1、,第九章,第七节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,问题的提出,考虑二元函数z=f(x,y)的偏导数,仅反映函数在水平方向（横轴方向）上的变化率。,同理，偏导数,仅反映函数在垂直方向上的变化率。,在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。,一、方向导数的定义,函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向 上的方向导数。,与l同方向的单位向量为,则射线 l 的参数方程为,称之为函数在l方向上的增量。,称之为函数在l方向上的平均变化率。,如果极限,存在,l的参数方程为,则称它为 f ( x , y )
2、 在点 处沿方向 l 的方向导数。,记为,问题1：方向导数与偏导数的关系？,问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是 什么？如何计算方向导数？,方向导数就是函数在点 处沿方向 l 的变化率。,（1）在 x 轴的正方向上，,假设 z = f ( x , y ) 在点 偏导数存在,问题1：方向导数与偏导数的关系？,假设 z = f ( x , y ) 在点 偏导数存在,（2）在 x 轴的负方向上，,问题1：方向导数与偏导数的关系？,（3）同理，在 y 轴的两个方向上,正方向：,负方向：,则函数在,该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在.,即：偏导数是一种特殊的方向导数。,结论2：偏导数存在不
3、能保证斜方向的方向导数存在。,思考：若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否保证偏导数一定存在？,例1：,解：,不存在。,结论3,定理 如果函数 f(x,y)在点 可微分，那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且有,其中 是方向 l 的方向余弦.,证: 由假设，f(x,y)在点 可微，故有,问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是 什么？如何计算方向导数？,但点 在以 为始点的射线l 上时，应有,这就证明了方向导数存在，且其值为,计算可微函数方向导数的步骤：,（1）确定给定方向l的方向余弦：,即与l同方向的单位向量。,（2）计算偏导数,（3）利用公式计算,或,例1 求函数 在点P(
4、1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.,所求方向导数为,解,由方向导数的计算公式知,故,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,对于三元函数f(x,y,z)来说,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例3. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,的方向导数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x
5、增大方向的方向导数.,解: 将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。,令,则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为,指向外侧，,则指向内侧，,令,故,又,解：,的方向余弦，即与 同方向的单位向量为,故,定义：设函数f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点 都可定出一个向量这向
6、量称为函数f(x,y)在点 的梯度，记作，即,二、梯度,问题：函数在点P沿哪一方向增加的速度最快，或变化率最大？,问题：引进梯度概念的意义是什么？,（1）梯度与方向导数的关系,是 l 的方向余弦，,为最大值。,就是梯度在射线 l 上的投影。,为最小值。,结论,即：函数在梯度方向上的方向导数最大，或者说函数在 梯度方向上的增加速度（变化率）最快（最大）；而沿 梯度的反方向函数减少最快。,设函数f(x,y,z)在空间区域G具有一阶连续偏导数 ，则对于每一点 ，都可定出一个向量,这向量称为函数f(x,y,z)在点 的梯度，将它记作 ，即,梯度的概念可以推广到三元函数,类似于二元函数，此梯度也是一个向
7、量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,解,由梯度计算公式得,故,梯度的基本运算公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,证:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）等高线与梯度,为 z = f ( x , y ) 的一条等高线,当平面 z = c 上下移动时，得到一簇互不相交的等高线。,（2）等高线与梯度,等高线在点 P ( x , y ) 处的一 个法向量可取为,这表明梯度 的方向与等高线上这点的一个法线方向相同，而沿这个方向的方向导数 就等于 。,结论： 函数在一点的梯度与等高线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等高线指向数值较高
8、的等高线，梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.,如果我们引进曲面f(x,y,z)=c 为函数f(x,y,z)=c的等量面的概念，则可得函数f(x,y,z)在点 的梯度的方向与过点 的等量面f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.,三、物理意义,函数,数量场 (数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 电位场等,如: 力场,速度场等,(势场),注意: 任意一个向量场不一定是梯度场，因为其不一 定是某个数量函数的梯度场.,机动 目录 上页 下页 返回
9、 结束,解,故,练习：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为,解,解,沿梯度方向温度变化率最大，最大值为,沿负梯度方向最小，最小值为,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在
10、 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1. (1),在点,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M (1,1,1) 处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P96 1，4，5，7,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(92考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,2. 函数,提示:,则,(96考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点,试证,证: 利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
