1、24 二次函数与幂函数1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)( a0)；(2)顶点式：f(x) (a0)；(3)零点式：f(x) (a0)2二次函数的图象与性质二次函数 f(x)ax 2bx c (a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x；(2)顶点坐标：；(3)开口方向：a0 时，开口，a0 时，开口；(4)值域：a0 时，y，a0 时，y；(5)单调性：a0 时，f (x)在上是减函数，在上是增函数；a0 时，f(x)在 上是，在( ， b2a)上是_( b2a， )3二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数 f(
2、x)ax 2bx c (a0)的零点( 图象与 x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程 ax2bxc 0 的，也是一元二次不等式 ax2bx c 0( 或 ax2bxc0)解集的4二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值它只能在区间的或二次函数的处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值5一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布 )设 x1，x 2 是实系数一元二次方程 ax2bxc0(a0) 的两实根，则 x1，x 2 的分布范围与系数之间的关系如表所示根的分布(mnp 且 m，n，p 均为常数 ) 图象 满足的条件x1x 2m 0， b2a0. )mx 1x 2 0，
3、 b2am，f（m）0. )x1mx 2 f(m)0，m0，f（n）0. )mx 1nx 2p f（m）0，f（n）0. )m0) 14 (0， 14)类型一 求二次函数的解析式已知二次函数 f(x)满足 f(2)1, f (1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解法一：(利用一般式)设 f(x)ax 2bxc (a0)，由题意得4a 2b c 1，a b c 1，4ac b24a 8， )解之得 a 4，b 4，c 7. )所以所求二次函数为 y4x 24x 7.解法二：(利用顶点式)设 f(x)a(xm )2n(a0)，因为 f(2)f (1)，所以抛物线对称轴为 x
4、 ，2 （ 1）2 12所以 m ，又根据题意，函数有最大值为 8，所以 n8，12所以 f(x)a 8.(x 12)2 因为 f(2)1，即 a 81.解之得 a4.(2 12)2 所以 f(x)4 84x 24x7.(x 12)2 解法三：(利用零点式)由已知 f(x)10 的两根为 x12，x 21，即 g(x)f(x)1 的两个零点为 2，1，故可设 f(x)1a(x2)( x1)(a0) ，即 f(x)ax 2ax2a1.又函数有最大值 ymax8，即 8，4a（ 2a 1） a24a解之得 a4，所以所求函数解析式为 f(x)4x 24x2(4)14x 24x7.【点拨】由条件 f
5、(2)f( 1)及 f(x)的最大值是 8，根据对称性知其对称轴为 x ，故此题利用顶点式较为简12捷如果把 2，1 看作函数 g(x)f (x)1 的两个零点，利用零点式求 g(x)的解析式，再求 f(x)的解析式也很方便与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用(1)已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和2，且它有最小值1，则 f(x)_.解：由于 f(x)有两个零点 0 和2，所以可设 f(x)ax( x2)(a0) ，这时 f(x)ax(x2)a(x 1) 2a，由于 f(x)有最小值1，所以必有 解得 a 1.a 0， a 1.)因此
6、f(x)的解析式是 f(x)x(x2)x 22x.故填 x22x.(2)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式是 y_.解：设 ya(x2) 21( a0)，当 x0 时，4a11，a ，12所以 y (x2) 21 x22x1.12 12故填 x22x1.12(3)若函数 f(x) (xa)( bx2a)( 常数 a，bR )是偶函数，且它的值域为 (，4，则该函数的解析式 f(x)_.解：因为 f(x)bx 2( ab2a) x2a 2 是偶函数，所以 ab2a0，则 a0 或 b2，当 a0 时，f(x) bx 2，值域不可能为(，4，故 a0，则 b2，
