1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的 观看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 22 数 列 求 和 及 综 合 应 用1、 选 择 题1.(2016浙 江 高 考 文 科 T8)同 (2016浙 江 高 考 理 科 T6)如 图 ,点 列 An,Bn分 别 在 某 锐 角 的 两 边 上 ,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An An+2,n N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn Bn+2,n N*(P Q 表 示 点 P 与 Q 不重 合 ).若 dn
2、=|AnBn|,Sn 为 AnBnBn+1 的 面 积 ,则 ( )A.Sn是 等 差 数 列 B. 是 等 差 数 列2nSC.dn是 等 差 数 列 D. 是 等 差 数 列d【 解 析 】 选 A.先 求 出 三 角 形 的 面 积 ,再 利 用 等 差 数 列 的 定 义 判 断 数 列 是 否 为 等 差 数 列 .作 A1C1,A2C2,A3C3,AnCn,垂 直 于 直 线 B1Bn,垂 足 分 别 为 C1,C2,C3,Cn,则A1C1 A2C2 AnCn ,因 为 |AnAn+1|=|An+1An+2|,所 以 |CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|,设 |A1C1|=a,|
3、A2C2|=b,|B1B2|=c,则 |A3C3|=2b-a,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n 3),所 以 Sn= c(n-1)b-(n-2)a= c(b-a)n+(2a-b),所 以 Sn+1-Sn= c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)= c(b-a),又 S1= ac,S2= bc,S3= c(2b-a),S2-S1= c(b-a),S3-S2= c(b-a),所 以 数 列 Sn是2 1等 差 数 列 .2、 填 空 题2.(2016浙 江 高 考 理 科 T13)设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1
4、,n N*,则 a1= ,S5= .【 解 题 指 南 】 根 据 已 知 条 件 利 用 数 列 的 有 关 知 识 求 解 .【 解 析 】 由 题 意 得 ,a1+a2=4,a2=2a1+1,解 得 a1=1,a2=3,再 由 an+1=2Sn+1,an=2Sn1+1(n 2),所以 an+1-an=2an,an+1=3an,又 a2=3a1,所 以 an+1=3an(n 1),S5= =121.53答 案 :1 1213、 解 答 题3.(2016全 国 卷 高 考 文 科 T17)已 知 an是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ,数 列 bn满 足b1=1,b2= ,anbn+1
5、+bn+1=nbn.(1)求 an的 通 项 公 式 .(2)求 bn的 前 n 项 和 .【 解 析 】 (1)因 为 anbn+1+bn+1=nbn,所 以 a1b2+b2=b1,解 得 a1=2.又 an是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ,所 以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1,即 an=3n-1.(2)由 anbn+1+bn+1=nbn 得 = ,13所 以 数 列 bn是 首 项 b1=1,公 比 q= 的 等 比 数 列 ,所 以 bn的 前 n 项 和 为 Sn= .n13-21n4.(2016全 国 卷 文 科 T17)(本 小 题 满 分 12 分
6、 )已 知 各 项 都 为 正 数 的 数 列 an满 足 a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求 a2,a3.(2)求 an的 通 项 公 式 .【 解 析 】 (1)由 题 意 可 得 a2= ,a3= .14(2)由 -(2an+1-1)an-2an+1=0,得 2an+1(an+1)=an(an+1).因 为 an的 各 项 都 为 正 数 ,所 以 .n故 an是 首 项 为 1,公 比 为 的 等 比 数 列 ,因 此 an= .2125.(2016浙 江 高 考 理 科 T20)设 数 列 an满 足 1,n N*.n(1)证 明 :|an| 2n-1(|
7、a1|-2),n N*.(2)若 |an| ,n N*,证 明 :|an| 2,n N*.3【 解 题 指 南 】 (1)先 利 用 三 角 形 不 等 式 得 |an|- |an+1| 1,变 形 为 ,再 用 累 加 法 2n1na 22可 得 ,进 而 可 证 |an| 2n-1(|a1|-2).(2)由 (1)可 得 ,进 而 可 得1na 2 n1- |an|n,nmnn12m11n n+1-1naaaa 2 22m 故 |an|n,均 有 |an|2,取 正 整 数 m0lo0n 0n34a2g且 m0n0,则 n+2,故 bn=3n-1-n-2,n 3,设 数 列 bn的 前 n
