1、本章知识结构本章测试1.若函数 f(x)= ,则该函数在 (-,+)上是（ ）12xA.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值思路解析：利用函数的图象就可以判断推出函数 f(x)= 在(- ,+)上是单调递减无最12x小值，故选 A.答案：A2.设 3x= ,则（ ）71A.-2g(a)-g(-b)成立的是（ ）A.ab0 B.a0 D.ab0，设 P：函数 y=cx 在 R 上单调递减；Q ：函数 g(x)=lg(2cx2+2x+1)的值域为 R.如果“P 且 Q”为假命题， “P 或 Q”为真命题，则 c 的取值范围是（ ）A.( ,1) B.(
2、,+) C.(0, )1,+) D.(0, )21212121思路解析：已知“P 且 Q”为假命题，可以推断出“P 或 Q”为真命题，故选 A.答案：A12.函数 f(x)= 的定义域是_.xx4lg3思路解析： x2,3(3,4).43204,2x答案：2,3)(3,4)13.若函数 f(x)=loga( )是奇函数，则 a=_.2a思路解析：函数 f(x)=loga(x+ ）是奇函数，即 f(-x)=-f(x)，代入可以得到 loga(-xx+ )=-loga(x+ ),化简得到 a= 为所求.2)(x22答案：14.已知函数 y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数，又 y=f-1(x
3、+1)与 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称，若 f(x)= (x2+2)(x0)；f -1(x)=_;g( )=_.1log6思路解析：利用反函数的性质和图象性质可以直接得到结果.答案： ;-4)()2x15.已知在ABC 中，ACB=90，BC=3 ，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、BC的距离乘积的最大值是_.思路解析：如右图所示，利用勾股定理可以得到所求即为 PM=PN，而四边形 CNPM 为矩形，所求即四边形面积，当四边形为正方形时可取得最大面积.利用三角形相似可以得到一些量化关系，观察易得到ACBPBMANP，利用量化关系可以得到，当 PM=PN=时可以取得
4、最大值，最大值为 3.3答案：316.已知函数 f(x)= （a，b 为常数）且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4.求函x2数 f(x)的解析式.思路解析：利用函数根的性质作出判断，将 x1=3,x2=4 分别代入方程，分别解出 a,b 的值即可得到所求结果.答案：将 x1=3,x2=4 分别代入方程 -x+12=0 得bax2解得 所以 f(x)= (x2).,8416,93ba.2,1bx217.已知函数 f(x)=x3+x,xR（1）指出 f(x)在定义域 R 上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无需证明） ；（2）若 a、b、c R，且 a+b0,b+c0,
5、c+a0，试证明：f(a)+f(b)+f(c)0.思路解析：利用函数单调性和奇偶性判断；根据已知条件 a+b0,b+c0,c+a0，可以判断出 f(a),f(b),f(c)之间的大小关系 .答案：（1）f(x)是定义域 R 上的奇函数且为增函数 （2）由 a+b0 得 a-b.由增函数，得 f(a)f(-b),由奇函数，得 f(-b)=-f(b)，f(a)+f(b)0,同理可得 f(b)+f(c)0,f(c)+f(a)0,将以上三式相加后，得 f(a)+f(b)+f(c)0.18.20 个劳动力种 50 亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻.这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表.应怎样计划才能使
6、每亩地都能种上作物（水稻必种） ，所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？作 物 劳力/亩 产值/亩蔬菜 1/2 0.6 万元棉花 1/3 0.5 万元水稻 1/4 0.3 万元思路解析：利用蔬菜、棉花、水稻分别需要的劳动力和产值设出函数关系式，并且保证每个劳动力得到使用以及获得最大产值.答案：设种 x 亩水稻（0x50，y 亩棉花（0x50时，总产值为 h 且每个劳力都有工作.h=0.3x+0.5y+0.650-(x+y) 且 x、y 满足 + y+ 50-(x+y)=20.4312即 h=- x+27,4x50,xN203欲使 h 为最大，则 x 应为最小，故当 x=4（亩）时，h max
