1、第三章 第 1 讲A 级 基础达标1(2017 年林芝地区期末)若 f(x)xcos x，则函数 f(x)的导函数 f(x) ( )A1sin x Bx sin xCsin xxcos x Dcos xx sin x【答案】D 【解析】f(x) xcos x，则函数 f(x)的导函数 f(x) cos xxsin x故选 D2(2017 年北京校级期中)下列求导正确的是 ( )A(3x 22)3x B(log 2x)1xln 2C(cos x)sin x D x(1ln x)【答案】B 【解析】(3x 22)6x ，(log2x) ，(cos x)sin x， .故选1xln 2 ( 1ln
2、x) 1xln2xB3已知 f(x)1(1x )(1x )2(1x) 3(1 x )n，则 f(0)( )An Bn1C Dnn 12 nn 12【答案】D 【解析】根据题意，f(x)1(1x)(1 x )2(1x) 3 (1 x) n，则其导数 f(x)12(1 x) 3(1x )24(1 x) 3n(1x) n1 ，则 f (0)1234n.故选 Dnn 124(2017 年安徽四模)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x 23xf(2)ln x，则 f(2)的值等于( )A2 B2 C D94 94【答案】D 【解析】f( x)x 23xf(2)ln x，f(x
3、)2x3f (2) .令 x2， 则 f(2)1x43f(2) ，f(2) .故选 D12 945(2017 年大庆校级期末)下列函数的图象在 x0 处没有切线的是( )Ay3x 2cos x By xsin xCy Dy 2x1cos x 1x【答案】D 【解析】y 2x 在 x0 处 无意义故选 D1x6(2017 年赣州期末)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(e)ln x，则f(e) _.【答案】1 【解析】求导得 f(x )2f(e) ，把 xe 代入得 f(e)e 1 2f (e)，解得 f(e)1xe 1 ，f(e)2e f(e)ln e1.7已知函数
4、 f(x)sin xcos x，f(x)是 f(x)的导函数(1)求函数 F(x)f(x )f( x)f(x) 2 的最大值；(2)若 f(x0)2f( x0)，求 的值1 sin2x0cos2x0 sin xcos x0【解析】(1)已知函数 f(x)sin xcos x，则 f( x)cos xsin x，代入 F(x)f (x)f(x)f( x)2，易得 F(x)cos 2x sin 2x1 sin 1.2 (2x 4)当 2x 2k x k (kZ)时，F( x)max 1.4 2 8 2(2)由 f(x0)2f( x0)，可得 sin x0cos x02(cos x0sin x0)，
5、所以 cos x03sin x0，则 tan x0 .13所以 .1 sin2x0cos2x0 sin x0cos x0 2sin2x0 cos2x0cos2x0 sin x0cos x0 2tan2x0 11 tan x0 1168已知函数 f(x)x 34x 25x4.(1)求曲线 yf(x )在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程【解析】(1)f(x)3x 28x5，f (2)1.又 f(2)2，曲线在点(2，f(2) 处的切线方程为 y2 x2，即 xy 40.(2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点 P(x0，x 4x 5x 0
6、4) ，f(x 0)30 203x 8x 05，20切 线方程 为 y(2) (3x 8x 05)(x2)20又切线过点 P(x ，x4x 5x 04)，20 20x 4x 5x 02(3x 8x 05)( x02) ，30 20 20整理得(x 02) 2(x01)0，解得 x02 或 1，经过 点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy40，或 y20.B 级 能力提升9已知函数 f(x)g(x)x 2，曲线 yg( x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，则曲线 yf( x)在点 (1，f(1) 处的切线的斜率为 ( )A4 B 14C2 D12【答案】A 【解析】f(x
7、)g(x)2x .yg( x)在点(1，f (1)处的切线方程为 y2x1，g(1)2. f(1)g(1)214.曲线 yf(x)在点(1 ，f(1)处 的切线的斜率为 4.10(2017 年合肥模拟)点 P 是曲线 yx 2ln x 上的任意一点，则点 P 到直线 yx 2的最小距离为( )A1 B 32C D52 2【答案】D 【解析】点 P 是曲线 yx 2 ln x 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 yx2 平行时，点 P 到直 线 y x2 的距离最小，直线 yx 2 的斜率为 1.由 yx 2ln x，得y2x 1，解得 x1 或 x (舍去)，故曲 线 yx 2ln x 上和