8、 项 和 为 Tn,则 T1=2,T2=3,当 n 3 时 ,Tn=3+ ,当 n=2 时 ,也 适 合 上 式 .2 n291 751所 以 Tn= 2 *,5,n2,N.7.(2016天 津 高 考 理 科 T18)(本 小 题 满 分 13 分 )已 知 an是 各 项 均 为 正 数 的 等 差 数 列 ,公 差 为 d.对 任 意 的 n N*,bn 是 an 和 an+1 的 等 比 中 项 .(1)设 cn= ,n N*,求 证 :数 列 cn是 等 差 数 列 .21b-(2)设 a1=d,Tn= ,n N*,求 证 : .k2k1b2k1Td【 解 题 指 南 】 (1)利
9、用 等 差 数 列 的 定 义 求 证 .(2)利 用 bn 是 an 和 an+1 的 等 比 中 项 化 简 并 得 出 Tn 的 通 项 公 式 ,然 后 利 用 裂 项 法 求 证 结 论 .【 证 明 】 (1)cn= =an+1an+2-anan+1=2dan+1.2-bcn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2 为 定 值 .所 以 为 等 差 数 列 .(2) 2n2 221321 1k1 n4*.() ()k nTbccdnc 由 已 知 c1= =a2a3-a1a2=2da2=2d(a1+d)=4d2,2将 c1=4d2 代 入 (*)式 得 Tn=2d2n(n+1
10、),所 以 nn2k1k1T= ,得 证 .2 213nd d 8.(2016天 津 高 考 文 科 T18)(本 小 题 满 分 13 分 )已 知 是 等 比 数 列 ,前 n 项 和 为 Sn ,且 ,S6=63.na*N123a(1)求 的 通 项 公 式 .(2)若 对 任 意 的 n N*,bn 是 log2an 和 log2an+1 的 等 差 中 项 ,求 数 列 的 前 2n 项 和 .n21b【 解 题 指 南 】 (1)利 用 求 出 公 比 q,代 入 S6=63 求 出 a1.(2)利 用 等 差 中 项 求 出 bn,123然 后 利 用 分 组 求 和 法 求 和
11、 .【 解 析 】 (1)设 数 列 的 公 比 为 q,由 已 知 ,解 得 q=2 或 -1,又 由na 211aqS6= =63 知 q -1,所 以 =63,解 得 a1=1,所 以 an=2n-1.1a12(2)由 题 意 得 bn= (log2an+log2an+1)= (log22n-1+log22n)=n- ,即 数 列 是 首 项 为 ,公 差1 12nb12为 1 的 等 差 数 列 .设 数 列 (-1)n 的 前 n 项 和 为 Tn,2b则 2222 2122341122()()() .n nbnTbb 9.(2016北 京 高 考 理 科 T20)设 数 列 A:a
12、1,a2,aN(N 2).如 果 对 小 于 n(2 n N)的 每 个正 整 数 k 都 有 aka1,则 G(A) .(3)证 明 :若 数 列 A 满 足 an-an-1 1(n=2,3,N),则 G(A)的 元 素 个 数 不 小 于 aN-a1.【 解 析 】 (1)G(A)的 元 素 为 2 和 5.(2)因 为 存 在 an 使 得 ana1,所 以 i N*|2 i N,aia1 .记 m=mini N*|2 i N,aia1,则 m 2,且 对 任 意 正 整 数 ka1.由 (2)知 G(A) .设 G(A)=n1,n2,np,n1 .如 果 Gi ,取 mi=minGi,
13、则 对 任 何 1 kmi,ak .iinm从 而 mi G(A)且 mi=ni+1,又 因 为 np 是 G(A)中 的 最 大 元 素 ,所 以 Gp=.从 而 对 任 意 np k N,ak ,特 别 地 ,aN .pnpn对 i=0,1,p-1, -1 ,ini因 此 = -1+( - -1) +1.i1naii1ai ina所 以 aN-a1 -a1= ( - ) p.npiini-1因 此 G(A)的 元 素 个 数 p 不 小 于 aN-a1.10.(2016北 京 高 考 文 科 T15)已 知 an是 等 差 数 列 ,bn是 等 比 数 列 ,且b2=3,b3=9,a1=b
14、1,a14=b4.(1)求 an的 通 项 公 式 .(2)设 cn=an+bn,求 数 列 cn的 前 n 项 和 .【 解 题 指 南 】 (1)利 用 等 差 、 等 比 数 列 的 基 本 量 进 行 计 算 .(2)采 用 分 组 求 和 法 .【 解 析 】 (1)bn的 公 比 q= =3,首 项 b1= =1,所 以 bn的 通 项 bn=3n-1.2b92q3所 以 an的 首 项 a1=1,a14=b4=34-1=27,由 a14=1+13d=27 得 ,公 差 d=2,所 以 an的 通 项 an=1+(n-1)2=2n-1.(2)由 (1)得 cn=(2n-1)+3n-1.所 以 数 列 cn的 前 n 项 和 Sn 为 Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)= +nn3=n2+ .31关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块
