1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的 观看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 24 数 列 求 和 及 综 合 应 用解 答 题1. (2014湖北高考文科T19 )已知等差数列 an满足: a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列.(1)求数列a n的通项公式.(2)记 Sn 为数列 an的前 n 项和, 是否存在正整数 n,使得 Sn60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)由 2,2+d,2+4d 成等比数列可求得公差 d,从而根
2、据通项公式表示出数列a n的通项.(2)根据a n的通项公式表示出a n的前 n 项和公式 Sn,令 Sn60n+800,解此不等式.【解析】(1)设数列a n的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d) 2=2(2+4d),化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4.当 d=0 时,a n=2;当 d=4 时,a n=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列a n的通项公式为 an=2 或 an=4n-2.(2)当 an=2 时,S n=2n.显然 2n60n+800 成立.当 an=4n-2 时,S n= =2n2.2(4)令 2n260n+800,即 n2-
3、30n-4000,解得 n40 或 n60n+800 成立,n 的最小值为 41.综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n.当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41.2. （2014湖北高考理科18）已知等差数列 满足： 2，且 成等比数列.an1123,a（1） 求数列 的通项公式.an（2） 记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 若存在，求 的最小S 608?nSn值；若不存在，说明理由.【解题指南】 （）由 2， d， 4成等比数列可求得公差 d,从而根据通项公式表示出数列 na的通项；（）根据 na的通项公式表示出 na的前 n 项和公式 ,令 ，解此
4、不等式。nS608【解析】 （1）设数列 的公差为 ，依题意， 成等比数列，故有nd2d42(d)(4)化简得 ，解得 或0d4当 时， a2n当 时，4d(1)2n从而得数列 的通项公式为 或 。ana4（2）当 时， 。显然S608此时不存在正整数 ，使得 成立。n当 时，a4n22(4)nn令 ，即 ，260830解得 或 （舍去） ，1此时存在正整数 ，使得 成立， 的最小值为 41。n68nSn综上，当 时，不存在满足题意的 ；a2当 时，存在满足题意的 ，其最小值为 41。4n3. （2014湖南高考理科20） （本小题满分 13 分）已知数列 na满足 *11,|,.nnapN（
5、1）若 是递增数列，且 2,3成等差数列，求 p的值；（2）若 p，且 21n是递增数列， na是递减数列，求数列 na的通项公式【解题提示】 （1）由 a是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用 12,3成等差数列，得到关于 p 的方程即可；（2） 21n是递增数列， 2n是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。【解析】 （1）因为 na是递增数列，所以 ，nnpa1又 ， ，a,232pp因为 12,3a成等差数列，所以 ，ppa22312 3,14,4解得 ，当 ， ，与 n是递增数列矛盾，所以 。0p0na 1（2）因为 21n是递增数列，所以 ，12于是 a12n由于
6、，所以 12n 12na由得 ，所以 012na1212nn因为 2n是递减数列，所以同理可得 ， 由得021nannna21221 ，nna11所以 12312 naa，1231n 123421n所以数列 na的通项公式为 134nna4. （2014湖南高考文科17） （本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和 .n NSn，2（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ，求数列 的前 项和.nb1nb【解题提示】 （1）利用 的关系求解， （2）分组求和。S,【解析】 （1）当 时， ；1a当 ，nnSannn 2)1()(221时 ，故数列 的通项公式为（2）由（1）知， ，记数列 的前
7、 2n 项和为 ，nbn12nbnT2则 )243()(1Tn 记 , ，nA22B则 ，1)(12n nB2)1()43()(故数列 的前 2n 项和nb2BATnn5.(2014广 东 高 考 文 科 T19)(14 分 )设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn,且Sn满 足 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n N*.(1)求 a1的 值 .(2)求 数 列 an的 通 项 公 式 .(3)证 明 :对 一 切 正 整 数 n,有 + + 0,所 以 Sn -3,只 有 Sn=n2+n.当 n 2 时 ,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1
8、)2-(n-1)=2n,而 a1=2,所 以 数 列 an的 通 项 公 式 为 an=2n(n N*).(3)因 为= = 对 于 不 等 式 ， 令 得 解 得又 当 时 ， （ 成 立当 时 ， +1111,3, 32030,32=+()3)2(1)20133n nnnnnnnnqqqssqqqqq 即此 不 等 式 即 （ -1,都 有 m N*,使 得 a1,an,am成 等 比 数 列 .【 解 题 指 南 】 (1)利 用 an=Sn-Sn-1(n 2)解 决 .(2)a1,an,am 成 等 比 数 列 ,转 化 为 .1ma【 解 析 】 (1)当 n=1 时 a1=S1=1
9、;当 n 2 时 an=Sn-Sn-1 =3n-2,223(n)()对 n=1 也 满 足 ,所 以 的 通 项 公 式 为 an=3n-2;(2)由 (1)得 a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要 使 a1,an,am成 等 比 数 列 ,需 要 ,2所 以 (3n-2)2=3m-2,整 理 得 m=3n2-4n+2 N*,所 以 对 任 意 n1,都 有 m N*使 得 成 立 ,2n1ma即 a1,an,am 成 等 比 数 列 .12.(2014江 西 高 考 理 科 T17)已 知 首 项 都 是 1 的 两 个 数 列 anbn(bn 0,n N*),满足 anbn+1-a