7、=26.4 万元，此时 y=24（亩） 故安排 1 人种 4 亩水稻，8 人种 24 亩棉花，11 人种 22 亩蔬菜时农作物总产值最高且每个劳力都有工作.19.某公司生产的 A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年 A 型商品定价为每件 70 元，年销售量为 11.8 万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为 p%的管理费（即销售 100 元要征收 p 元） ，于是该商品的定价上升为每件 元，预计年销售量将减少 p 万件.%170p（1）将第二年商场对该商品征收的管理费 y(万元) 表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义域；（2）要使第二
8、年商场在此项经营中收取的管理费不少于 14 万元，则商场对该商品征收管理费的比率 p%的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于 14 万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则 p 应为多少？思路解析：根据题目分析可以得到第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，年销售收入为 (11.8-p)万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为 (11.8-p)p%（万元）%170 %170p，可以得到所求函数，利用函数关系式的自变量和因变量取值范围便可解决后面的问题.答案：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，年销售收入为(11.8-p)万元，则商场该年对该商品征收的总管
9、理费为 (11.8-p)p%（万元）.70p 170p故所求函数为:y= (118-10p)p.由 11.8-p0 及 p0 得定义域为 0p .p107 59（2）由 y14，得 (118-10p)p14.化简得 p2-12p+200，即(p-2)(p-10)0，解得 2p10.故当比率在2%，10% 内时，商场收取的管理费将不少于 14 万元.（3）第二年，当商场收取的管理费不少于 14 万元时，厂家的销售收入为 g(p)= (11.8-p)（2p10）.%170g(p)= (11.8-p)=700(10- )为减函数，p1082g(p) max=g(2)=700（万元）. 故当比率为 2
10、%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于 14 万元.20.已知二次函数 f(x)=ax2+bx（a，b 为常数，且 a0）满足条件：f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有等根.（1）求 f(x)的解析式；（2）是否存在实数 m,n(mn) ，使 f(x)的定义域和值域分别为m,n和4m,4n ，如果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由 .思路解析：利用等根可得判别式 =0 即可得到 b 的值，同时根据 f(x-1)=f(3-x)知此函数图ax2+bx-2x=0 象的对称轴方程为 x=- =1，得 a 的值.b2解：(1)方程有等根，=(b-2) 2=0，得 b=2
11、.由 f(x-1)=f(3-x)知此函数图 ax2+bx-2x=0 象的对称轴方程为 x=- =1，得 a=-1，故 f(x)=-ab2x2+2x.(2)f(x)=-(x-1) 2+11，4n1，即 n .而抛物线 y=-x2+2x 的对称轴为 x=1，4当 n 时，f(x)在m,n上为增函数若满足题设条件的 m,n 存在，则 .4)(,nfm即 .20,42nnm或 或又 mn ，1m=-2,n=0,这时，定义域为-2,0 ，值域为 -8,0.由以上知满足条件的 m,n 存在, m=-2,n=0.21.设函数 f(x)表示实数， x 在与 x 的给定区间内整数之差绝对值的最小值.（1）当 x
12、- , 时，求出 f(x)的解析式，当 xk- ,k+ (kZ）时，写出用绝21 21对值符号表示的 f(x)的解析式，并说明理由；（2）用偶函数定义证明函数 f（x）是偶函数（xR ）.思路解析：当 x- , 时，由定义知： x 与 0 距离最近，故当 xk- ,k+ 21(kZ）时，由定义知：k 为与 x 最近的一个整数，可以得到第一问的解答；利用偶函数的定义证明第二问，需要注意使用第一问的结论，可以简化证明过程.答案：（1）当 x- , 时，由定义知： x 与 0 距离最近，f(x) =|x|，x- , ，21当 xk- ,k+ (kZ)时，由定义知：k 为与 x 最近的一个整数，故f(x)=|x-k|，xk- ,k+ (kZ).（2）对任何 xR，函数 f(x)都存在，且存在 kZ，满足 k- xk+ ，f(x)=|x-k|.由 k-21xk+ 可以得出-k- -x-k+ (kZ),121即-x-k- ,-k+ (-kZ）.由（1）的结论，f(-x)=|1-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),即 f(x)是偶函数.