7、此时 f(x)2x 22a 2.当 x0 时，2a 24，所以 f(x)2x 24.故填2x 24.类型二 二次函数的图象与性质(1)一次函数 yaxb 与二次函数 yax 2bxc 在同一坐标系中的图象大致是( )解：若 a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax 2bx c 的开口向上，故可排除 A；若 a0，同理可排除 D.对于选项 B，由直线可知 a0，b0，从而 1 时，f( x)maxf(1)a，所以 a2.综上可知，a1 或 a2.故填1 或 2.类型三 二次方程根的分布已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另
8、一根在区间(1，2) 内，求 m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围解：(1)条件说明抛物线 f(x)x 22mx2m 1 与 x 轴的交点分别在区间 (1，0)和(1 ，2)内，作出函数 f(x)的大致图象，得f（0） 2m 10，f（1） 4m 20) m 56.)所以 0，f（1） 4m 20， （2m）2 4（2m 1） 0，0 12，m 12，m 1 2或 m 1 2， 10，f（0） 1 0，f（2） 2a 3 0.)解得 a1，所以 a 的取值范围为 .32 32， 1)故填 . 32， 1)类型四 二次函数的综合应用(1)(2016全国卷)已知
9、函数 f(x)(xR)满足 f(x)f (2x)，若函数 y|x 22x3|与 yf(x) 图象的交点为(x 1， y1)，(x 2，y 2)，(x m，y m)，则 ( )1iA0 Bm C2m D4m解：由 f(x)f(2x)知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称又 y|x 22x3| |(x1) 24| 的图象也关于直线x1 对称，所以这两函数的交点也关于直线 x1 对称不妨设 x1(m2m1) ，则实数 m 的取值范围是( )1212A. B.( ， 5 12 5 12 ， )C(1，2) D.5 12 ， 2)解：因为函数 yx 的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式
10、等价于12 解得 即 m2.故选 D.2m 1 0，m2 m 1 0，2m 1 m2 m 1.) m 12，m 5 12 或 m 5 12 ， 1 m 2， ) 5 12【点拨】(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2) 的正负：当 0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当 0，即 m22m 31)若 a0，则 g(x)在(1，)上是增函数，若 0a 在区间1，3上满足：恒有解，则实数 a 的取值范围为_；恒成立，则实数 a 的取值范围为_解：f(x)a 在区间 1，3上恒有解，则 aa 在区间 1，3上恒成立，则 axk 在区间3，1 上恒成立，试求 k 的取
11、值范围解：(1)由题意知： 解得 所以 f(x)x 22x1. b2a 1，f（ 1） a b 1 0，) a 1，b 2.)由 f(x)(x1) 2 知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为( ，1(2)由题知，x 22x1x k 在区间 3，1上恒成立，即 k0)有两个零点，其中一个零点在区间(1 ，2)内，求 ab 的取值范围解：易知 x1x2 0，a 0， )出点(a，b) 对应的平面区域，易知点 A(0，1)使得目标函数 zab 取得最小值，由于边界为虚线，故有z1，即 a b 的取值范围为( 1，)(2017长沙一中期中测试) 函数 f(x)(m 2m 1)x 4m
12、9 - m5+3是幂函数，对任意的 x1，x 2(0，+)，且x1x 2，满足 0，若 a，bR ，且 ab0，则 f(a)f(b)的值( )f（x1） f（x2）x1 x2A恒大于 0 B恒小于 0C等于 0 D无法判断解：依题意，幂函数 f(x)在(0，) 上是增函数，所以 m2 m 1 1，4m9 m5 3 0，)解得 m2，则 f(x)x 2 019.所以函数 f(x)x 2 019 在 R 上是奇函数，且为增函数由 ab0，得 ab，所以 f(a)f(b) ，则 f(a)f (b)0.故选 A.1函数 f(x)x 22( a1)x 2 在( ，4上是减函数，则实数 a 的取值范围是(