10、n+1bn+2bn+1bn=0.(1)令 cn= ,求 数 列 cn的 通 项 公 式 .(2)若 bn=3n+1,求 数 列 an的 前 n 项 和 Sn.【 解 题 指 南 】 (1)将 等 式 两 端 同 时 除 以 bnbn+1即 可 求 解 .(2)由 (1)及 bn=3n+1可 得 数 列 an的 通 项 公 式 ,分 析 通 项 公 式 的 特 征 利 用 错 位 相 减 法 求Sn.【 解 析 】 (1)因 为 bn 0,所 以 由 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得 ,即 ,n12n1a所 以 cn+1-cn=2,所 以 cn是 以 为 首 项 ,2 为 公
11、差 的 等 差 数 列 ,1ab所 以 cn=1+(n-1)2=2n-1.(2)因 为 bn=3n+1,cn=2n-1.所 以 an=cnbn=(2n-1)3n+1.所 以 Sn=132+333+534+(2n-1)3n+1,3Sn=133+334+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2,作 差 得 :-2Sn=32+2(33+34+3n+1)-(2n-1)3n+2=- 18+2(n-1)3n+2 ,3n9)1所 以 Sn=9+(n-1)3n+2.13.（ 2014安 徽 高 考 文 科 18） 数 列 满 足na11,()(1),nnaN（ 1） 证 明 ： 数 列 是 等 差 数 列
12、；na（ 2） 设 ， 求 数 列 的 前 项 和3nnbnbnS【 解 题 提 示 】 利 用 等 差 数 列 的 定 义 、 错 位 相 消 法 分 别 求 解 。【 解 析 】 (1)由 已 知 可 得 ， 所 以 是 以 1 为 首 项 ， 1 为 公11nnaana差 的 等 差 数 列 。（ 2） 由 （ 1） 得 ， 所 以 ,从 而 ，=+n（ -） 2=n.3nb123.+.nnS=+.4+13n(-).3将 以 上 两 式 联 立 可 得 12+1nnS=-.= =+1.(1)3nn-).+（所 以12).34nnS-（14. (2014新 课 标 全 国 卷 高 考 理
13、科 数 学 T17)(本 小 题 满 分 12 分 )已 知 数 列 满 足naa1=1,an+1=3an+1.(1)证 明 是 等 比 数 列 ,并 求 的 通 项 公 式 .2nna(2)证 明 : + + 1 时 , = .nna231n所 以 + + 1+ + + = = .1a2n321n3n2n3所 以 , + + .n N*.1a2315. （ 2014四 川 高 考 理 科 19） 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 点 在 函 数nad(,)nab的 图 象 上 （ ） ()xf*n（ 1） 若 ， 点 在 函 数 的 图 象 上 ， 求 数 列 的 前 项 和 ；1a8
14、7(,4)ab()fxnnS（ 2） 若 ， 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 在 轴 上 的 截 距 为 ， 求 数 列fx2,abx12l的 前 项 和 .nbnT【 解 题 提 示 】 本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 概 念 ， 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 通 项 公式 和 前 n 项 和 、 导 数 的 几 何 意 义 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 .【 解 析 】 （ 1） 点 在 函 数 的 图 象 上 ， 所 以 ， 又 等 差 数 列 的 公(,)nab()2xf2nabna差 为 ，d所 以 ，1
15、12nnadb因 为 点 在 函 数 的 图 象 上 ， 所 以 ， 所 以 ，87(,4)()fx8742ab8724db2d又 ， 所 以 12a1 32nSadnn（ 2） 由 ()()lxxff函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 方 程 为2,b22(l)aybx所 以 切 线 在 轴 上 的 截 距 为 ， 从 而 ， 故lna21ln从 而 ， ，nanb231nT 234112n nT所 以 412n n故 .2n16. （ 2014四 川 高 考 文 科 19） 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 点 在 函 数nad(,)nab的 图 象 上 （ ） ()xf n
16、N（ 1） 证 明 ： 数 列 为 等 比 数 列 ； b（ 2） 若 ， 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 在 轴 上 的 截 距 为 ， 求 数 列1a()fx2(,)abx12ln的 前 项 和 2nabnS【 解 题 提 示 】 本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 概 念 ， 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 通 项 公式 和 前 n 项 和 、 导 数 的 几 何 意 义 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 、 推 理 论 证 能 力 .【 解 析 】 （ 1） 点 在 函 数 的 图 象 上 ， 所 以 ， 又 等 差
17、 数 列(,)nab()2xf20nab的 公 差 为 ， 当 时 ， ， 所 以 ， 数 列 是 首 项 为 ，nad111nnaad12a公 比 为 的 等 比 数 列 2（ 2） 由 ()()2lxxff函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 方 程 为,ab22(ln)aybx所 以 切 线 在 轴 上 的 截 距 为 ， 从 而 ， 故 ， 所 以21ln21l， 从 而 ， ， ， 于 是21dan4nna， ，2344nT 341nT所 以 .1nn 1()n所 以 .1(3)n17. （ 2014重 庆 高 考 文 科 16） 已 知 是 首 项 为 公 差 为 的 等 差
18、 数 列 ， na1,2nS表 示 的 前 项 和 .na(1)求 及 S(2)设 是 首 项 为 的 等 比 数 列 ， 公 比 满 足 求 的 通 项 公 式nb2q244(1)0.aqSnb及 其 前 项 和 .nT【 解 题 提 示 】 直 接 根 据 等 差 等 比 数 列 的 性 质 求 解 通 项 公 式 及 前 项 和 .【 解 析 】 (1)因 为 是 首 项 为 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 所 以na1,22.nad故 21()(1)3() .naS n(2)由 (1)得 因 为 即47,6.S2440qS8160,q所 以 从 而 20q又 因 为 是 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 所 以1,bn124.n从 而 的 前 项 和nb1()2(41).3nnnbqT关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块
