1、28 函数的图象1作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：确定函数定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等 )；描点并作出函数图象(2)图象变换法2图象变换的四种形式(1)平移变换水平平移：yf( x)的图象向左平移 a(a0) 个单位长度，得到_的图象；yf(xa)( a0)的图象可由yf(x) 的图象向_平移 a 个单位长度而得到竖直平移：yf( x)的图象向上平移 b(b0) 个单位长度，得到_的图象；yf(x) b(b0)的图象可由yf(x) 的图象向_平移 b 个单位长度而得到总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”
2、(2)对称变换yf(x) ，yf(x)，y f(x)三个函数的图象与 yf(x)的图象分别关于_、_、_对称；若对定义域内的一切 x 均有 f(mx)f(mx )，则 yf( x)的图象关于直线_对称(3)伸缩变换要得到 yAf(x )(A0)的图象，可将 yf(x)的图象上每点的纵坐标伸 (A1 时)或缩(A0)的图象，可将 yf(x) 的图象上每点的横坐标伸( a1 时)到原来的_(4)翻折变换y|f (x)|的图象作法：作出 yf (x)的图象，将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，上方的部分不变；yf(|x|) 的图象作法：作出 yf (x)在 y 轴右边的
3、图象，以 y 轴为对称轴将其翻折到左边得 yf(|x|)在 y 轴左边的图象，右边的部分不变自查自纠2(1)yf(x a) 右 yf (x)b 下(2)y 轴 x 轴 原点 x m(3)A 倍 倍1a函数 y5 x 与函数 y 的图象关于( )15xAx 轴对称 By 轴对称C原点对称 D直线 yx 对称解：y 5 x ，可将函数 y5 x 中的 x，y 分别换成x，y 得到，故两者图象关于原点对称故选 C.15x为了得到函数 y2 x3 1 的图象，只需把函数 y2 x 的图象上所有的点( )A向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度B向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个
4、单位长度C向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度D向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度解：y2 x y2 x3 向 右 平 移 3个 单 位 长 度 y2 x3 1.故选 A. 向 下 平 移 1个 单 位 长 度 若 loga20，且 a1) ，则函数 f(x)log a(x1)的图象大致是( )解：因为 loga20，在 上 ycos x0，得 x1，由 f(x)0 部分关于 y 轴的(12)x(12)x(12)x对称部分，即得 y 的图象，如图实线部分(12)|x| (2)将函数 ylog 2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上
5、去，即可得到函数y|log 2(x1)| 的图象，如图.(3)因为 y2 ，故函数图象可由 y 图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位即得，如图.1x 1 1x (4)y 其图象如图.x2 2x 1， x 0，x2 2x 1， x 0. )【点拨】画函数图象的一般方法：(1)直接法当函数解析式 (或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出(2)图象变换法若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响作出下列函数的图象：(1)y|x 24x3| ；(2)y ；2x
6、 1x 1(3)y10 |lgx|.解：(1)先画出函数 yx 24x3 的图象，再将其 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，如图.(2)y 2 ，可由 y 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到，如图.2x 1x 1 1x 1 1x(3)y10 |lgx| 如图 所示x，x 1，1x，0 x 1) 类型二 识图(1)(2016银川质检)设函数 f(x)2 x，则如图所示的函数图象对应的函数是( )Ayf(|x|) By|f (x)|Cy f(|x |) Dyf(|x |)解：图中是函数 y2 | x|的图象，即函数 yf(| x|)的图象故选 C.(2)(2016全国卷)函数
7、 y2x 2e |x|在 2，2的图象大致为( )解：函数 f(x)2x 2e |x|在 2，2 上是偶函数，其图象关于 y 轴对称，因为 f(2)8e 2，00，b0 ，c 0，c0Ca0，c0 Da0，b0，c0解：由 f(x) 及图象可知，xc ，c0，则 c0；当 x0 时，f(0) 0，所以 b0；当ax b（x c）2 bc2y0，axb0，所以 x 0，所以 a0.故 a0，b 0，c0.故选 C.ba【点拨】(1)抓住函数的性质，定性分析：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复；从函
