1、第十讲 函数的零点及二分法一、知识要点及基础题目：1、函数的零点：函数 的零点就是方程 的解，也就是函数 的图)(xfy )(xfy象与 轴交点的 。（1） 、函数 的零点个数=方程 的解的个数；)(f（2） 、函数 与 的交点个数=方程 的解的个数xy)(g（3） 、单调函数的零点个数 1。练习 1、求下列函数的零点：（1） ； （2）42)(xf 23)(2xxf练习 2、 （1）若 1 是函数 的零点，则 。xay（2）若函数 的两个零点为-2 及 3，则 bf2)( ba练习 3、方程 的解的个数为 03lgx练习 4、已知定义域为 的偶函数在 ）上是增函数，且在 ）上有一个零,0(
2、,0(点，则方程 的解的个数为 )(xf练习 5、若函数 仅有一个零点，则 12aa2、零点存在定理：如果函数 在闭区间 上的图象是连续不断的曲线，并且有 )(xfy,b，那么函数 在开区间 上有零点，即存在 ，使 ，这个)(xfy, ),(0bx0)(xf就是方程 的根。0x（1） 、零点存在定理只可确定有零点，但不能确定零点的具体个数；（2） 、函数 在区间 上有零点时， 不一定成立；)(xfy),(ba0)(bfa但函数 在区间 上有唯一零点时， 一定成立。练习 1、若 唯一的零点在区间（1，3 ）内，则它在下列区间上一定有零点的是（ )(xfy）A （0，1） B （1，2） C （2
3、，3） D （0，3）练习 2、若函数 在区间 内有)(xfy)5,( 0)5(,)4(,)(,)2(,)1( fffff则 在区间 上的零点至少有 个。练习 3、函数 的零点所在区间为（ ）4)(xefA （0 ，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）练习 4、若函数 有区间（0 ，1）上只有一个零点，则 的取值范围为 )(af a3、二分法求函数的近似零点：求函数 在区间 上的零点的近似值，就是把零)(xfy),(b点所在区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。给定精确度 ，用二分法求函数 零点的近似值（或方程 的近似解）的d)(xfy 0)(
4、xf步骤：（1）确定初始区间 ，满足 且 （2）取区间中点 = ),(baZ, p， （3）计算 以决定取区间 或 ，若 ，则函数的零点为 )(pfp)(b0)(pf，若 则零点所在区间为 ，否则就在区间 ,0a（4）判断是否达到精度要求，即区间长度 时，零点的近似值就取区间端点中的一个d即可，否则重重（2）-（4）步。练习 1、函数 零点所在区间为（ ）175)(2xxfA （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）练习 2、方程 的负根所在区间为（ ）02A （-3 ，-2） B （-2，-1） C （-1，0） D （0 ，1）练习 3、用二分法求函数 零点的近似值（精确
5、度 0.1）.62ln)(xxf解: 因为函数在 上为增函数,且 ,所以它在区间 上有唯一零0)3(,)(ff )3,2(点. 列出右表由表可知,函数的零点的近似值为 练习 4、用二分法求方程 在区间 的根的近似值时,取区间中点为 2.5,则0523x)32(下一个有根的区间为 练习 5、借助计算器求函数 在区间 的零点的近似值(精确度 0.1).)(3f ),区间左端点 区间右端点 区间中点 中点函数值2 3 2.5 -0.0832.5 3 2.75 0.51162.5 2.75 2.625 0.21512.5 2.625 2.5625 0.06602.5 2.5625二、典型例题示范三、课
6、后练习:1、若函数 只有一个零点 2，那么函数 的零点是（ ）baxfaxbg2、 、 、 、 2,01,1,02、对于函数 若 则函数 在区间 内（ ）2()fxmn(),()fafb()fx(,)ab、一定有零点 、一定没有零点 、可能有两个零点 、至多一个零点3、 ，若 (mn)，则函数 在区间 内 （ 2fxbc0,ffxf,mn）A、一定没有零点 B、可能有两个零点 C、有且只有一个零点 D、一个或两个零点4 已知函数 的图象是不间断的，并有如下的对应值表:fx1 2 3 4 5 6 7fx8 7 3 5 5 4 8那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个A5 B4 C3 D25、若方程 在（0，1）内恰有一解，则的取值范围 （ ）2axA、 B、 C、 D、 1a01a6、函数在 的零点所在的区间是 （ ）()lnfxA、 B、 (2,3) C、 D、(1,2)(1,e)(e,)7、方程 的解所在区间是 （ ）3lgoxA、 B、 C、 D、0,21,2,3,4
