1、 3A 题库-初三数学系列 中小学课外辅导专家地址：北京市海淀区车公庄西路 38 号逸升轩 520 室（首师大对面）电话：68437068 88422360更多中小学教育资源请访问 一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一. 利用判别式例 1.（2000 年黑龙江中考题）当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 240mx与 的根都是整数。22450xm解：方程 有整数根，4x=16-16m0，得 m1又方程 有整数根 2250m 得164()mA 4综上所述， m15x 可取的整数值是-1，0，1当 m=-1 时，方程为x -4x+4=0 没有整数解，舍去。2而 m0 m=1例 2
2、（1996 年四川竞赛题）已知方程 有两个不相等的正整数根，求 m 的值。210xm解：设原方程的两个正整数根为 x ，x ，则 m=(x +x )为负整数.122 一定是完全平方数24mA设 （ 为正整数）2k 2()8即： ()km+2+km+2-k,且奇偶性相同 或24mk24k解得 m=10（舍去）或 m= 5。当 m=5 时 ，原方程为 x -5x+6=0，两根分别为 x =2，x =3。2 123A 题库-初三数学系列 中小学课外辅导专家地址：北京市海淀区车公庄西路 38 号逸升轩 520 室（首师大对面）电话：68437068 88422360更多中小学教育资源请访问 二. 利
3、用求根公式例 3 （2000 年全国联赛）设关于 x 的二次方程 222(68)(64)kxkxk的两根都是整数，求满足条件的所有实数 k 的值。解： 2222(64)()4()kkA由求根公式得 2(6(8)x即 124,14xkk由于 x-1，则有 12,1xx两式相减，得 124x即 12(3)由于 x ，x 是整数，故可求得 或 或12,4x12,x12,5x分别代入，易得 k= ，6，3。0三. 利用方程根的定义例 4.b 为何值时，方程 和 有相同的整数根？20xb2(1)0xb并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当 b2 时,x=1+b,代
4、入第一个方程,得 2(1)()解得 b=1,x=2当 b=2 时,两方程无整数根.b=1,相同的整数根是 2四.利用因式分解例 5.（2000 年全国竞赛题）已知关于 x 的方程 的根都是整数，2(1)10axa那么符合条件的整数 a 有_个.解: 当 a=1 时,x=1当 a1 时,原方程左边因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=0即得 2x x 是整数 1-a=1,2, a=-1,0,2,33A 题库-初三数学系列 中小学课外辅导专家地址：北京市海淀区车公庄西路 38 号逸升轩 520 室（首师大对面）电话：68437068 88422360更多中小学教育资源请访问 由上可知
5、符合条件的整数有 5 个.例 6.(1994 年福州竞赛题) 当 m 是什么整数时,关于 x 的方程 2(1)0mx的两根都是整数?解：设方程的两整数根分别是 x ，x ，由韦达定理得12 12x 2由 消去 ，可得m11x12()3(3)x则有 或212x解得： 或124x120x由此 或 0，分别代入，得 或187m1五.利用根与系数的关系例 7.(1998 年全国竞赛题) 求所有正实数 a,使得方程 仅有整数根.240xa解：设方程的两整数根分别是 x ，x ，且1212由根与系数的关系得 120xa 1240a由得 将代入得 124x12aax 8显然 x 4，故 x 可取 5，6，7
6、，8。11从而易得 a=25，18，16。六.构造新方程例 8.(1996 年全国联赛)方程 有两个整数根,求 a 的值.()10xa3A 题库-初三数学系列 中小学课外辅导专家地址：北京市海淀区车公庄西路 38 号逸升轩 520 室（首师大对面）电话：68437068 88422360更多中小学教育资源请访问 解：原方程变为 2(8)()810xax设 y=x-8，则得新方程为 y设它的两根为 y ，y ，则 121212,yx 是整数，y ，y 也是整数，则 y ，y 只能分别为 1，-1 或-1，1即 y +y =0 a=8。12七.构造等式例 9.(2000 年全国联赛 C 卷) 求
7、所有的正整数 a,b,c,使得关于 x 的方程的所有的根都是正整数.22230,30,30xabxcxa解：设三个方程的正整数解分别为 ，则有12456,212()xx343bc256()xax令 x=1，并将三式相加，注意到 x 1（i=1，2，6） ，有i1234563()()()1()10bcxx但 a1，b1，c1，又有 3-（a+b+c）0， 3-（a+b+c）=0故 a=b=c=1八.分析等式例 10.(1993 年安徽竞赛题) n 为正整数，方程 2(31)60xxn有一个整数根，则 n=_.解：不妨设已知方程的整数根为 ，则2(31)60a整理。得 23()an因为 为整数，所
8、以 为整数2也一定是整数，要使 为整数，必有3()an()an3A 题库-初三数学系列 中小学课外辅导专家地址：北京市海淀区车公庄西路 38 号逸升轩 520 室（首师大对面）电话：68437068 88422360更多中小学教育资源请访问 由此得 ，即260a260n解得 n=3 或-2（舍去） n=3。九.反客为主例 11.(第三届祖冲之杯竞赛题 )求出所有正整数 a,使方程 2(1)4(3)0axxa至少有一个整数根.解：由原方程知 x2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程2(4)21xax得 （因为是正整数）2()则得 40x解得因此，x 只能取-4，-3，-1 ，0，1，2。分别代
9、入 a 的表达式，故所求的正整数 a 是 1，3，6，10。十.利用配方法例 12. (第三届祖冲之杯竞赛题 ) 已知方程 2()(51)240xax有两个不等的负整数根,则整数 a 的值是_.解：原方程可变为 221040axx即 5122()()x1a得： 1264,xa当 a-1=-1，-2，-3，-6，即 a=0，-1 ，-2，-5 时，x 为负整数。1但 a=0 时，x 0； a=-5 时,x = =-1212又 a-1 a=-2。 十一.利用奇偶分析3A 题库-初三数学系列 中小学课外辅导专家地址：北京市海淀区车公庄西路 38 号逸升轩 520 室（首师大对面）电话：6843706
10、8 88422360更多中小学教育资源请访问 例 13.(1999 年江苏第 14 届竞赛题 )已知方程 有两个质数根,2190xa则常数 a=_.解：设方程的两个质数根为 x ，x ( x x )1212由根与系数的关系得 x +x =1999.显然 x =2,x =1997,于是 a=21997=3994.12十二.利用反证法例 14.不解方程,证明方程 无整数根21970x证明:假设方程有两个整数根 ,则 +=1997,=1997,由第二式知 均为奇数,于是 +为偶数,但这与第一式相矛盾,所以 , 不可能都是整数.假设方程只有一个整数根,则 + 不可能是整数, 也与第一式相矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.综上所述,原方程无整数根.