13、 )A(，3 B3，)C(，5 D5，)解：函数 f(x)图象的对称轴方程是 x1a，要使函数 f(x)在(，4 上是减函数，则 1a4，即 a3.故选 A.2已知幂函数 f(x)(n 22n2) xn2 - 3n(nZ)在(0 ，)上是减函数，则 n 的值为( )A3 B1 C 2 D1 或 2解：因为幂函数 f(x)(n 22n2) xn2 - 3n在(0，) 上是减函数，所以 所以 n1.故选 B.n2 2n 2 1，n2 3n 0，)3(2016成都模拟)若函数 yx 23x4 的定义域为0， m，值域为 ，则 m 的取值范围是( ) 254， 4A(0，4 B.32， 3C. D.3
14、2， 4 32， )解：二次函数 yx 23x 4 图象的对称轴是 x ，开口向上，最小值是 ymin ，在 x 处取得，所以由32 254 32函数的值域是 ，可知 m 应该在对称轴的右边，当函数值是4 时，对应的自变量的值是 x0 或 254， 4x3，如果 m 比 3 大，那么函数值就超出 这个范围，所以 m 的取值范围是 .故选 B. 254， 4 32，34(2016温州模拟)方程 x2ax20 在区间1 ，5上有解，则实数 a 的取值范围为( )A. B(1，)( 235， )C. D 235， 1 ( ， 235)解法一：令 f(x)x 2ax 2，而 f(0)2，故只要 解得
15、a1.f（1） 0，f（5） 0，) 235解法二：由 a x 在区间1，5 上单调递减知 a .故选 C.2x 235，15函数 f(x)ax 2bx c 与其导函数 f (x)在同一坐标系内的图象可能是( )A B C D解：若二次函数 f(x)的图象开口向上，则导函数 f(x)为增函数，排除 A；同理排除 D；若 f(x)2axb 过原点，则 b0，则 yf( x)的对称轴为 y 轴，排除 B.故选 C.6(2016揭阳测试)已知 f(x)2x 2pxq，g( x)x 是定义在集合 M 上的两个函数对4x x|1 x 52任意的 xM ，存在常数 x0M，使得 f(x)f(x 0)，g(
16、 x)g(x 0)，且 f(x0)g(x 0)则函数 f(x)在集合 M 上的最大值为( )A4 B. C6 D.92 892解：利用导数可知函数 g(x) x 在区间 上的最小值为 4，最大值为 5，对任意的 xM ，存在常数4x 1，52x0M，使得 g(x)g(x 0)，则 g(x0)g(x) min4，此时 x02.根据题意知，f(x) minf(x 0)4，即二次函数 f(x)2x 2pxq 的顶点坐标为(2，4)，因此 f(x)2( x2) 24，在集合 M 上的最大值为 f(1)6.故选 C.7已知幂函数 f(x)x ，若 f(a1)f(102a)，则 a 的取值范围是_-12
17、解：因为 f(x)x (x0)，易知 x(0，) 时为减函数，又 f(a1)f(102a)，所以-12 1x所以 3a5.故填(3，5) a 1 0，10 2a 0，a 1 10 2a，)8已知函数 f(x)x 2( a1) xb，满足 f(3)3，且 f(x)x 恒成立，则 ab_.解：f(3)3，则 93( a1) b3，即 b3a9.f(x)x 恒成立，即 x2(a1)xbx0 恒成立所以 x2axb0 恒成立，所以 a24b0，将 b3a9 代入得( a6) 20，a6.所以 b9，ab3.故填 3.9(2016汕头一中月考)已知函数 f(x)是二次函数，不等式 f(x)0 时，f (
18、x)ax 22x 的图象的开口方向向上，且对称轴为 x .1a当 01，即 0a1 时，f(x)ax 22x 的图象的对称轴在0，1的右侧，所以 f(x)在0，1上递减1a所以 f(x)minf(1)a2.当 a0 时，f (x)ax 22x 的图象的开口方向向下，且对称轴 x 0，在 y 轴的左侧，1a所以 f(x)ax 22x 在0，1上递减所以 f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x) min a 2，a 1， 1a，a 1.)(2)只需 f(x)min 1，即可由(1)知，当 a1 时，a2 1，所以 a1( 舍去)；当 a1 时， 1 恒成立，所以 a1.1a故 a 的取值范围为1，)(3)由题意知 f(x)0 时，x0，x (a0) ，2a00，1，所以 0 1，所以 a2.2a故 a 的取值范围为2，)
