1、 平面向量基本定理及坐标表示A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1设平面向量 a(3,5) ，b(2,1) ，则 a2b ( )A(6,3) B(7,3) C(2,1) D(7,2)解析 a2b(3,5) 2(2,1) (7,3)答案 B2(2013抚州模拟 )已知平面内任一点 O 满足 x y (x，yR )，则OP OA OB “xy1”是“点 P 在直线 AB 上”的 ( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 根据平面向量基本定理知： x y (x，yR )且 xy1 等价OP OA OB 于
2、 P 在直线 AB 上答案 C3(2013金华模拟 )设向量 a(1 ，3)，b(2,4)，c (1，2)，若表示向量 4a,4b2c, 2(ac )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为( )A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析 设 d(x ，y )，由题意知 4a(4，12)，4b2c (6,20)，2(ac)(4， 2)，又 4a4b2c 2(ac)d0，解得 x2，y6，所以d( 2，6)故选 D.答案 D4已知向量 a(1,2) ，b(1,0) ，c(3,4)若 为实数，(ab)c ，则 ( )A. B. C1 D214 12解析 依题意得 ab (
3、1，2)，由(a b)c，得(1) 4320， .12答案 B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2013西安模拟 )若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b )(ab0)共线，则 的值为1a 1b_解析 (a2，2)， (2，b2)，依题意，有(a2)(b2)AB AC 40，即 ab2a2b0，所以 .1a 1b 12答案 126已知 A(7,1)，B(1,4)，直线 y ax 与线段 AB 交于 C，且 2 ，则实数12 AC CB a_.解析 设 C(x，y )，则 (x7，y1)， (1x, 4y)，AC CB 2 ，Error!解得Error!AC CB C(3,3
4、) 又C 在直线 y ax 上，123 a3，a2.12答案 2三、解答题(共 25 分)7(12 分) 已知 a(1,2) ， b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k abk (1,2)(3,2)(k 3,2k2)，a3b(1,2) 3(3,2) (10，4)，当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一实数 使 kab(a3b)，由(k 3,2k2) (10，4)得，Error!解得 k ，13当 k 时， kab 与 a3b 平行，13这时 kab ab (a3b) 13 13 0，b 0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则
5、 的最小值为1a 2b_解析 (a 1,1)， ( b1,2) AB OB OA AC OC OA A，B，C 三点共线， .AB AC 2(a 1)(b1)0， 2ab1. (2ab)1a 2b (1a 2b)4 42 8.ba 4ab ba4ab当且仅当 ，即 a ，b 时取等号ba 4ab 14 12 的最小值是 8.1a 2b答案 84.(2013青岛期末 )设 i，j 是平面直角坐标系( 坐标原点为 O)内分别与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且 2ij， 4i3j，则OAB 的面OA OB 积等于_解析 由题意得点 A 的坐标为(2,1)，点 B 的坐标为 (4,3)，|
6、 | ，| |5.OA 5 OB sinAOBsin(AOy BOy)sin AOycosBOycosAOysinBOy .255 35 55 45 255故 SAOB | | |sinAOB 5 5.12OA OB 12 5 255答案 5三、解答题(共 25 分)5(12 分) 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a(2,1)，A (1,0)，B(cos ，t)，(1)若 a ，且| | | |，求向量 的坐标；AB AB 5OA OB (2)若 a ，求 ycos 2cos t 2 的最小值AB 解 (1) (cos 1，t)，AB 又 a ，2tcos 10.AB cos 1
7、2t.又| | | |，(cos 1) 2t 25.AB 5OA 由得，5t 25，t 21.t1.当 t1 时，cos 3(舍去 )，当 t1 时，cos 1，B(1， 1)， (1，1)OB (2)由(1)可知 t ，cos 12ycos 2 cos cos2 cos cos 124 54 32 14 2 ，54(cos2 65cos ) 14 54(cos 35) 15当 cos 时，y min .35 156(13 分) 已知向量 v(x，y )与向量 d(y,2y x)的对应关系用 df( v)表示(1)设 a(1,1)，b(1,0)，求向量 f(a)与 f(b)的坐标；(2)求使
8、f(c)(p，q)( p，q 为常数)的向量 c 的坐标；(3)证明：对任意的向量 a，b 及常数 m，n 恒有 f(manb)mf(a)nf( b)(1)解 f(a) (1,211) (1,1)，f(b)(0,201)(0，1)(2)解 设 c(x，y) ，则由 f(c)(y,2y x)(p，q)，得Error!所以 Error!所以 c(2pq，p)(3)证明 设 a(a 1，a 2)， b(b 1，b 2)，则 manb(ma 1nb 1，ma 2nb 2)，所以 f(manb) (ma 2nb 2,2ma22nb 2ma 1nb 1)又 mf(a)m(a 2,2a2a 1)，nf(b)n(b 2,2b2b 1)，所以 mf(a) nf(b)(ma 2 nb2,2ma22nb 2ma 1nb 1)故 f(manb)mf(a)nf(b).