8、直线 yx 2 平行的切1x 12线经过的切点坐标为(1,1)，点 (1,1)到直线 yx2 的距离等于 ，故点 P 到直线 yx2 的2最小距离为 .211(2015 年福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)1，其导函数 f(x) 满足 f( x)k1，则下列结论中一定错误的是( )Af Bf (1k) 1k (1k) 1k 1Cf Df (1k 1) 1k 1 ( 1k 1) kk 1【答案】C 【解析】方法一(特值法)：令 k2， f(x)2.1x1， 则 f 2.1 10.05 ，A 正(12) 12 12确；f (x)6x1 ，则 f 6 121， B 正确；f (1)
9、61152，D 正确故 选 C(12) 12方法二(常规法)：根据 f( x)k1 构造函数 g(x)f(x)kx，则 g(x)f(x )k0，g( x)为 增函数，而 0，则 g f g(0)f(0)1，即 f 1k 1 ( 1k 1) ( 1k 1) kk 1 ( 1k 1)，C 错误故选 C1k 112曲边梯形由曲线 yx 21，y0，x1，x 2 所围成，过曲线 yx 21 上一点P(x0，y 0)(x01,2)作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A B(32，2) (32，134)C D(52，134) (52，2)【答案】B 【解析】设
10、P(x0，x 1) ，x01,2，则易知曲线 yx 21 在点 P 处的切线方程为20y( x 1)2x 0(xx 0)，y2x 0(xx 0)x 1.设 g(x)2x 0(xx 0)x 1，则 g(1)g(2)20 20 202(x 1)2x 0(1x 02x 0)，S 普通梯形 1x 3x 01 2 .20g1 g22 20 (x0 32) 134当 x0 ，即 P 点的坐标为 时，S 普通梯形 最大32 (32，134)13若曲线 f(x) x2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是12_【答案】2，) 【解析】f( x) x2axln x，f( x)xa (x
11、0)f(x)存在垂直于 y 轴的切线，12 1xf (x)存在零点，即 x a 0 有解 ax 2(当且 仅当 x1 时取等号) 1x 1x14已知曲线 f(x)x n1 (nN *)与直线 x1 交于点 P，设曲线 yf( x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn，则 log2 018x1log 2 018x2log 2 018x2 017 的值为_【答案】1 【解析】f(x)(n1)x n，kf (1) n1，点 P(1,1)处的切线方程为 y1(n1)( x1) ，令 y0，得 x1 ，即 xn ，1n 1 nn 1 nn 1x1x2x2 017 ，则 log 2 018x1
12、log 2 018x2log 12 23 34 2 0162 017 2 0172 018 12 0182 018x2 017log 2 018(x1x2x2 017)1.15已知函数 f(x)x ，g( x)a(2ln x)(a0)若曲线 yf(x) 与曲线 yg(x)在 x12x处的切线斜率相同，求 a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线【解析】根据题意有 f(x )1 ，g( x) .2x2 ax曲线 yf(x) 在 x1 处的切线 斜率为 f(1)3，曲线 yg(x) 在 x1 处的切线斜率为 g(1)a，所以 f(1)g(1)，即 a3.又 f(1)1，所以曲 线 yf(x)在 x
13、1 处的切线方程为 y (1)3( x1)，即3xy40.又 g(1)6，所以曲线 yg(x)在 x1 处的切线方程为 y( 6)3(x1) ，即3xy90.所以，两条切线不是同一条直 线16已知函数 f(x)ax 33x 26ax11，g(x)3x 26x12 和直线 m：ykx9，且f(1)0.(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 yf(x)的切线，又是曲线 yg( x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由【解析】(1)由已知，得 f( x)3ax 26x 6a，f(1)0，3a66a0.a2.(2)存在由已知得，直线 m 恒过定点(0,9) ，
14、若直线 m 是曲线 yg( x)的切线，则设切点为(x0,3x 6x012)20g (x0)6x 06，切线方程为 y(3x 6x 012)(6 x06)(xx 0)20将(0,9)代入切线方程，解得 x01.当 x01 时，切 线方程为 y9；当 x01 时，切 线方程为 y12x9.由(1)知 f(x) 2x33x 212x11，由 f (x)0，得6x 26x120，解得 x1 或 x2.在 x1 处，yf(x )的切线方程为 y18；在 x2 处，yf(x )的切线方程为 y9，yf(x)与 yg( x)的公切线是 y9.由 f (x)12，得6x 26x 1212，解得 x0 或 x1.在 x0 处，yf(x )的切线方程为 y12x11；在 x1 处，yf(x )的切线方程为 y12x10.yf(x)与 yg( x)的公切线不是 y12x9.综上，k0 时，y 9 是 yf( x)与 yg( x)的公切线
