5.所以 a+c=3.19. 三棱柱 ，侧棱与底面垂直, , 分别是 的中点（1 ） 求证： 平面 ；（2 ） 求证：平面 平面 【答案】 （1）见解析；（2） 见解析【解析】试题分析：（1）欲证 平面 ,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 与平面内一直线平行即可,而连接 ，根据中位线定理可知 ， 又 平面 满足定理所需条件；（2）证明 ，即可证明 平面 ，从而证明平面 平面 .试题解析：（1）连接 在 中， ， 是 ， 的中点， ，又 平面 ， 平面 （ ）三棱柱 中，侧棱与底面垂直，四边形 是正方形， ， ，连接 ， ，则 ， ， 是 的中点， ， ， 平面 ， 平面 ，平面
11、 平面 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.20. 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3） ，且点 F（2，0）为其右焦点。()求椭圆 C 的方程；()是否存在平行于 OA 的直线，使得直线与椭圆 C 有公共点，且直线 OA
12、 与的距离等于 4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【答案】 （1） 1（2）直线 l 不存在【解析】试题分析：（1）先设出椭圆 C 的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得 c 和 a，进而求得b，则椭圆的方程可得 （2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去 y，进而根据判别式大于0 求得 t 的范围，进而根据直线 OA 与 l 的距离求得 t，最后验证 t 不符合题意，则结论可得试题解析：（1）依题意，可设椭圆 C 的方程为 ，且可知左焦点为 F（-2，0） ，从而有解得 又 所以 故椭圆 C 的方程为 （2 ）假设存在符合题意的直线，其方程为 由 得 ，因为直线与
13、椭圆有公共点，所以有 解得 ，另一方面，由直线 OA 与的距离 ，从而 ，由于 ，所以符合题意的直线不存在考点：1椭圆的标准方程； 2直线与圆锥曲线的综合问题21. 已知函数 .(1)求函数 的单调区间；(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数的最小值.【答案】(1)见解析 ;(2)2.【解析】试题分析：(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ;(2)将原问题转化为 在 上恒成立，考查函数 的性质可得整数的最小值是 2.试题解析：(1) ，函数 的定义域为 .当 时， ，则 在 上单调递增，当 时，令 ，则 或 (舍负)，当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数，当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间，