8、数的奇偶性，判断图象的对称性(2)抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题(1)(2015郑州模拟)已知图中的图象对应的函数为 yf(x) ，则图中的图象对应的函数可能为( )Ayf(|x|) By|f (x)|Cy f(|x|) Dyf(|x |)解：yf(| x|) 故选 C.f（ x），x 0，f（x），x 0. )(2)(2017福建三明调研)函数 yax 2bx 与函数 yx ab(a0)在同一坐标系中的图象可能为( )解：yax 2bx a ，对于 A，由二次函数图象可知，a0， 0，所以 b0，函数 yx ab(x b2a)2 b24a
9、 b2a不符合要求，同理 B 不符合要求；对于 C，D ，由二次函数图象可知，a0， 0，所以 b0，比较选项b2aC，D 可知 C 符合要求 故选 C.(3)(2017临沂一模)已知 a 是常数，函数 f(x) x3 (1a)x 2ax2 的导函数 yf (x)的图象如图所示，则函13 12数 g(x)|a x2|的图象可能是( )解：由 f(x) x3 (1a)x 2 ax2，得 f(x)x 2(1a)xa，13 12根据 yf(x)的图象知 0，所以 a1.1 a2则函数 g(x)|a x2|的图象是由函数 ya x 的图象向下平移 2 个单位，然后将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方
10、得到的故选 D.类型三 用图(1)已知 f(x) 则函数 y2f 2(x)3f(x)1 的零点个数是_|lnx|， x 0，2|x|， x 0， )(2)对实数 a 和 b，定义运算“” ；a b 设函数 f(x)(x 22) (x1) ，xR，若函数a， a b 1，b， a b 1， )yf(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )A(1，1 (2，)B(2，1(1，2C(，2(1，2 D2，1解：(1)由 2f2(x)3f( x)10 得 f(x) 或 f(x)1，12作出函数 yf(x )的图象由图象知 y 与 yf(x)的图象有 2 个交点，y 1 与
11、 yf(x)的图象有 3 个交点12因此函数 y2f 2(x)3f( x)1 的零点有 5 个故填 5.(2)依题意知，f (x)( x22) (x1) 结合图象( 如图)可知，x2 2， 1 x 2，x 1，x 1或 x 2，)当 c( 2，1(1，2时，函数 yf(x)与 yc 的 图 象 有 两 个 公 共 点 ， 所 以 c 的 取 值 范 围 是 ( 2， 1 (1，2故选 B.【点拨】将方程的解的个数转化为函数图象的交点的个数；通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法(1)(2016湖北优质高中联考) 已知函数 f(x)xx( x表示不超过 x 的最大整数，如
12、 3.64，2.12)，则方程 f(x)lgx0 的根的个数为( )A8 B9 C10 D11(2)已知方程 (kx2)0 恰有两个实根，则实数 k 的取值范围是_|x2 1|x 1解：(1)方程 f(x)lgx 0 的根的个数就是函数 yxx 与 ylgx 图象交点的个数，函数 yxx 是周期为 1的周期函数，在同一个坐标系中作出这两个函数图象，如图所示，可知它们共有 8 个交点，所以方程 f(x)lgx 0 有 8 个实根故选 A.(2)由方程构造函数 f(x) 和 g(x)kx2，作出函数 yf(x) 的图象，如图所|x2 1|x 1 x 1，x 1或 x 1， x 1， 1 x 1)示
13、根据图象可知，当 04 或 a0 时，yf(x)的图象与直线 ya 只有一个交点，方程 f(x)a 只有 一 个实 数 根 ， 即 a 的 取 值 范 围 是 ( ， 0) (4， )10已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)x 2 的图象关于点 A(0，1)对称1x(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x) ，且 g(x)在区间 (0，2上为减函数，求实数 a 的取值范围ax解：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x，y) ，则点 P 关于(0 ，1)点的对称点 P(x ，2y)在 h(x)的图象上，即 2yx 2，所以 yf(x)x (x0) 1x 1x(2)g(x)f(x)
14、 x ，g (x)1 .ax a 1x a 1x2因为 g(x)在(0，2上为减函数，所以 1 0 在(0 ，2上恒成立，即 a1x 2 在(0，2 上恒成立，所以a 1x2a14，即 a3，故 a 的取值范围是3，) 11已 知 函 数 f(x) 1 |x 1|，x 2，0，2f（x 2），x（0， ）.)(1)求函数 f(x)在 2，4上的解析式；(2)若方程 f(x) xa 在区间2，4 内有 3 个不等实根，求实数 a 的取值范围解：(1)当2x4 时，函数 f(x) 1 |x 1|，x 2，0，2 2|x 1|，x （0，2），4 4|x 3|，x2，4. )(2)作出函数 f(x)
15、在区间 2，4上的图象如图设 yxa，方程 f(x)xa 在区间 2，4内有 3 个不等实根，即函数 yf(x) 的图象与直线 yx a 在区间 2，4上有 3 个交点由图象易知，实数 a 的取值范围是2a0 或 a1，即a|2a0 或 a1(2017安徽六安一中月考 )已知函数 f(x) 若|f(x)|aax，则 a 的取值范围是 x2 4x 3， x 1，lnx， x 1. )_解：由|f( x)|aax 得| f(x)| axa，作出 y|f (x)|的图象和直线 yaxa，如图所示设 x1 时，h(x )|f (x)|x 24x3，设过点 A(1，0)的函数 h(x)图象的切线斜率为 k，则 kh(1)2142.由图可知，当2a0 时，|f(x )|的图象在直线 yaxa 上方，即|f (x)|aax 成立所以 a 的取值范围是2，0 故填2，0
